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人教A版普通高中数学一轮复习17课时练习含答案
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1.(2024·西安模拟)已知函数f(x),其导函数f′(x)的图象如图所示,则( )
A.f(x)有2个极值点
B.f(x)在x=1处取得极小值
C.f(x)有极大值,没有极小值
D.f(x)在(-∞,1)上单调递减
C 解析:由题意及题图分析可知,f(x)在(-∞,3)上单调递增,在(3,+∞)上单调递减,所以f(x)有一个极大值,没有极小值,所以A,B,D错误,C正确.故选C.
2.已知函数f(x)=-xex,那么f(x)的极大值是( )
A.1eB.-1e
C.-eD.e
A 解析:因为函数f(x)=-xex,所以f′(x)=-(x+1)ex.令f′(x)=0,得x=-1.当x<-1时,f′(x)>0;当x>-1时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,所以f(x)极大值=f(-1)=1e.故选A.
3.(多选题)已知函数f(x)=ex-2x+1,则下列说法正确的是( )
A.f(x)有极大值2ln 2
B.f(x)有极小值3-2ln 2
C.f(x)无最大值
D.f(x)在(ln 2,+∞)上单调递增
BCD 解析:因为f(x)=ex-2x+1的定义域为R,并且f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,得x=ln 2.当x∈(-∞,ln 2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,无极大值,也无最大值,并且f(x)极小值=f(ln 2)=3-2ln 2,所以BCD正确,A错误.故选BCD.
4.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=a ln x+bx取得最大值-2,则f′(2)=( )
A.-1B.-12
C.12D.1
B 解析:由题意知f(1)=a ln 1+b=b=-2.f′(x)=ax-bx2,因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以易得f′(1)=a+2=0,所以a=-2,所以f′(2)=a2-b4=-12.
5.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( )
A.1B.12
C.52D.22
D 解析:因为函数f(x)的图象始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-ln x.设h(x)=x2-ln x,则h′(x)=2x-1x=2x2-1x(x>0).令h′(x)=2x2-1x=0,得x=22,所以h(x)在0,22上单调递减,在22,+∞上单调递增,所以当x=22时取得极小值,也是最小值,故t=22.
6.已知函数f(x)=3ln x-x2+a-12x在区间(1,3)上有最大值,则实数a的取值范围是 .
-12,112 解析:因为f(x)=3ln x-x2+a-12x,所以f′(x)=3x-2x+a-12.由于f(x)=3ln x-x2+a-12x在区间(1,3)上有最大值,且f′(x)=3x-2x+a-12在(1,3)上单调递减,故需满足f′(x)在(1,3)内有唯一零点,故f'1>0,f'3<0,
即3-2+a-12>0,1-6+a-12<0,解得-12<a<112,即实数a的取值范围为-12,112.
7.函数f(x)=-3x-|ln x|+3的最大值为 .
2-ln 3 解析:由题知当x≥1时,f(x)=-3x-ln x+3,所以f′(x)=-3-1x<0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=0.当0<x<1时,f(x)=-3x+ln x+3,所以f′(x)=-3+1x=-3x+1x,所以当x∈0,13时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈13,1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以当0<x<1时,f(x)max=f13=2-ln 3.综上可知,f(x)max=2-ln 3.
8.(2024·潍坊模拟)已知函数f(x)=a(x-5)2+6ln x(a∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6),则函数f(x)的极小值为 .
2+6ln 3 解析:因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,所以f(1)=16a,即切点为(1,16a).又f′(x)=2a(x-5)+6x,k=f′(1)=6-8a,所以切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).又切线过点(0,6),所以6-16a=(6-8a)(0-1),解得a=12,所以f(x)=12(x-5)2+6ln x,则f′(x)=x-5+6x=x2-5x+6x=x-2x-3x,所以当0<x<2或x>3时,f′(x)>0;当2<x<3时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=3处取得极小值,即f(x)极小值=f(3)=2+6ln 3.
9.(2024·1月九省适应性测试)已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.
(1)求实数a的值;
解:(1)f′(x)=1x+2x+a(x>0),则f′(2)=12+2×2+a=92+a.
由题意可得92+a×-23=-1,解得a=-3.
(2)求f(x)的单调区间和极值.
解:因为a=-3,所以f(x)=ln x+x2-3x+2,
所以f′(x)=1x+2x-3=2x2-3x+1x=2x-1x-1x(x>0),
故当0<x<12时,f′(x)>0;当12<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.
