人教A版普通高中数学一轮复习20课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习20课时练习含答案，共5页。试卷主要包含了已知函数f＝ex－a等内容，欢迎下载使用。
(1)当a＝1时，求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2ln x－x2＋x(x＞0)，
所以f′(x)＝2x－2x＋1.
因为f(1)＝0，
所以切点坐标为(1，0)，切线斜率为f′(1)＝1，
所以切线方程为y－0＝1(x－1)，即y＝x－1.
(2)若函数f(x)的图象与直线y＝ax－a在1e，e上有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
解：由题知f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)，函数f(x)的图象与直线y＝ax－a在1e，e上有两个不同的交点．
令g(x)＝f(x)－y＝2ln x－x2＋a(x＞0)，
所以g′(x)＝2x－2x＝-2x+1x-1x．
因为x∈1e，e，
所以令g′(x)＝0，得x＝1，
所以当1e≤x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当1＜x≤e时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)＝2ln x－x2＋a在1e，e上有最大值g(1)，g(1)＝a－1.
因为g1e＝a－2－1e2，g(e)＝a＋2－e2，
又g(e)－g1e＝4－e2＋1e2＜0，
所以g(e)＜g1e，
所以g(x)＝2ln x－x2＋a在1e，e上有最小值g(e)＝a＋2－e2.
所以g(x)＝2ln x－x2＋a在1e，e上有两个不同的零点的条件是g1=a-1＞0， g1e=a-2-1e2≤0，解得1＜a≤2＋1e2，
所以实数a的取值范围为1，2+1e2．
2．(2024·通辽模拟)已知函数f(x)＝－x3＋x2＋x＋a(a∈R)．
(1)求函数f(x)的极值点；
解：(1)因为f(x)＝－x3＋x2＋x＋a(a∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2x＋1＝(3x＋1)(－x＋1)．
令f′(x)＞0，解得－13＜x＜1；令f′(x)＜0，解得x＞1或x＜－13，
所以f(x)在-∞，-13，(1，＋∞)上单调递减，在-13，1上单调递增，
所以f(x)的极小值点是－13，极大值点是1.
(2)若函数f(x)有且只有两个零点，求实数a的值．
解：函数f(x)有且只有两个零点，令f(x)＝0，则－x3＋x2＋x＝－a.令g(x)＝－x3＋x2＋x，即y＝g(x)与y＝－a的图象有两个交点．
由(1)分析知g(x)在-∞，-13，(1，＋∞)上单调递减，在-13，1上单调递增，g(x)的大致图象如图所示．
要使函数f(x)有且只有两个零点，即－a＝g(1)或－a＝g-13，解得a＝－1或a＝527．
3．(2024·江门模拟)已知函数f(x)＝(x＋1)ex－a(a∈R)．
(1)求f(x)的极值；
解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x＋2)ex.
令f′(x)＜0，得x＜－2；令f′(x)＞0，得x＞－2，
所以f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
所以当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－1e2－a，无极大值．
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
解：函数f(x)＝(x＋1)ex－a有两个零点，取g(x)＝(x＋1)ex，则直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个交点．
g′(x)＝(x＋2)ex，
令g′(x)＜0，得x＜－2；令g′(x)＞0，得x＞－2，
所以g(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增．
因为g(－1)＝0，g(－2)＝－1e2，
当x＜－1时，g(x)＜0，当x＞－1时，g(x)＞0，
当x→－∞时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，
所以函数g(x)的大致图象如图所示．
结合图象可知，当－1e2＜a＜0时，直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个交点，即f(x)有两个零点，
故实数a的取值范围为-1e2，0．
4．已知函数f(x)＝x－ln x＋m，g(x)＝xex．
(1)若函数f(x)和g(x)的图象都与平行于x轴的同一条直线相切，求m的值；
解：由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－1x＝x-1x，
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
由f(1)＝1＋m，可得y＝f(x)的图象与直线y＝1＋m相切．
因为g′(x)＝1-xex，则当x∈(－∞，1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，
故g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(1)＝1e，即y＝g(x)的图象与直线y＝1e相切．
因为两函数图象均与平行于x轴的同一条直线相切，则1＋m＝1e，即m＝1e－1.
(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点x1，x2，证明：ex1·ex2＞e2.
证明：F(x)＝f(x)－g(x)＝x－ln x＋m－xex＝－ln xex－xex＋m(x＞0)，令t1＝x1ex1，t2＝x2ex2，
由F(x1)＝F(x2)＝0，得－ln t1－t1＋m＝－ln t2－t2＋m＝0.
易知函数y＝－ln t－t＋m在(0，＋∞)上单调递减，故t1＝t2，即x1ex1＝x2ex2，
即g(x1)＝g(x2)．
由(1)可知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以不妨设0＜x1＜1＜x2.
要证ex1·ex2＞e2，只需证x1＋x2＞2，只需证x2＞2－x1.又2－x1＞1，故只需证g(x2)＜g(2－x1)．
因为g(x1)＝g(x2)，所以只需证g(x1)＜g(2－x1)，即g(x1)－g(2－x1)＜0.
令h(x)＝g(x)－g(2－x)＝xex－2-xe2-x，x∈(0，1)，则h′(x)＝1-xex＋x-1e2-x＝1-xe2-x-exexe2-x＞0恒成立，
所以h(x)在(0，1)上单调递增，所以h(x)＜h(1)＝0.
故原不等式得证．