湖南师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题（原卷及解析版）

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时量：90分钟 满分：100分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．）
1. 分数、和的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用作差法比较三个数的大小，即可得答案.
【详解】，则，
，则，
所以，.
故选：D
2. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根式与分数指数幂的互化即可求解.
【详解】.
故选：B
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3. 在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定抽取两张卡片的情况一共有16种，列举法求出两张卡片之积为偶数的情况共有12种，代入古典概型概率公式求解即可.
【详解】抽取两张卡片的情况一共有16种，其中两张卡片之积为偶数的情况有以下几种：
，共12种，
故所取两卡片上数字之积为偶数的概率是.
故选：D
【点睛】本题考查列举法求古典概型问题的概率，属于基础题.
4. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式组，再根据仅有4个整数解，即可求出取值范围.
【详解】解不等式组得，
由题意得：，
解得，.
故选：A
5. 图(一)､图(二)分别为甲､乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图.若甲､乙两班学生的投进球数的众数分别为；中位数分别为，则下列关于的大小关系，何者正确？（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，确定众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；依此即可求解.
【详解】解：由图(三)､图(四)可知，
甲班共有(人)，乙班共有人，
则甲､乙两班的中位数均为第28人，得.
故选：.
6. 如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴， 轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】延长BA交x轴于点D，设，注意到四边形ABCO的面积，，，即可得答案.
【详解】延长BA交x轴于点D，设，因点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，
则，由题可得四边形为矩形，三角形为直角三角形，
则，，
则.
故选：B

7. 已知，，则（ ）
A. 22B. 44C. 440D. 484
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知，可以看作一元二次方程的两个解，由此可求出，的值，再利用完全平方公式求解即可.
【详解】由题意，，，
所以，可以看作一元二次方程的两个解，
解得，
所以，，
所以
故选：C
8. 菱形ABCD的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】重叠部分如图四边形所示，由题意及几何知识可得，结合，，
可得，则重叠部分面积为.
【详解】重叠部分如图四边形所示，由题，因四边形内角和为，
则，过作垂线，垂足为，则，
则.又，则
.则重叠部分面积为.
故选：A

9. 如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为BC的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的性质结合三角形内心的性质逐一分析判断即可.
【详解】对于①，因为点E是的内心，
所以，故①正确；
对于②，如图，连接，
因为点E是的内心，
所以，
所以，
所以，所以；故②正确；
对于③，因为点E是的内心，所以平分，
又因为因为点G为BC的中点，
所以为的边的中线，
所以，
所以，故③正确；
对于④，因为点E是的内心，所以，
因为，
所以，
所以，所以，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：掌握圆的性质和三角形内心的定义是解决本题的关键.
10. 若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P、Q都在函数y的图象上，②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.已知函数，则函数y的“友好点对”有（ ）个
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据“友好点对”的概念知，函数的图象关于原点对称的图象与函数的图象的交点个数即为函数y的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可.
【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数的图象关于原点对称的图象与函数的图象如下图所示：

