人教A版普通高中数学一轮复习53课时练习含答案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习53课时练习含答案，共11页。试卷主要包含了直线l过抛物线C，已知椭圆C，已知双曲线C，设A，B，，已知抛物线C，已知焦点在x轴上的椭圆C，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
1．若直线y＝kx＋2与椭圆x27＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m＞1B．m＞0
C．0＜m＜4且m≠1D．m≥4且m≠7
D 解析：直线y＝kx＋2恒过定点(0，2)，若直线y＝kx＋2与椭圆x27＋y2m＝1总有公共点，则点(0，2)在椭圆x27＋y2m＝1内部或在椭圆上，所以4m≤1，m≥4.由方程x27＋y2m＝1表示椭圆，则m＞0且m≠7.综上，m的取值范围是m≥4且m≠7.
2．(2024·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点．若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A．14B．12
C．1D．2
C 解析：由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点的坐标分别为p2，1，p2，−1或p2，−1，p2，1，代入抛物线方程可解得p＝1.
3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C：x23＋y2＝1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点．若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝( )
A．23B．23
C．－23D．－23
C 解析：记直线y＝x＋m与x轴交于M(－m，0)，
因为椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且由△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
所以|－2－xM|＝2|2－xM|，解得xM＝23或xM＝32.
所以－m＝23或－m＝32，所以m＝－23或m＝－32.
联立x23+y2=1，y=x+m，可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
因为直线y＝x＋m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，
所以m＝－32不符合题意，故m＝－23．
4．(2024·巴中模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为34的直线与C的右支交于点P.若线段PF1恰被y轴平分，则C的离心率为( )
A．12B．233
C．2D．3
C 解析：如图，设PF1交y轴于点A，A为PF1的中点．
又因为O为F1F2的中点，所以AO为△PF1F2的中位线，则AO∥PF2.而AO⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2.
因为直线PF1的斜率为34，故在Rt△PF2F1中，tan ∠PF1F2＝34，
设|PF2|＝3t，则|F1F2|＝4t，|PF1|＝5t，
结合双曲线的定义以及点P在双曲线右支上，
得4t＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a＝2t，则2a＝c，
所以e＝ca＝2.
5．(多选题)过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列满足条件的直线l有( )
A．x＝3B．x＋2y－1＝0
C．x－2y－3＝0D．x＋2y－3＝0
ACD 解析：由题意知F(3，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，
由x=3，x2−y22=1，得y＝±2，
所以|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－3)，
由y=kx−3，x2−y22=1，
得(2－k2)x2＋23k2x－3k2 －2＝0.
当2－k2＝0时，不符合题意，
当2－k2≠0时，Δ＝(23k2)2＋4(2－k2)(3k2＋2)＞0，x1＋x2＝23k2k2−2，x1x2＝3k2+2k2−2，
|AB|＝1+k2·x1+x22−4x1x2
＝1+k2·23k2k2−22−12k2+8k2−2
＝1+k2·16k2+1k2−22＝4k2+1k2−2＝4，
解得k＝±22．
所以直线l的方程为y＝±22(x－3)，
即x±2y－3＝0.
6．过点(0，3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为 ．
y＝13x＋3或y＝3或x＝0 解析：当直线l的斜率k存在且k≠0时，直线l的方程为y＝kx＋3(k≠0)，与抛物线方程联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，由题可知Δ＝(6k－4)2－4×k2×9＝0，解得k＝13，所以直线l的方程为y＝13x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点94，3；当k不存在时，若直线l与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程为x＝0.综上，过点(0，3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝13x＋3或y＝3或x＝0.
7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F作斜率为5的直线l与C交于M，N两点．若线段MN中点的纵坐标为10，则F到C的准线的距离为 ．
52 解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y12＝2px1，y22＝2px2，
两式相减得y12−y22＝2px1－2px2，
即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．
因为M，N两点在斜率为5的直线l上，
所以y1−y2x1−x2＝2py1+y2＝5，
得5(y1＋y2)＝2p.
因为线段MN中点的纵坐标为10，
所以y1＋y2＝210，
则5×210＝2p，p＝52，
所以F到C的准线的距离为52.
