人教A版普通高中数学一轮复习49课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习49课时练习含答案，共11页。试卷主要包含了圆C1，已知圆C的圆心在直线l1，已知直线x－my＋1＝0与⊙C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。
1．在平面直角坐标系中，直线3x cs α＋2y sin α＝1(α∈R)与圆O：x2＋y2＝12的位置关系为( )
A．相切B．相交
C．相离D．相交或相切
D 解析：因为圆心到直线的距离
d＝13cs2α+2sin2α＝12+cs2α≤22，
当且仅当α＝kπ＋π2(k∈Z)时，等号成立．
又圆O：x2＋y2＝12的半径为22，
所以直线与圆相交或相切．
2．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是( )
A．1B．2
C．3D．4
C 解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1，2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3，2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝-1-32+2-22＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.
3．过点A(a，0)(a＞0)，且倾斜角为30°的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切于点B，且|AB|＝3，则△OAB的面积是( )
A．12B．32
C．1D．2
B 解析：在Rt△AOB中，∠OBA＝90°，∠BAO＝30°，|AB|＝3，故|OB|＝1，所以S△OAB＝12|AB|·|OB|＝32．
4．已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2，2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为( )
A．25B．4215
C．21055D．655
D 解析：设圆C的圆心坐标为(a，b)，
则有a+2b-7=0， a+2b-212+22=a+22+b-22，
解得a＝－1，b＝4，
则圆心为C(－1，4)，
半径r＝-1+22+4-22＝5，
则圆心C到直线2x＋y－6＝0的距离
d＝-2+4-622+12＝455，
则弦长为2r2-d2＝2×5-165＝655．
5．若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1，0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为( )
A．(－18，6]B．[－2，6]
C．[－2，18]D．[4，18]
C 解析：将圆C的方程化为标准方程得
(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m＞－18.
因为圆C上有到(－1，0)的距离为1的点，
所以圆C与圆C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共点，
所以|m+18－1|≤|CC′|≤m+18＋1.
因为|CC′|＝3+12+32＝5，
所以|m+18－1|≤5≤m+18＋1，
解得－2≤m≤18.
6．(多选题)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝32
D．当∠PBA最大时，|PB|＝32
ACD 解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝5+2×5-45＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4＋115＜5＋ 1255＝10，故A正确；
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜ 1255－4＝1，故B不正确；
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，
如图所示，连接MB，MN，MQ，
则当∠PBA最小时，点P与点N重合，
|PB|＝MB2-MN2＝52+5-22-42＝32，
当∠PBA最大时，点P与点Q重合，|PB|＝MB2-MQ2＝52+5-22-42＝32，故C，D正确．
7．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为85”的m的一个值 ．
2或-2或12或-12 解析：由⊙C：(x－1)2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(1，0)，半径为r＝2.
因为△ABC的面积为85，可得S△ABC＝12×2×2×sin ∠ACB＝85，解得sin ∠ACB＝45．设12∠ACB＝θ，所以2sin θcs θ＝45．
由2sinθcsθsin2θ+cs2θ＝45，得2tanθtan2θ+145，所以tanθ＝12或tan θ＝2，
所以cs θ＝25或cs θ＝15．
故圆心C(1，0)到直线x－my＋1＝0的距离d＝45或25，
即21+m2＝45或21+m2＝25，解得m＝±12或m＝±2.
8．已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为 ．
(x＋3)2＋(y＋3)2＝18 解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r.
因为x2＋y2＋10x＋10y＝0可化为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，
所以其圆心为(－5，－5)，半径为52.
因为两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50的内部，所以两圆内切，
所以a2+b2=r2， a+52+b+52=52-r，0-a2+-6-b2=r2，
解得a＝－3，b＝－3，r＝32，
所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.
9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；
(2)若过点P(1，0)的直线l′与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积S的最大值，并求此时直线l′的方程．
(1)证明：转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，
可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0.
由x-y+1=0，-2x+y+1=0，解得x=2，y=3，
所以直线l恒过点(2，3)．
由(2－3)2＋(3－4)2＝2＜4，
得点(2，3)在圆C内，
即直线l恒过圆C内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．
(2)解：由圆C的圆心为(3，4)，半径r＝2，
易知此时直线l′的斜率存在且不为0，
故设直线l′的方程为x＝ny＋1(n≠0)，
即ny－x＋1＝0，
圆心到直线l′的距离d＝4n-3+1n2+-12＝4n-2n2+1，
所以|AB|＝2r2-d2＝24-4n-22n2+1，
所以S2＝12AB·d2
＝4-4n-22n2+1·4n-22n2+1．
令t＝4n-22n2+1，
可得S2＝4t－t2，当t＝2时，Smax2
所以△ABC面积S的最大值为2.