由图可知它们的交点有两个，所以函数y的“友好点对”有2对.
故选：C
【点睛】本题考查函数的图象，理解新定义的概念是解题的关键，属于基础题.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11 已知，则分式______.
【答案】##0.2
【解析】
【分析】将目标式分子、分母同时除以ab，结合已知求值即可.
【详解】由，则.
故答案为：
12. 一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是______海里．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题中所给的角度边长，确定为等腰直角三角形，在中，利用的正切值构造方程解题.
【详解】如图，过点作于点.
因为，，
所以，，
所以，所以，
在中，，
，，
所以，解得，
即渔船与灯塔的距离是海里.
故答案为：
13. 在矩形ABCD中，若，，点P在边AD上，则的最小值为______．
【答案】200
【解析】
【分析】如图，设，则，其中.后由勾股定理可得表达式，即可得答案.
【详解】如图，设，则，其中.
由勾股定理，，.
则.
当且仅当，即P点为中点时取等号.
故答案为：
14. 如果可以分解为两个一次因式之积，那么______.
【答案】-14
【解析】
【分析】原多项式可分解为：，然后把因式展开，解出的值，进而求出a的值.
【详解】由已知，因为x系数为，所以原式
可分解两个一次因式为：，
则，
解得所以
故答案为：-14
15. 在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由图，设，由题可得表达式即可得答案.
【详解】由图，设，则由第一列，.
由第二排，有.
又由从左到右对角线，，
又由第三列，
后由从右到到左对角线，.
故答案为：
16. 若方程恰有三个解，则所有符合条件的a之和为______．
【答案】50
【解析】
【分析】令，分段求出的解析式，进而画出的图象，方程恰有三个解，等价于函数的图象与的图象恰有3个交点，数形结合即可求解.
【详解】令，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，，
画出的图象，如图所示：
方程恰有三个解，等价于函数的图象与的图象恰有3个交点，由图象可知，或，
所以所有符合条件的之和为.
故答案为：50
三、解答题（本题共4个小题，第17题10分，第18、19、20题每小题12分，共46分）
17. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．
【解析】
【分析】（1）由计算可得；
（2）由已知列出函数式，注意定义域，然后换元，化为二次函数，由二次函数知识得最大值．
【详解】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．
（2）由题知，
f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120
＝－x＋4＋250，
依题意得
解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
18. 如图，点，，，分别是平行四边形各边的中点，连接，相交于点，连接，相交于点．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形的面积为4，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依据四边形是平行四边形，可得，依据四边形是平行四边形，可得，进而得出四边形是平行四边形；
（2）连接，依据三角形重心的性质，即可得到，再根据是的中线，即可得出，进而得到，即可得解．
【小问1详解】
点、、、分别是平行四边形各边的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
同理可得，四边形是平行四边形，
，
四边形平行四边形；
【小问2详解】
如图所示，连接，

，分别是，的中点，
点是的重心，
，
，
又是的中线，
，
又是平行四边形和平行四边形的对角线，
，
又的面积为，
的面积为．
19. 如图，已知AB是的直径，点C，E在上，EC的延长线与AB的延长线相交于点D，且，．
（1）求证：是的平分线；
（2）求的度数；
（3）求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，且，证得，即可得到是的平分线.
（2）连接，设，根据题意证得，再由，得到，结合，即可求解；
（3）设圆的半径为，，证得，列出方程求得，进而求得的值.
【小问1详解】
证明：因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以是的平分线.
【小问2详解】
解：如图所示，连接，设，
根据（1）证明可知：，
所以，
因为，所以，所以，
因为，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以.
【小问3详解】
解：设圆的半径为，，则，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，所以，即，
解得，所以.
20. 图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
（2）点P为第三象限内抛物线上一动点，作直线AC，连接PA，PC，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）设直线：交抛物线于点M，N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线：上总存在一点E，使得为直角．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）的最大值为8，此时点
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法，将、代入，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标；
（2）运用待定系数法可得直线的解析式为，设，过点作轴，交于点，则，进而可得，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）由直线交抛物线于点、，可得，利用根与系数关系可得，，利用两点间距离公式可得，设的中点为，过点作直线，垂足为，，以为直径的一定经过点，即可证得结论．
【小问1详解】
抛物线与轴交于、两点，
，解得，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
设，
过点作轴，交于点，如图，
则，
，
，
，
当时，的最大值为8，此时点；
【小问3详解】
直线交抛物线于点、，
，
整理得：，
，，
，，
，
，
设的中点为，
，
过点作直线，垂足为，如图，
，
，
，
以为直径的一定经过点，
，
在直线上总存在一点，使得为直角．
【点睛】关键点点睛：解决本题的第三问的关键是证得，得出以为直径的一定经过点．16
7
4
16
7
4