人教A版普通高中数学一轮复习第2章第3节第2课时函数性质的综合应用课件

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单调性与奇偶性结合【例1】(1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)A ．[－1，1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞)D．[－1，0]∪[1，3]
核心考点 提升“四能”
D　解析：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝－f(2)＝0，f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；当x<0时，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x<0，所以－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)既是奇函数又是增函数，f(3)＝2，则f(2x－1)<－2的解集为(　　)A．{x|x<－2}B．{x|x<－3}C．{x|x<－1}D．{x|x<0}D　解析：因为f(2x＋1)是奇函数，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．令x＝1，则f(－1)＝－f(3)．又f(3)＝2，所以f(－1)＝－2.由 f(2x－1)<－2，可得 f(2x－1)[变式]　若本例(1)条件中“奇函数”变为“偶函数”，则不等式xf(x－1)≥0的解集为__________．[－1，0]∪[3，＋∞)　解析：由题意知f(－2)＝f(2)＝0.当x>0时，由xf(x－1)≥0，得f(x－1)≥f(2)．又偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以|x－1|≥2，解得x≥3或x≤－1，所以x≥3.当x<0时，由xf(x－1)≥0，得f(x－1)≤f(－2)，所以x－1≥－2，解得x≥－1，所以－1≤x<0.当x＝0时显然成立．综上，满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[3，＋∞)．
反思感悟1．比较大小问题一般解法是利用函数的奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为在同一单调区间上的有关自变量的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．2．解抽象不等式(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系．(2)利用函数的单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．
2．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增．若f(ln x) 奇偶性与周期性结合【例2】(2024·菏泽模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为(　　)A．－2B．－1C．0D．1
D　解析：因为函数f(x)是R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)．因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，即f(x)＋f(2＋x)＝0，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0，1]时，f(x)＝2－2x，所以f(0)＝1，f(1)＝0.又f(2)＝－f(0)＝－1，f(3)＝－f(1)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝f(2 024)＝f(0)＝1.故选D.
反思感悟已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的区间内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
1．设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2，0]时，f(x)＝(　　)A．x＋4B．2－xC．3－|x＋1|D．2－|x＋1|C　解析：因为f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f(x)＝x，所以当x∈[－2，－1]时，2＋x∈[0，1]，4＋x∈[2，3]，此时f(x)＝f(4＋x)＝4＋x；当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]，此时f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x.综上可得，当x∈[－2，0]时，f(x)＝3－|x＋1|.
2．设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)是奇函数，f(2x＋1)是偶函数，则一定有(　　)A．f(4)＝0 B．f(－1)＝0C．f(3)＝0 D．f(5)＝0A　解析：因为函数f(2x＋1)为偶函数，所以f(1－2x)＝f(1＋2x)．令t＝2x，则f(1－t)＝f(1＋t)，即f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)＝f(2－x)．因为函数f(x＋2)为奇函数，所以f(2－x)＝－f(x＋2)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，也关于点(2，0)对称，则f(2)＝－f(2)，可得f(2)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，故函数f(x)为周期函数，且周期为4.对于A选项，f(4)＝f(0)＝f(2)＝0，A正确；对于B，C，D选项，f(－1)＝f(3)＝－f(1)，f(5)＝f(1)，但f(1)的值无法确定．故选A.
奇偶性、周期性与对称性的结合【例3】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则(　　)A．f(－15)D　解析：因为f(x－4)＝－f(x)⇒f(x＋4－4)＝－f(x＋4)⇒f(x)＝－f(x＋4)⇒f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)，因此函数f(x)的周期是8，f(－15)＝f(－15＋16)＝f(1)，f(21)＝f(24－3)＝f(－3)＝－f(1)，f(90)＝f(88＋2)＝f(2)．因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以f(2)>f(1)>f(0)＝0，所以f(21)＝－f(1)<0，所以f(21)反思感悟对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助某个区间上函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．