由2＝4n-22n2+1，整理得7n2－8n＋1＝0，
解得n＝1或n＝17，符合题意，
此时直线l′的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
10．(2024·昆明模拟)直线2x·sin θ＋y＝0被圆x2＋y2－25y＋2＝0截得的弦长的最大值为( )
A．25B．23
C．3D．22
D 解析：易知圆的标准方程为x2＋(y－5)2＝3，
所以圆心为(0，5)，半径r＝3.
由题意知圆心到直线2x·sin θ＋y＝0的距离
d＝54sin2θ+1＜3，解得sin2θ＞16，
所以弦长为2r2-d2＝23-54sin2θ+1.
因为53＜4sin2θ＋1≤5，所以1≤54sin2θ+1＜3，
所以2r2-d2＝23-54sin2θ+1∈(0，22].
所以当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值22.
11．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0
D 解析：圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心为M(1，1)，点M到直线l的距离为d＝2×1+1+222+12＝5＞2，所以直线l与圆M相离．由圆的性质可知，点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×12×|PA|×|AM|＝4|PA|．而|PA|＝PM2-AM2＝PM2-4，当直线l⊥PM时，|PM|最小，|PM|min＝5，|PA|min＝1，此时|PM|·|AB|最小，直线PM的方程为y－1＝12(x－1)，即x－2y＋1＝0.
由x-2y+1=0，2x+y+2=0，解得x=-1，y=0，所以P(－1，0)．所以以PM为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0.两圆的方程相减可得2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．
12．(新定义)有数学家证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足PAPB＝2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是 ．
22 解析：以经过点A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)，因为PAPB＝2，
所以x+12+y2x-12+y2＝2，整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
即(x－3)2＋y2＝8，
当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为12×2×22＝22.
13．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于点A，与y轴切于点B，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是 ．
x－y＋2－2＝0 解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧AB的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过点M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM|＝2－1，所以M22-1，1-22，所以切线方程为y－1＋22＝x－22＋1，整理得x－y＋2－2＝0.
14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|取得最小值时点P的坐标．
解：(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径为2，易知切线斜率存在．
由圆C的切线在两坐标轴上的截距相等，可分两种情况：
①当截距不为零时，可设切线的方程为x＋y－b＝0，
由-1+2-b2＝2，解得b＝－1或b＝3，
故切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
②当截距为零时，可设切线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0，
由-k-2k2+1＝2，解得k＝2＋6或k＝2－6，
故切线的方程为y＝(2＋6)x或y＝(2－6)x.
综上可知，切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝(2＋6)x或y＝(2－6)x.
(2)因为|PM|＝|PO|，
所以|PO|取最小值时，|PM|也取最小值．
因为切线PM与半径CM垂直，
所以|PM|2＝|PC|2－|CM|2.
又|PM|＝|PO|，所以|PC|2－|CM|2＝|PO|2，
所以(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x12+y12，
整理得2x1－4y1＋3＝0，
即点P(x1，y1)在直线2x－4y＋3＝0上，
所以|PO|的最小值等于点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d，此时d＝322+42＝3510．
故|PO|取得最小值时，
|PO|2＝x12+y12＝d2＝35102＝920，
所以x12+y12=920， 2x1-4y1+3=0，解得x1=-310 ，y1=35 ．
所以此时点P的坐标为-310，35．
15．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程．
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问：在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a，0)a＞-52，
则4a+105＝2，解得a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴，即直线AB的斜率不存在时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，显然斜率不为0，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由x2+y2=4，y=kx-1，
得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
Δ＝4k4－4(k2＋1)(k2－4)＞0，
所以x1＋x2＝2k2k2+1，x1x2＝k2-4k2+1．
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN，即y1x1-t＋y2x2-t＝0，
kx1-1x1-t＋kx2-1x2-t＝0，
整理得2x1x2－(t＋1)·(x1＋x2)＋2t＝0，
2k2-4k2+1－2k2t+1k2+1＋2t＝0，解得t＝4，
所以当点N的坐标为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB.