人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题指、对、幂大小比较的方法学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题指、对、幂大小比较的方法学案，共3页。
类型一 利用图象与性质比较大小
【例1】设a＝5-0.7，b＝lg23 12，c＝lg 34，则这三个数之间的大小关系是( )
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞c＞aD．b＞a＞c
D 解析：结合函数y＝5x，y＝lg23x，y＝lg x的图象，易知0＜a＝5-0.7＜50＝1，b＝lg23 12＞lg23 23＝1，c＝lg 34＜lg 1＝0，所以b＞a＞c.故选D.
【例2】若a＝15-0.3，b＝lg52，c＝e-12，则( )
A．a＜b＜cB．c＜a＜b
C．b＜c＜aD．c＜b＜a
C 解析：结合函数y＝15x，y＝lg5x，y＝ex的图象，易知a＝15 -0.3＞150＝1，b＝lg52＜lg55＝12，c＝e-12＝1e∈12，1，所以b＜c＜a.故选C.
在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如lg23，可知1＝lg22＜lg23＜lg24＝2，进而可估计lg23是一个1到2之间的小数，从而便于比较．
类型二 巧解涉及三元变量的比较大小问题
【例3】设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．3y＜2x＜5zB．2x＜3y＜5z
C．3y＜5z＜2xD．5z＜2x＜3y
A 解析：(方法一)令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1，则x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5，所以3y＝lgklg33，2x＝lgklg2，5z＝lgklg55．
因为33＝69＞68＝2，2＝1032＞1025＝55＞1，所以lg 33＞lg 2＞lg 55＞0.又k＞1，所以lg k＞0，所以3y＜2x＜5z.
(方法二)取z＝1，则2x＝3y＝5，得x＝lg25，y＝lg35，所以2x＝lg225＜lg232＝5z，3y＝lg3125＜lg3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则2x＝3，得x＝lg23，所以2x＝lg29＞lg28＝3y.综上可得，3y＜2x＜5z.
【例4】设x，y，z为正实数，且lg2x＝lg3y＝lg5z＞0，则x2，y3，z5的大小关系不可能是( )
A．x2＜y3＜z5B．y3＜x2＜z5
C．x2＝y3＝z5D．z5 ＜y3＜x2
B 解析：(方法一)取x＝2，则lg22＝lg3y＝lg5z＝1，得y＝3，z＝5，此时易知x2＝y3＝z5，此时选项C正确．取x＝4，则lg24＝lg3y＝lg5z＝2，得y＝9，z＝25，此时易知x2＜y3＜z5，此时选项A正确．取x＝ 2，则lg22＝lg3y＝lg5z＝12，得y＝3，z＝5，此时易知z5＜y3＜x2，此时选项D正确．综上，利用排除法可知本题应选B.
(方法二)设lg2x＝lg3y＝lg5z＝k＞0，则x＝2k，y＝3k，z＝5k＞0，所以x2＝2k-1，y3＝3k-1，z5＝5k-1.若k＝1，则x2＝y3＝z5＝1，所以选项C可能成立．若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减，可得2k-1＞3k-1＞5k-1，即z5＜y3＜x2，所以选项D可能成立．若k＞1，则根据函数f(t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增，可得2k-1＜3k-1＜5k-1，即x2＜y3＜z5，所以选项A可能成立．
综上，利用排除法可知选B.
某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．