人教A版普通高中数学一轮复习45课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习45课时练习含答案，共10页。试卷主要包含了设n∈N*，有三个条件等内容，欢迎下载使用。
1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，4a1，2a3，a5成等差数列，则a1等于( )
A．52－5B．52＋5
C．52D．5
A 解析：设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，q>0，
由前4项和为15，4a1，2a3，a5成等差数列，
可得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，
4a3＝4a1＋a5，即4a1＋a1q4＝4a1q2，即q2－2＝0，解得q＝2，所以a1＝52－5.
2．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且SnTn＝n+12n，则lga3b3 等于( )
A．35B．95
C．59D．53
D 解析：因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列，
所以数列{lg an}与{lg bn}为等差数列．
因为SnTn＝n+12n，
所以S5T5＝lga1·a2·…·a5lgb1·b2·…·b5＝lga35lgb35
＝lgb3a3 ＝610＝35，所以lga3b3 ＝53．
3．若函数f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则数列1fn(n∈N*)的前n项和为( )
A．nn+1B．n+2n+1
C．nn−1D．n+1n
A 解析：因为f(x)＝xm＋ax，所以f′(x)＝mxm-1＋a.又因为f′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，
所以f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
所以1fn＝1nn+1＝1n－1n+1，
所以数列1fn的前n项和为
1f1＋1f2＋…＋1fn＝1−12＋12−13＋…＋1n−1n+1＝1－1n+1＝nn+1．
4．(新定义)定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则a15＋a25＋a35＋…＋a105等于( )
A．30B．29
C．28D．27
D 解析：a15＋a25＋a35＋…＋a105＝25＋55＋85＋…＋295＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27.
5．(2024·岳阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝－2a5，1lg1.1272＝lg7−lg2lg1.12≈11.1，
因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元．
12．在正项数列{an}中，a1＝2，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－1＝12an2(n≥2)．若数列bn＝(－1)n·2n+1Sn，则数列{bn}的前2 020项和为 ．
－2 0202 021 解析：在正项数列{an}中，a1＝2，
其前n项和Sn满足Sn＋Sn－1＝12an2(n≥2)，
可得Sn－1＋Sn－2＝12an−12(n≥3)，
两式相减，得an＋an－1＝12an2－12an−12.
因为在正项数列{an}中，有an＋an－1≠0，
化简得an－an－1＝2(n≥3)．
当n＝2时，S2＋S1＝4＋a2＝12a22，
解得a2＝4.因为a2－a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an＝2n，Sn＝n(n＋1)，
所以bn＝(－1)n·2n+1Sn＝(－1)n·n+n+1nn+1
＝(－1)n·1n+1n+1．
数列{bn}的前2 020项和为－1－12＋12＋13－…－12 019－12 020＋12 020＋12 021＝－1＋12 021＝－2 0202 021．
13．函数y＝f(x)，x∈[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，
①函数f(x)是单调递增的；
②数列{an}是递增数列．
写出一个满足①的函数f(x)的解析式 ．
写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式 ．
f(x)＝x2(答案不唯一) f(x)＝x−432(答案不唯一) 解析：易知在[1，＋∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f(x)＝x2.
第二个空需要找一个数列是递增数列，而对应的函数在[1，＋∞)上不是单调递增的，可写为f(x)＝x−432，
此时f(x)在1，43上单调递减，在43，+∞上单调递增，
所以f(x)＝x−432在[1，＋∞)上不是单调递增的，不满足①，
而对应的数列为an＝n−432在n∈N*上越来越大，属于递增数列．
14．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－4an(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
又由a＞0，得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4，
所以Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝1，n=1，2n−5，n≥2.
(2)由题意得cn＝−3，n=1，1−42n−5，n≥2.
由cn＝1－42n−5可知，当n≥5时，恒有cn＞0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－13，c5＝15，c6＝37，即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0.
所以数列{cn}的变号数为3.
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n22＋3n2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝an＋2－an＋1an+2·an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn