人教A版普通高中数学一轮复习31课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习31课时练习含答案，共7页。
1．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是( )
A．2 B．0
C．1＋iD．1－i
B 解析：由题意可知z＝1－i，所以复数z的实部是1，虚部是－1，其和为0.
2．(2024·烟台模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z等于( )
A．－2＋iB．－2－i
C．2＋iD．2－i
C 解析：由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝4+3i1+2i＝4+3i1-2i1+2i1-2i＝2－i，所以z＝2＋i.
3．已知i为虚数单位，则2+i3-4i2-i＝( A )
A．5B．5i
C．－75－125iD．－75＋125i
4．(数学与文化)欧拉公式eiθ＝cs θ＋isin θ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是( )
A．eiπ的实部为0
B．e2i在复平面内对应的点在第一象限
C．|eiθ|＝1
D．eiπ的共轭复数为1
C 解析：对于A，eiπ＝cs π＋isin π＝－1，则实部为－1，A错误；
对于B，e2i＝cs 2＋isin 2在复平面内对应的点为(cs 2，sin 2)，因为cs 2＜0，sin 2＞0，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，B错误；
对于C，|eiθ|＝|cs θ＋isin θ|＝cs2θ+sin2θ＝1，C正确；
对于D，eiπ＝csπ＋isin π，则其共轭复数为cs π－isin π＝－1，D错误．
5．已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝2i，则z＝ ．
－1＋i 解析：由题意可得z＝2i1-i＝2i1+i1-i1+i＝2i-22＝－1＋i.
6．(2024·石家庄模拟)设O是坐标原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是 ．
5－5i 解析：因为向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，
所以OA＝(2，－3)，OB＝(－3，2)，
所以BA＝OA-OB＝(5，－5)，
其对应的复数是5－5i.
7．已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为 ．
3π 解析：令z＝a＋bi且a，b∈R，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2，
所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4，
即对应区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积的差，
所以点Z所在区域的面积为4π－π＝3π.
8．已知复数z＝1-i2+31+i2-i．
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝-2i+3+3i2-i＝3+i2-i＝3+i2+i5＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，
得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以a+b=1， 2+a=-1，解得a=-3，b=4.
9．在复平面内，满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z对应的点的轨迹是( )
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
B 解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2+y+42，
|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2+y+12.
结合题意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，
整理可得x2＋y2＝4.
故复数z对应的点的轨迹是圆．
10．(多选题)设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( )
A．z1－z 2＝z1－z2
B．z1z2＝z1·z2
C．若z1z2∈R，则z1＝z2
D．若z1-z2＝0，则z1＝z2
ABD 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，
z1－z 2＝(a－c)－(b－d)i，z1－z2＝a－bi－(c－di)＝(a－c)－(b－d)i，A正确；
z1z2＝ac-bd+ad+bci＝ac-bd2+ad+bc2＝a2+b2c2+d2，
z1·z2＝a2+b2·c2+d2＝a2+b2c2+d2，B正确；
当z1＝i，z2＝－4i时，z1z2＝4∈R，但是z1≠z2，C错误；
若z1-z2＝0，则a-c+b-di＝a-c2+b-d2＝0，所以a＝c，b＝d，z1＝z2，z1＝z2，D正确．
11．(多选题)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B．1z1＝－25－15i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为32＋2
ABD 解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B，1z1＝1-2+i＝-2-i-2+i-2-i＝－25－15i，故B正确；
对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
又因为|z2－1＋2i|＝2，
所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，
则|z1－1＋2i|＝-32+32＝32，
|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋32，故D正确．
12．(2024·邹城模拟)一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cs θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与“三角形式”区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”．已知z1＝cs θ1＋isin θ1，z2＝cs θ2＋isin θ2，cs (π＋θ1＋θ2)＝35，其中θ1∈0，π2，θ2∈0，π2，则z1z2＝ ．(结果表示代数形式)
－35＋45i 解析：因为cs (π＋θ1＋θ2)＝－cs (θ1＋θ2)＝35，所以cs (θ1＋θ2)＝－35＜0.
又θ1∈0，π2，θ2∈0，π2，所以θ1＋θ2∈π2，π，
所以sin (θ1＋θ2)＝1-cs2θ1+θ2＝1--352＝45，
所以z1z2＝(csθ1＋isin θ1)(cs θ2＋isin θ2)＝(cs θ1cs θ2－sin θ1sin θ2)＋i(cs θ1sin θ2＋sin θ1cs θ2)＝cs (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)＝－35＋45i.
13．在数学中，记表达式ad－bc是由a bc d所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝2+i1-i，z3＝z2，则当z1 z2z3 z4＝12－i时，z4的虚部为 ．
－2 解析：依题意知，z1 z2z3 z4＝z1z4－z2z3.
因为z3＝z2，
且z2＝2+i1-i＝2+i1+i2＝1+3i2，
所以z2z3＝|z2|2＝52．
因此有(1＋i)z4－52＝12－i，
即(1＋i)z4＝3－i，
故z4＝3-i1+i＝3-i1-i2＝1－2i，
所以z4的虚部是－2.
14．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋5z是实数；
②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋5z＝a＋bi＋5a+bi＝a＋bi＋5a-bia2+b2
＝a+5aa2+b2＋b-5ba2+b2i.
因为z＋5z是实数，所以b－5ba2+b2＝0.
又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
所以a＋3＋b＝0.
由a+b+3=0，a2+b2=5，
解得a=-1，b=-2 或a=-2，b=-1.
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.