湖南省长沙市长沙县2023-2024学年七年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市长沙县2023-2024学年七年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中，为无理数的是( )
A. B. C. D.
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知，则一定有，“”中应填的符号是( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，点的位置在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.下列各式正确的是( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知，如图所示，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是( )
A. 相等
B. 互余
C. 互补
D. 互为对顶角
8.如图，下列条件中能判定的是( )
A.
B.
C.
D.
9.九章算术中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒优质酒斗，价值钱；行酒劣质酒斗，价值钱；现有钱，买得斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为( )
A. B.
C. D.
10.已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.的立方根是______．
12.要使代数式的值不大于的值，则的取值范围是______．
13.如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若、两点的坐标分别是，，则点的坐标为 ．
14.已知，则的值是 ．
15.、为两个连续的整数，，则 ______．
16.如图，块相同的长方形卡片拼成一个大长方形，设长方形卡片的长和宽分别为和，则依题意，列方程组______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解方程组：
；
．
19.本小题分
解不等式并用数轴表示解集：．
20.本小题分
按要求画图及填空：
在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点及的顶点都在格点上．
点的坐标为______．
将先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，画出．
计算的面积．
21.本小题分
如图，，，，试说明请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：，已知
____________
______
，已知
等量代换
______
____________
，已知
______
等量代换
22.本小题分
已知：如图，，是直线上两点，，平分，，
求证：；
若，求的度数．
23.本小题分
某汽车专卖店销售，两种型号的新能汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元．
求每辆型车和型车的售价各为多少万元？
甲公司拟向该店购买，两种型号的新能汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？
24.本小题分
阅读下列材料：
关于、的方程：，当时，我们可用含的代数式表示，则原方程可变成，我们将变形后的式子叫做原方程的“一次凤凰式”，其中品叫做系数，叫做系数，例如：，则可变成则，
二元一次方程的“一次凤凰式”为______．
关于、的二元一次方程，当满足时，求的取值范围；
关于、的方程，当满足系数与系数都为正整数时，求整数的取值．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，，，，满足，连接交轴于．
直接写出 ______， ______；
如图，点是轴上一点，且三角形的面积为，求点的坐标；
如图，直线交轴于，将直线平移经过点，交轴于，点在直线上，且三角形的面积不超过三角形面积的，求点横坐标的取值范围．
答案和解析
1.
解析：解：、是负分数，是有理数；
B、是整数，是有理数；
C、开方开不尽，是无理数；
D、是分数，是有理数．
故选：．
根据有理数、无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了实数的分类，准确掌握有理数及无理数的概念是解题关键．
2.
解析：解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是选项．
故选：．
根据不等式的解集即可在数轴上表示出来．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
3.
解析：解：，
．
故选：．
不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，由，可得．
此题主要考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4.
解析：解：点的横坐标，纵坐标，
点在第二象限．
故选：．
应先判断出所求点的横坐标、纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
5.
解析：解：、，错误，故本选项不符合题意；
B、，错误，故本选项不符合题意；
C、，错误，故本选项不符合题意；
D、，正确，故本选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质化简的概念对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的二次根式的性质与化简，掌握相关知识是解题的关键．
6.
解析：解：由题意得：的横坐标为：，纵坐标为，
故选：．
根据点所在的象限确定坐标的符号，再根据到坐标轴的距离确定坐标的绝对值．
本题考查了点的坐标，掌握数形结合思想是解题的关键．
7.
解析：解：图中，对顶角相等，
又，
，
，
两角互余．
故选：．
根据图形可看出，的对顶角与互余，那么与就互余．
本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．
8.
解析：本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．据平行线的判定方法一一判断即可．
解：不能判断；
B.得出；
C.得出；
D.得出．
故选：．
9.
解析：解：依题意得：，
故选：．
设买醇酒斗，买行酒斗，根据“醇酒一斗的价格是钱、行酒一斗价格钱，买两种酒斗共付钱”列出方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
10.
解析：解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
关于的不等式组有且只有个整数解，
，
故选B．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
11.
