人教A版普通高中数学一轮复习29课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习29课时练习含答案，共8页。试卷主要包含了已知向量m＝，n＝，已知A，B，C等内容，欢迎下载使用。
1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是( )
A．e1与e1＋e2
B．e1－2e2与e1＋2e2
C．e1＋e2与e1－e2
D．e1－2e2与－e1＋2e2
D 解析：对于A，设e1＋e2＝λe1，则λ=1，1=0，无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ=1， −2=2λ，无解，故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ=1， 1=−λ，无解，故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；
对于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．
2．(2024·南京模拟)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于( )
A．5B．6
C．17D．26
A 解析：由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，
所以b＝(－2，－4)．
因为3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，
所以|3a＋b|＝12+22＝5.
3．已知点P是△ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC＝0，则( )
A．PA＝－13BA＋23BC
B．PA＝23BA＋13BC
C．PA＝－13BA－23BC
D．PA＝23BA－13BC
D 解析：由题意知PA+PB+PC＝0，所以PA＋(AB−AP)＋(AC−AP)＝0.
所以PA＋(AB−AP)＋(BC−BA−AP)＝0.
整理得3PA+BC－2BA＝0，
即3PA＝2BA−BC.
所以PA＝23BA－13BC.
4．已知E为△ABC所在平面内的点，且BA＋12BC＝2BE.若CE＝mAB+nAC，则nm＝( )
A．－3B．3
C．13D．－13
A 解析：因为BE＝BC+CE，
所以BA＋12BC＝2BE＝2(BC+CE)．
所以2CE＝－AB－32BC＝－AB－32(AC−AB)＝12AB－32AC.
所以CE＝14AB－34AC.
所以m＝14，n＝－34，故nm＝－3.
5．已知向量a＝12，14，b＝(－2，m)，若a与b共线，则|b|＝ ．
5 解析：因为向量a＝12，14与b＝(－2，m)共线，所以12×m＝14×(－2)，解得m＝－1.所以b＝(－2，－1)，故|b|＝−22+−12＝5.
6．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝ ．
0 解析：由题意得，2m＋n＝(3λ＋4，4)，
m－2n＝(－λ－3，－3)．
因为(2m＋n)∥(m－2n)，
所以－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0.
7．在△AOB中，AC＝15AB，D为OB的中点，若DC＝λOA+μOB，则λμ的值为 ．
－625 解析：因为AC＝15AB，
所以AC＝15(OB−OA)．
因为D为OB的中点，所以OD＝12OB，
所以DC＝DO+OC＝－12OB＋(OA+AC)＝－12OB+OA＋15(OB−OA)＝45OA－310OB，
所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625．
8．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)(方法一)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以−6m+n=5， −3m+8n=−5，解得m=−1，n=−1.
(方法二)因为a＋b＋c＝0，
所以a＝－b－c.
又a＝mb＋nc，
所以mb＋nc＝－b－c，
所以m=−1，n=−1.
(3)设O为坐标原点，因为CM＝OM−OC＝3c，
所以OM＝3c＋OC＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
所以M(0，20)，
因为CN＝ON−OC＝－2b，
所以ON＝－2b＋OC＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)，
所以MN＝(9，－18)．
9．(多选题)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( )
A．－2B．12
C．1D．－1
ABD 解析：点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，则向量AB，BC不共线．由于向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2，1)，OC＝(t＋3，t－8)，故AB＝OB−OA＝(－3，4)，BC＝OC−OB＝(t＋5，t－9)．若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，所以t≠1.
10．(2024·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2BD＝CB+λCA，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则S1S2等于( )
A．λ6B．λ2
C．13D．23
D 解析：依题意作图，如图所示．
设BD＝μBA＝μ(CA−CB)＝－μCB+μCA.
由条件BD＝12CB＋λ2CA，
得μ＝－12，λ2＝μ＝－12，BD＝－12BA，
所以点D在AB的延长线上，并且AD＝32AB，
所以S1S2＝ABAD＝23．
11．(多选题)在△ABC中，D为AC上一点且满足AD＝13DC，若P为BD上一点，且满足AP＝λAB+μAC(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是( )
A．λμ的最小值为16
B．λμ的最大值为116
C．1λ＋14μ的最大值为16
D．1λ＋14μ的最小值为4
BD 解析：因为D为AC上一点且满足AD＝13DC，所以AC＝4AD.
因为AP＝λAB+μAC，所以AP＝λAB＋4μAD.
因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1.
由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2λ·4μ＝4λμ，解得λμ≤116，当且仅当λ＝4μ＝12时等号成立，故λμ的最大值为116，故A错误，B正确．
1λ＋14μ＝1λ+14μ(λ＋4μ)＝2＋λ4μ＋4μλ≥2＋24μλ·λ4μ＝4，当且仅当λ＝4μ＝12时等号成立，故1λ＋14μ的最小值为4，故C错误，D正确．
12．(数学与文化)我国数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，在“赵爽弦图”中，若BE＝λEF，BF＝1625BC＋1225BA，则实数λ＝( )
A．2B．3
C．4D．5
B 解析： 建立如图所示的直角坐标系．
令BF＝m，EF＝n，
则A(－n，m)，B(－m，0)，C(0，n－m)，
BF＝(m，0)，BC＝(m，n－m)，BA＝(m－n，m)．
所以BF＝1625BC＋1225BA＝2825m−1225n，1625n−425m，
则有m=2825m−1225n，0=1625n−425m， 解得m＝4n.
所以λ＝BEEF＝3nn＝3.
13．如图，在△ABC中，AM＝34AB＋14AC.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点P，且AP＝xAB+yAC(x，y∈R)，求x＋y的值．
解：(1)在△ABC中，
由AM＝34AB＋14AC，
得4AM－3AB−AC＝0，
即3(AM−AB)＝AC−AM.
所以3BM＝MC，
即点M是线段BC上的靠近点B的四等分点，
所以△ABM与△ABC的面积之比为14．
(2)因为AM＝34AB＋14AC，
AP＝xAB+yAC(x，y∈R)，
AP∥AM，AN＝12AB，
所以设AP＝λAM＝3λ4AB＋λ4AC＝3λ2AN＋λ4AC.
因为N，P，C三点共线，所以3λ2＋λ4＝1，
解得λ＝47，x＝3λ4＝37，y＝14λ＝17，
故x＋y＝47．