人教A版普通高中数学一轮复习59课时练习含答案

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1．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．具有相关关系的两个变量不是因果关系
B．散点图能直观地反映数据的相关程度
C．经验回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D．任何一组数据都有经验回归方程
D 解析：根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；
散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且经验回归直线最能代表它们之间的线性相关关系，所以B，C正确；
具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确．
2．对两个变量x，y进行线性回归分析，计算得到样本相关系数r＝－0.996 2，则下列说法中正确的是( )
A．x与y正相关
B．x与y具有较强的线性相关关系
C．x与y几乎不具有线性相关关系
D．x与y的线性相关关系还需进一步确定
B 解析：因为样本相关系数r＝－0.996 2，所以x与y负相关．因为|r|＝0.996 2，非常接近1，所以线性相关性很强．故选B．
3．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10 °C至40 °C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bexD．y＝a＋b ln x
4．某供电公司为了分析本地某小区的用电量y(单位：kW·h)与气温x(单位：°C)之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天的气温，这两者之间的对应关系如下表：
若上表中的数据可用经验回归方程y＝－2x＋b(b∈R)来预测，则当气温为－4 °C时，该小区相应的用电量约为 kW·h.
68 解析：由表中数据可得x＝18+13+10-14＝10，y＝24+34+38+644＝40，
则将(10，40)代入经验回归方程可得，40＝－20＋b，得b＝60，
则经验回归方程为y＝－2x＋60.
当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.故当气温为－4 ℃时，该小区相应的用电量约为68 kW·h.
5．新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格y(单位：万元/千克)与月份x的统计数据．
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y＝0.28x＋a，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差为－0.06，则表中m＝ ．
1．4 解析：由题可知，当x＝5时，有1.5－y＝1.5－(0.28×5＋a)＝－0.06，解得a＝0.16.
又x＝1+2+3+4+55＝3，
y＝0.5+0.6+1+m+1.55＝3.6+m5，
且经验回归直线过样本点的中心(x，y)，所以0.28×3＋0.16＝3.6+m5，解得m＝1.4.
6．(多选题)某工厂为了研究某种产品的产量x(单位：吨)与所需某种材料的用量y(单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示．根据表中数据可得经验回归方程为y＝0.78x＋a，则下列四个说法中正确的为( )
A．变量x与y正相关
B．y与x的样本相关系数r0，故A正确，B错误；
由表格数据可得x＝3+4+6+74＝5，y＝2.5+3+4+5.94＝3.85，
则0.78×5＋a＝3.85，解得a＝－0.05，故C正确；
经验回归方程为y＝0.78x－0.05，
当x＝8时，y＝0.78×8－0.05＝6.19，
即产量为8吨时，预测所需材料约为6.19吨，故D正确．
7．(能力创新)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月的广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的经验回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除．
①剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的经验回归方程；
②当广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预测值是多少？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归方程y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估计分别为 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))(yi－\x\t(y)),\i\su(i＝1,n, )(xi－\x\t(x))2)＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x) eq \\al(2,i)－n\x\t(x)2)， eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(y)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x).
解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度更高，经验回归方程的预测精度高．
(2)①剔除异常数据，即3月份的数据后，得
x'＝15×(7×6－6)＝7.2，
y'＝15×(30×6－31.8)＝29.64，
eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44，
eq \i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i)＝364－62＝328，
所以 eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\t(x′) \x\t(y′),\i\su(i＝1,5,x) eq \\al(2,i)－5\x\t(x′)2)
＝1 273.44-5×7.2×29.64328-5×7.22
＝206.468.8＝3，
a＝y'－K000bx'＝29.64－3×7.2＝8.04.
所以y关于x的经验回归方程为y＝3x＋8.04.
②把x＝18代入①中所求经验回归方程得
y＝3×18＋8.04＝62.04.
故收益的预测值为62.04万元．气温x/°C
18
13
10
－1
用电量y/(kW·h)
24
34
38
64
月份代码x
1
2
3
4
5
碳酸锂价格y/(万元/千克)
0.5
0.6
1
m
1.5
x/吨
3
4
6
7
y/吨
2.5
3
4
5.9
月份
1
2
3
4
5
6
x/万元
2
4
6
8
10
12
y/万元
14.21
20.31
31.8
31.18
37.83
44.67
x
y
eq \i\su(i＝1,6,x)iyi
eq \i\su(i＝1,6,x) eq \\al(2,i)
7
30
1 464.24
364