人教A版普通高中数学一轮复习第6章第4节直线、平面垂直的判定与性质课件

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第6章第4节直线、平面垂直的判定与性质课件，共56页。PPT课件主要包含了a∥b，直二面角，l⊂β，l⊥α，垂直于，垂直关系的基本问题等内容，欢迎下载使用。
·考试要求·1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题．
知识点一　直线与平面垂直判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)
必备知识 落实“四基”
(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和这个平面内的所有直线都垂直．(　　)(4)已知△ABC和两条不同的直线l，m，若l⊥AB，l⊥AC, m⊥BC，m⊥AC，则直线l∥m.(　　)
1．判定定理： 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条______直线垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表示：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.2．性质定理：文字语言：垂直于同一个平面的两条直线______．符号表示：a⊥α，b⊥α⇒______．
注意点：判定定理中平面内的两条直线必须是相交直线．
知识点二　平面与平面垂直1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，那么α⊥β.(　　)(2)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．(　　)(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)(4)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．(　　)
2．(教材改编题)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥矩形底面ABCD，则四棱锥的四个侧面中，一定垂直的侧面有__________对．
3　解析：由题意知PA⊥矩形底面ABCD，所以PA⊥CD．又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB．
1．面面垂直的定义：两个相交平面所成的二面角是__________．2．判定定理：文字语言：如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直．符号表示：l⊥α，_______⇒α⊥β.3．性质定理：文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直．符号表示：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒_______．
注意点：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
知识点三　线面角和二面角1．(教材改编题)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°
3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为(　　)A．60°B．30°C．45°D．15°
C　解析：由条件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.
2．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作________棱的两条射线，这两条射线所构成的角．(3)取值范围：___________．
【常用结论】1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
应用1　已知l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间中的一条直线，则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A　解析：当l⊥α时，l1⊂α，l2⊂α，所以l⊥l1且l⊥l2；当l⊥l1且l⊥l2，l1⊂α，l2⊂α时，因为无法判断l1，l2是否相交，所以l⊥α可能成立，也可能不成立．综上，“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件．
应用2　(多选题)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是 (　　)A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥nB．若m∥n，m∥α，则n∥αC．若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γD．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
ACD　解析：由线面平行的性质可知A正确．若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，故B错误．若α⊥γ，则在γ内可作a⊥α.因为α∩β＝n，所以n⊂α，则a⊥n.同理，在γ内可作b⊥β，可得b⊥n.因为α∩β＝n，所以a，b也相交，所以n⊥γ，故C正确．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，由平行的传递性可得β∥γ，故D正确．
1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　　)A．l⊥mB．m∥βC．m⊥βD．l∥m
核心考点 提升“四能”
A　解析：因为m⊥γ，且l⊂γ，所以l⊥m，A正确，D错误．直线m和平面β不能确定关系．
2．(多选题)(2024·聊城模拟)已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则“α⊥β”的充分条件是(　　)A．m⊥α，m∥βB．m⊂α，n⊂β，m⊥nC．m⊂α，m∥n，n⊥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥β
ACD　解析：若m∥β，则存在一条直线l⊂β，使得m∥l.因为m⊥α，所以l⊥α.又l⊂β，所以α⊥β，即条件“m⊥α，m∥β”能够推出“α⊥β”，故A正确．当m⊂α，n⊂β，m⊥n时，α，β可能相交或平行，故B错误．若n⊥β，m∥n，则m⊥β.因为m⊂α，所以α⊥β，故C正确．若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α.因为n⊥β，所以α⊥β，故D正确．
3．(多选题)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为(　　)A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
ACD　解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，所以该直线平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．
反思感悟与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无须作图通过空间想象来判断．(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明．
几何法求线面角和二面角
C　解析：如图，取AB的中点E，连接CE，DE.因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，所以CE⊥AB．因为△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB，所以∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°.因为CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE.因为AB⊂平面ABC，所以平面CDE⊥平面ABC．因为平面CDE∩平面ABC＝CE，CD⊂平面CDE，所以直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，所以∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角．
反思感悟求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角大小的求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有定义法和垂面法．注意利用等腰三角形和等边三角形的性质．
考向1　线面垂直的判定与性质【例2】(2024·淄博质检)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
线面垂直、面面垂直的判定与性质
证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．因为AC⊥CD，PA∩AC ＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC．因为AE⊂平面PAC, 所以CD⊥AE.
(2)因为PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故AC＝PA．因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD．因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB．又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．又因为AB∩AE ＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
反思感悟1．证明线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则其与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．
2．证明线线垂直的四种方法(1)利用特殊图形(直角三角形、矩形、直角梯形)中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理进行计算证明．(4)利用直线与平面垂直的定义和性质．
考向2　面面垂直的判定与性质【例3】(1)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部
B　解析：如图，连接AC1.因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA⊂平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，由面面垂直的性质可知，要过点C1作C1H⊥平面ABC，则只需过点C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．
反思感悟证明面面垂直的常用方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①利用面面垂直的定义．②利用面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
1．(多选题)(2024·丽水模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E是BC1的中点，则(　　)A．AE∥平面A1BB1B．BD1⊥ACC．A1E⊥AD1D．A1E⊥平面BCC1B1
BC　解析：如图1，连接A1B，AE.由图可知AE与平面A1BB1相交于点A，故A错误．
如图2，连接AC，BD，BD1，因为AC⊥DD1，AC⊥BD，DD1∩BD＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1，故B正确．
如图3，连接A1B，A1C1，AD1，A1E，则△A1BC1为等边三角形．因为E为BC1的中点，所以A1E⊥BC1.因为AD1∥BC1，所以A1E⊥AD1，故C正确．由于A1B1⊥BCC1B1，过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故A1E不垂直于平面BCC1B1，故D错误．
2．如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA＝PC＝AB＝2，且平面PAC⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，PC的中点．(1)求证：BD⊥PC；(2)求点E到平面PAD的距离．
(1)证明：由正方形ABCD，可知BD⊥AC．因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC．因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．