解析：解：，
的立方根为．
故答案为：．
根据立方根性质化简即可．
本题考查了立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．
12.
解析：解：由题意可知，
，
移项，得
，
合并同类项，得
，
两边都除以，得
．
故答案为：．
根据“代数式的值不大于的值”列出不等式，再解这个不等式即可．
本题考查不等式的解集，掌握解一元一次不等式的方法是正确解答的关键．
13.
解析：此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．
直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
解：根据、两点的坐标，建立坐标系如图所示：
由图可知：点的坐标为．
故答案为：．
14.
解析：
此题考查了解二元一次方程组，利用了整体的思想．
方程组两方程相加即可求出所求．
解：，
得：，
整理得：．
15.
解析：解：，
，
，
，
，
故答案为：．
运用算术平方根的知识进行估算、求解．
此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．
16.
解析：解：根据题意，得，
故答案为：．
根据给定的图即可建立等量关系．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
17.解：原式；
原式．
解析：利用二次根式的加减法则计算即可；
利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可．
本题考查实数的运算熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.解：，
代入，可得：，
解得，
把代入，解得，
原方程组的解是．
，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是．
解析：应用代入消元法，求出方程组的解即可；
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
19.解：，
由得：，
，
，
，
，
由得：，
，
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
解析：按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式和不等式组的一般步骤．
20.；
如图，即为所求作；
．
解析：解：如图，．
故答案为：．
见答案．
根据点的位置写出坐标即可．
根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用分割法求面积即可．
本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
21. 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 垂直定义
解析：解：，已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
，已知
等量代换
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同位角相等
，已知
垂直定义
等量代换
故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；垂直定义．
直接根据平行线的判定与性质及垂直定义解答即可．
此题考查的是平行线的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题关键．
22.证明：，，是直线上两点，
，
，
；
解：，，
，
平分，
，
，
．
解析：由，，可得，即可证明；
由平行线的性质，可得，根据角平分线的性质得到的度数，根据平行线的性质，即可得到的度数．
本题主要考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
23.解：设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元．
设甲公司购买型车辆，则购买型车辆，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
或，
共有种购车方案，
方案：购买型车辆，型车辆；
方案：购买型车辆，型车辆．
解析：设每辆型车的售价为万元，每辆型车的售价为万元，根据“上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设甲公司购买型车辆，则购买型车辆，根据“购买型号车的数量不少于辆，且购车费不少于万元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.
解析：解：二元一次方程的“一次凤凰式”为：；
故答案为：；
关于、的二元一次方程的“一次凤凰式”为：，
，，
，
，
解得：；
关于、的方程的“一次凤凰式”为：，
K、为正整数，
时，、分别为、，符合题意；
时，、分别为、，符合题意；
满足系数与系数都为正整数时，整数的取值为、．
读懂题意，根据新定义写出方程的“一次凤凰式”即可；
先根据新定义求出方程的“一次凤凰式”，再根据题意列不等式，求解即可；
先根据新定义求出方程的“一次凤凰式”，再根据题意列不等式，求解即可．
本题考查了二元一次方程的新定义，一元一次不等式，做题关键要读懂题意，进行等式变换，列一元一次不等式，解不等式．
25.
解析：解：，
又，，
，
，
故答案为：，；
过点作轴于，如图，设，
由知，
，
三角形的面积为，
，
，
，
，
或，
点的坐标为或；
设点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度到点，则点平移后的对应点恰好是点连接，过点作轴，如图，
，
三角形的面积三角形的面积，
当三角形的面积三角形的面积时，，
当点在第三象限时，
，
解得：，
当点在第二象限时，
，
解得：，
当三角形的面积不超过三角形面积的时，点的横坐标的取值范围是，且．
根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出，；
过点作轴于，设，首先得到，进而利用三角形面积计算公式得到，利用两点间的距离公式解答即可；
设点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度到点，则点平移后的对应点恰好是点连接，过点作轴，当点在第三象限时，得出，求出，当点在第二象限时，得出，求出，则可得出答案．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．