人教A版普通高中数学一轮复习48课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习48课时练习含答案，共9页。试卷主要包含了已知点M在圆C，已知圆C，自圆C，若P是圆C等内容，欢迎下载使用。
1．(2024·宁德模拟)已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A．－6＜k＜12B．k＜－6或k＞12
C．k＞－6D．k＜12
A 解析：因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝1-2k.
若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足3-12+1+22＞1-2k，且1－2k＞0，即13＞1－2k且k＜12，所以－6＜k＜12．
2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
A 解析：如图，由圆的几何性质及直角三角形中线的性质，可知圆的半径r＝22+-32＝13.故此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A 解析：若圆C与y轴相切于原点，则圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a，0)，则半径r＝|a|.当E＝F＝0且D＜0时，圆心为-D2，0，半径为D2，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2＞0.故“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的充分不必要条件．
4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0
D 解析：设圆心为(a，0)(a＞0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝3a+432+42＝3a+45＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0.
5．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0
D 解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．
设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x02+y02＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，
即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意．
6．(多选题)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离的值可以为( )
A．4B．6
C．32＋1D．8
ABC 解析：如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．
由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为-3-02+3+12＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为0.故选ABC.
7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为 ，半径为 ．
(－2，－4) 5 解析：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，
因为D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，
所以a＝2不符合题意；
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
所以圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
8．(新背景)如图所示，两根杆(杆足够长)分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是 ．
x2＋y2＝a2 解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以yx+a·yx-a＝－1(x≠±a)．化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2.
9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．若线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D32，-12．
又kAB＝－3，所以km＝13，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由x-3y-3=0，x-y+1=0，得x=-3，y=-2，
即圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝-3-12+-2-12＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x0，y0)，
因为点P的坐标为(5，0)，M为PQ的中点，
所以x=x0+52，y=y0+02，即x0=2x-5，y0=2y.
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254．
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝254．
10．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．2B．2
C．22＋1D．2－1
C 解析：因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为22＝2＞1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离，为12＝22，所以a－b＝2＋1－22＝22＋1.
11．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则2a＋6b的最小值是( )
A．23B．203
C．323D．163
C 解析：由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39.
因为圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，
所以该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，
所以a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，
所以2a＋6b＝23(a＋3b)1a+3b＝23·1+3ab+3ba+9≥2310+23ab·3ba＝323，
当且仅当3ba＝3ab，即a＝b＝34时取等号，故2a＋6b的最小值为323．
12．(2024·平顶山模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝4上的两动点，|AB|＝23，点P是圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一点，则|PA+PB|的最小值是( )
A．2B．4
C．6D．8
C 解析：设M是AB的中点，因为|AB|＝23，所以|OM|＝4-3＝1，即点M在以O为圆心，1为半径的圆上，
PA+PB＝PM+MA+PM+MB＝2PM，所以|PA+PB|＝2|PM|.
又|PO|min＝|OC|－1＝-32+42－1＝4，所以|PM|min＝|PO|min－1＝4－1＝3，
所以|PA+PB|min＝2×3＝6.故选C.
13．写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程：________________________________________________________________________.
(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一) 解析：设点O(0，0)为圆的直径的端点，
点O(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离，d＝0+0-42＝22，
故满足条件的一个圆的半径为r＝2.
由于圆心所在的直线与x＋y－4＝0垂直，且该直线经过原点，所以圆心所在的直线方程为y＝x.
由y=x， x+y-4=0，解得x=2，y=2，
所以圆心的坐标为(1，1)．
所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．
由题设知CM·MP＝0，
故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P(2，2)在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，
故直线l的方程为x＋3y－8＝0.
又|ON|＝10，|NP|＝|NM|＝2，|OM|＝|OP|＝22，
O到直线l的距离为0+0-812+32＝4105，
所以|PM|＝2222-41052＝4105，所以S△POM＝12×4105×4105＝165，
故△POM的面积为165．
15．在平面直角坐标系中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，
由题意知Δ＝m2－8m＞0，
得m＜0或m＞8，
x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，故C(0，2m)．
(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则AC·BC＝0，又AC＝(－x1，2m)，BC＝(－x2，2m)，所以x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，解得m＝0或m＝－12．
因为m＜0或m＞8，所以m＝－12，
此时C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点-14，0，半径r＝142+-12＝174，故所求圆的方程为x+142＋y2＝1716．
证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将C(0，2m)代入，可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令x2+y2-y=0，x+2y-2=0，
解得x=0，y=1 或x=25，y=45．
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和25，45．