人教A版普通高中数学一轮复习50课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习50课时练习含答案，共9页。试卷主要包含了若椭圆C，椭圆C，已知B是圆A，设B是椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1．若椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A．12B．33
C．22D．24
C 解析：因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝ca＝22．
2．已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13B．12
C．9D．6
C 解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.
由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤MF1+MF222＝622＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．
3．设椭圆x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)的离心率为e，则“e＝32”是“m＝4n”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B 解析：当m＞n时，e＝m-nm＝32，则m＝4n；
当m＜n时，e＝n-mn＝32，则n＝4m.
所以e＝32推不出m＝4n，充分性不成立．
当m＝4n时，则e＝m-nm＝32，必要性成立．
综上，“e＝32”是“m＝4n”的必要不充分条件．
4．(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为( )
A．32B．22
C．12D．13
A 解析：设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，
所以kAP·kAQ＝nm+a·n-m+a＝n2a2-m2＝14(*)．
因为点P在椭圆C上，
所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2(a2－m2)，
代入(*)式，得b2a2＝14，所以e＝ca＝1-b2a2＝32．
5．已知B(－3，0)是圆A：(x－3)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D，则动点D的轨迹方程为 ．
x24＋y2＝1 解析：如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4＞23＝|AB|.
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±3，0)，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为x24＋y2＝1.
6．设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是 ．
0，22 解析：依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b.由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，则|PB|2＝x02＋(y0－b)2＝x02+y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.
因为当y0＝－b时，|PB|2取得最大值4b2，
所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，
所以离心率e＝ca∈0，22．
7．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，点A到直线EF2的距离为62b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为3，求椭圆C的标准方程．
解：(1)由题意得A(－a，0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c.
因为点A到直线EF2的距离为62b，
即-a-c12+12＝62b，所以a＋c＝3b，
即(a＋c)2＝3b2.
又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝12或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为12．
(2)由(1)知离心率e＝ca＝12，即a＝2c①，
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为3，
则12|PF1||PF2|sin 60°＝3，
所以|PF1||PF2|＝4.
由PF1+PF2=2a， PF12+PF22-2PF1PF2cs60°=2c2，
得a2－c2＝3②，
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
8．已知过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－1，0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是( )
A．x26＋y25＝1B．x25＋y24＝1
C．x23＋y22＝1D．x24＋y23＝1
B 解析：如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1，0)，点C，F1是线段AB的三等分点，
得C为AF1的中点，F1为BC的中点，
所以x0＝c＝1，
易得y0＝b2a，即A1，b2a，
所以C0，b22a，B-2，-b22a．
将点B的坐标代入椭圆方程，得4a2＋b44a2b2＝1，
即4a2＋b24a2＝1，结合a2－b2＝c2＝1，
解得a2＝5，b2＝4，
所以椭圆的标准方程是x25＋y24＝1.
9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝a2c上存在一点P满足(FP+FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A．12，1B．22，1
C．5-12，1D．0，22
C 解析：取AP的中点Q，则FQ＝12(FP+FA)，
所以(FP+FA)·AP＝2FQ·AP＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝b2+c2＝a.
因为点P在直线x＝a2c上，
所以|FP|≥a2c－c，即a≥a2c－c，
所以ac≥a2c2－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥5-12或e≤-5-12．
又0＜e＜1，故5-12≤e＜1.
10．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为 ，离心率为 ．
x212＋y29＝1或x29＋y212＝1 12 解析：焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝3，
又短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，所以a＝2c，所以c＝3，a＝23，b＝3，
所以椭圆的方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1，
离心率e＝ca＝12．
11．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为 ．
3-12 解析：由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，3c)．
将点P的坐标代入x2a2＋y2b2＝1，可得4c2a2＋3c2b2＝1，
整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，
所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝2±32．
又0＜e＜1，所以e＝3-12．
12．如图所示，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，
则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝2c，e＝ca＝22．
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由AF2＝2F2B，得2x-1=1，2y=-b，
解得x＝32，y＝－b2．
代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1.
即94a2＋14＝1，解得a2＝3.
所以b2＝a2－1＝2.
所以椭圆的方程为x23＋y22＝1.
13．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝3c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，
故C的离心率为e＝ca＝3－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当12|y|·2c＝16，yx+c·yx-c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，
即c|y|＝16①，x2＋y2＝c2②，x2a2＋y2b2＝1③.
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2．
又由①知y2＝162c2，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.
所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．