人教A版普通高中数学一轮复习32课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习32课时练习含答案，共7页。试卷主要包含了如图，半球内有一内接正方体等内容，欢迎下载使用。
1．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，A′O′＝6，B′O′＝2，则线段AB的长度为( )
A．210B．410
C．213D．413
C 解析：因为△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，所以△OAB是直角三角形，且两条直角边长为OA＝6，OB＝4，斜边AB的长为OA2+OB2＝36+16＝52＝213.
2．(数学与生活)某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6 cm，上、下底面圆的半径分别为2 cm和4 cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯23高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为(不考虑水杯材质和杯套的厚度)( )
A．24π cm2B．25π cm2
C．683π cm2D．763π cm2
D 解析：根据题意，杯套的形状可看作一个圆台，且该圆台的母线长是圆台形水杯的母线长的23，即6×23＝4(cm)，其下底面圆的半径为圆台形水杯的下底面圆的半径，即2 cm，
下底面圆的半径是2＋23×2＝103(cm)，则圆台的侧面积S1＝2+103×4π＝643π(cm2)，
圆台形水杯的下底面面积S2＝4π(cm2)，故杯套的表面积S＝S1＋S2＝643π＋4π ＝763π(cm2)．
3．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝4，EF＝2，△BCF，△ADE都是等边三角形，则五面体ABCDEF的体积为( )
A．4113B．20113
C．8113D．113
B 解析：如图，过点F作FH⊥AB于点H，FS⊥CD于点S，过点E作EG⊥AB于点G，EQ⊥CD于点Q，连接HS，GQ，将五面体的体积转化为两个相同的四棱锥和一个三棱柱的体积之和，
则V五面体ABCDEF＝2V四棱锥F-BCSH＋V三棱柱HSF-GQE.
过点F作FM⊥HS于点M，则易知FM⊥平面ABCD, FM2＝FH2－HM2＝FB2－HB2－HM2＝11，所以FM＝11，所以V四棱锥F-BCSH＝13×4×1×11＝4113，V三棱柱HSF-GQE＝12×4×11×2＝411，故V五面体ABCDEF＝8113＋411＝20113．
4．(2024·福州模拟)已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为 ．
910π 解析：圆台的下底面半径为5，故下底面的圆心与球心重合，如图所示．设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝OQ2-O'Q2＝52-42＝3，圆台的母线长为32+5-42＝10，据此可得圆台的侧面积为π×10×(4＋5)＝910π.
5．(2024·1月九省适应性测试)已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值为 ， 圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是 ．
23 1 解析：设圆锥MM′的底面半径为r, 球O的半径为R.
因为圆锥MM′的轴截面为正三角形，所以圆锥MM′的高h＝3r，母线l＝2r.
由题意可知h＝2R，所以球O的半径R＝32r，
所以圆锥MM′的体积V1＝13×πr2×3r＝33πr3，
球O的体积V2＝43πR3＝43π×32r3＝32πr3，
所以V1V2＝33πr332πr3＝23．
圆锥MM′的表面积S1＝πrl＋πr2＝3πr2，
球O的表面积S2＝4πR2＝4π×32r2＝3πr2，
所以S1S2＝3πr23πr2＝1.
6．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 cm.
61 解析：如图，把三棱柱的侧面展开两次可得对角线最短，则最短路线的长为62+52＝61(cm)．
7．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B-AMNC的体积为 ．
13V 解析：如图，连接AN，
对于三棱锥B-ACN，B-AMN，显然它们等底同高，故VB-ACN＝VB-AMN.
因为VB-ACN＝VN-ABC，CN＝C1N，所以三棱锥N-ABC的高是三棱柱ABC-A1B1C1的高的一半，且都以△ABC为底面，故VN-ABC＝13×12V＝16V，故VB-AMNC＝2×16V＝13V.
8．如图，半球内有一内接正方体(即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上)．若正方体的棱长为6，求半球的表面积和体积．
解：因为正方体的棱长为6，
所以在半球上的正方体的4个顶点所在的小圆的半径r＝12×6×2＝3.
而半球球心到此小圆的距离d＝6，因此半球的半径R＝d2+r2＝3，
所以半球的表面积S＝12×4πR2＋πR2＝27π，
半球的体积V＝12×43πR3＝18π.
9．(数学与文化)(2024·南京模拟)三星堆古遗址作为“长江文明之源”，被誉为人类最伟大的考古发现之一．在3号坑中发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”的观念，是天地合一的体现．如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12 cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为( )
A．72π cm2B．162π cm2
C．216π cm2D．288π cm2
C 解析：不妨设正方体的棱长为2a，球O的半径为R，则圆柱的底面半径为a.
因为正方体的体对角线即为球O直径，所以2R＝23a，即R＝3a.利用勾股定理得62＋a2＝R2＝3a2，解得a2＝18，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×3×18＝216π(cm2)．
10．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°.若△PAB的面积等于934，则该圆锥的体积为( )
A．πB．6π
C．3πD．36π
B 解析：取AB的中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB，如图．
在△AOB中，∠AOB＝120°，OA＝OB＝3，所以∠ABO＝30°，OC＝32，AB＝2BC＝3.
由S△PAB＝934，得12×3×PC＝934，解得PC＝332，于是PO＝PC2-OC2＝3322-322＝6，
所以圆锥的体积V＝13π·OA2·PO＝13π×(3)2×6＝6π.
11．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-ABE外接球的表面积为( B )
A．2516π B．254π
C．52π D．5π
12．(2023·新高考全国Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
28 解析：(方法一)如图，因为24＝12，截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，
所以原正四棱锥的体积为13×(4×4)×6＝32，
截去的正四棱锥的体积为13×(2×2)×3＝4，
所以棱台的体积为32－4＝28.
(方法二)因为24＝12，截去的正四棱锥的高为3，所以棱台的高也为3，所以棱台的体积为13×3×(16＋4＋16×4)＝28.