8．已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，短轴长为23，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝1827，求直线l的方程．
解：(1)由2b=23，a−c=1，a2−c2=b2，得a=2，b=3，c=1，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，F1(－1，0)，B(2，0)，
设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由x24+y23=1，x=my−1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝36m2＋4×9×(3m2＋4)＞0，
则y1＋y2＝6m3m2+4，y1y2＝−93m2+4．
又S△BMN＝12|BF1|·|y1|＋12|BF1|·|y2|＝12|BF1|·|y1－y2|＝12|BF1|·y1+y22−4y1y2＝18m2+13m2+4＝1827，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
9．(思维创新)(2024·淮北模拟)已知A(－2，0)，B(2，0)，过P(0，－1)且斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足：|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23，则k的取值范围是( )
A．−63，63
B．−63，−33∪−33，33∪33，63
C．33，63
D．−63，−33
C 解析：因为|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝23＜|AB|＝4，
所以M，N是以A(－2，0)，B(2，0)为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，a＝3，
所以b＝c2−a2＝1，
所以双曲线的方程为x23－y2＝1(x≥3)，
则过P(0，－1)且斜率为k的直线方程为y＝kx－1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由x23−y2=1，y=kx−1，
消去y，整理得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0，
所以1−3k2≠0， Δ=6k2+4×61−3k2＞0，x1+x2=−6k1−3k2＞0， x1x2=−61−3k2＞0，
解得33＜k＜63，即k的取值范围为33，63．
10．(多选题)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则( )
A．y1y2为定值
B．k1k2为定值
C．y1＋y2为定值
D．k1＋k2＋t为定值
ABD 解析：由x=ty+4，y2=4x，得y2－4ty－16＝0，
Δ＝16t2＋64＞0，
则y1+y2=4t，y1y2=−16.
对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确；
对于B，k1k2＝y1y2x1x2＝y1y2y12y2216＝16y1y2＝－1为定值，故B正确；
对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误；
对于D，k1＋k2＋t＝y1x1＋y2x2＋t＝x2y1+x1y2x1x2＋t＝ty2+4y1+ty1+4y2y12y2216＋t
＝2ty1y2+4y1+y2y12y2216＋t＝−32t+16t16＋t
＝－t＋t＝0为定值，故D正确．
11．已知点A(0，1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA与抛物线C的准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a的值为 ．
433 解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为a4，0，过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为K(图略)，
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.
因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝3∶1.
又kFA＝0−1a4−0＝－4a，kFN＝－KNKM＝－3，F，N，A三点共线，
所以－4a＝－3，解得a＝433．
12．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为12的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2内切圆的周长是2π.若椭圆C的离心率为12，则|AB|＝ ．
45 解析：如图所示，由椭圆定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长为4a.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
△ABF2内切圆的半径为r，
又△ABF2内切圆的周长是2π，故2π＝2πr，则r＝1.
由题意得12×4a×r＝12×2c×|y1－y2|，
得|y1－y2|＝2ac＝2e＝4，
所以|AB|＝1+1k2|y1－y2|＝45.
13．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，23)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为22，求直线l的方程．
解：(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为x2a2－y24−a2＝1(0＜a2＜4)．
将点P(5，23)代入上式，得25a2－234−a2＝1，
解得a2＝2或a2＝50(舍去)，
故双曲线C的方程为x22－y22＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以1−k2≠0， Δ=−4k2+241−k2＞0，
解得k≠±1， −3＜k＜3．(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k1−k2，x1x2＝−61−k2，
所以|AB|＝1+k2·x1+x22−4x1x2
＝1+k2·22×3−k21−k2．
又原点O到直线l的距离d＝21+k2，
所以S△OAB＝12d·|AB|＝12×21+k2×1+k2×22×3−k21−k2＝22×3−k21−k2．
又S△OAB＝22，即3−k21−k2＝1，
所以k4－k2－2＝0，解得k＝±2，满足(*)．
故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为y＝2x＋2和y＝－2x＋2.
14．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E14，0，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．
解：(1)因为椭圆的离心率为e＝ca＝12，
长轴长为2a＝4，
所以a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.
(2)易知直线的斜率k存在，设直线l的方程为y＝kx−14，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称．
当k≠0时，有kAB＝y1−y2x1−x2＝－1k，
设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以x124+y123=1，x224+y223=1，
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)·(y1－y2)，即3kx0＝4y0.
又y0＝kx0−14 ，
解得x0＝1，y0＝3k4．
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以x024＋y023＜1，即14＋3k423＜1，
解得－2＜k＜0或0＜k＜2.
综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2，2)．