故f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+∞),单调递减区间为12,1,
故f(x)的极大值为f12=ln 12+122-3×12+2=34-ln 2,
极小值为f(1)=ln 1+12-3×1+2=0.
10.(多选题)设f′(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f′(x)+xf(x)=ln x,f(1)=12,则下列结论正确的是( )
A.xf(x)在(1,+∞)上单调递增
B.xf(x)在(1,+∞)上单调递减
C.xf(x)在(0,+∞)上有极大值12
D.xf(x)在(0,+∞)上有极小值12
AD 解析:由x2f′(x)+xf(x)=ln x,可得xf′(x)+f(x)=1xln x,x>0,所以[xf(x)]′=lnxx.令g(x)=xf(x),x>0,则g′(x)=lnxx,当0<x<1时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>1时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,所以函数g(x)=xf(x)在(0,+∞)上有极小值g(1)=f(1)=12.故选AD.
11.(多选题)(2024·漳州模拟)已知函数f(x)=(x2-3)ex,现给出下列结论,其中正确的是( )
A.函数f(x)有极小值,但无最小值
B.函数f(x)有极大值,但无最大值
C.若方程f(x)=b恰有一个实数根,则b>6e-3
D.若方程f(x)=b恰有三个不同的实数根,则0<b<6e-3
BD 解析:由题意得f′(x)=(x2+2x-3)ex.令f′(x)=0,即(x2+2x-3)ex =0,解得x=1或x=-3,则当x<-3或x>1时,f′(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-3),(1,+∞)上单调递增;当-3<x<1时,f′(x)<0,即函数f(x)在(-3,1)上单调递减.所以函数f(x)在x=-3处取得极大值f(-3)=6e-3,在x=1处取得极小值f(1)=-2e.又x趋向于-∞时,f(x)趋向于0;x→+∞时,f(x)趋向于+∞.作出函数f(x)=(x2-3)·ex的大致图象如图所示.
因此f(x)有极小值f(1),也有最小值f(1),有极大值f(-3),但无最大值.若方程f(x)=b恰有一个实数根,则b>6e-3或b=-2e;若方程f(x)=b恰有三个不同的实数根,则0<b<6e-3.故选BD.
12.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是 .
227a3 解析:容积V(x)=(a-2x)2x,0<x<a2,则V′(x)=2(a-2x)(-2x)+(a-2x)2=(a-2x)(a-6x).由V′(x)=0,得x=a6或x=a2(舍去),当0<x<a6时,V′(x)>0,则V(x)单调递增;当a6<x<a2时,V′(x)<0,则V(x)单调递减.则x=a6为V(x)在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时V(x)max=227a3.
13.(2024·渭南模拟)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为 .
1e 解析:因为f(x)=aex-ln x(x>0),所以f′(x)=aex-1x.因为函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,所以f′(x)≥0在(1,2)上恒成立.显然a>0,所以问题转化为xex≥1a在(1,2)上恒成立.设g(x)=xex,x∈(1,2),所以g′(x)=ex+xex=(1+x)ex>0,所以g(x)在(1,2)上单调递增,所以g(x)>g(1)=e.故e≥1a,解得a≥1e,所以a的最小值为1e.
14.已知函数f(x)=2x3-(a+3)x2+2ax,a∈R.
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
解:(1)当a=0时,f(x)=2x3-3x2,f′(x)=6x2-6x=6x(x-1).
故当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,1)时,f′(x)<0.
则f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,
所以f(x)的极大值为f(0)=0,极小值为f(1)=-1.
(2)当|a|≥1时,求f(x)在[0,|a|]上的最小值.
解:因为f(x)=2x3-(a+3)x2+2ax,
所以f′(x)=6x2-2(a+3)x+2a=2(x-1)(3x-a).
①当a>3时,f(x)在[0,1)上单调递增,在1,a3上单调递减,在a3,a上单调递增,
所以f(x)min=minf0,fa3=min0,a29-a27=0,3<a≤9,a29-a27,a>9.
②当a=3时,f(x)在[0,3]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0.
③当1≤a<3时,f(x)在0,a3上单调递增,在a3,1上单调递减,在(1,a]上单调递增,
所以f(x)min=min{f(0),f(1)}=min{0,a-1}=0.
④当a≤-1时,f(x)在[0,1)上单调递减,在(1,|a|]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=a-1.
综上所述,f(x)min=a-1,a≤-1,0,1≤a≤9,a29-a27,a>9.
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