高考物理模型专题突破模型24带电粒子在复合场中的运动

这是一份高考物理模型专题突破模型24带电粒子在复合场中的运动，共55页。

1．在如图所示的平行板器件中，匀强电场E和匀强磁场B互相垂直。一束初速度为的带电粒子从左侧垂直电场射入后沿图中直线②从右侧射出。粒子重力不计，下列说法正确的是( )
A．若粒子沿轨迹①出射，则粒子的初速度一定大于
B．若粒子沿轨迹①出射，则粒子的动能一定增大
C．若粒子沿轨迹③出射，则粒子的动能一定增大
D．若粒子沿轨迹③出射，则粒子的电势能可能增大
【答案】D
【详解】
初速度为v的带电粒子从左侧垂直电场射入后沿图中直线②从右侧射出，则
AB．若粒子沿轨迹①出射，粒子所受向上的力大于向下的力，但由于粒子电性末知，所以粒子所受的电场力与洛伦兹力方向不能确定，故AB均错误；
C．同理可知，若粒子沿轨迹③出射，粒子所受向下的力大于向上的力，但由于粒子电性末知，所以粒子所受的电场力与洛伦兹力方向不能确定，不能确定动能的变化，故C错误；
D．若粒子沿轨迹③出射，如果粒子带负电，所受电场力向上，洛伦兹力向下，电场力做负功，粒子的电势能增大，故D正确。
故选D。
2．(2020·浙江湖州·高三月考)如图所示，空间中存在水平方向的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向左，磁场方向垂直纸面向里。一带电小球恰能以速度v0沿与水平方向成30°角斜向右下方做匀速直线运动，最后进入一轴线沿小球运动方向且固定摆放的一光滑绝缘管道(管道内径略大于小球直径)，下列说法正确的是( )
A．小球带负电
B．磁场和电场的大小关系为
C．若小球刚进入管道时撤去磁场，小球仍做匀速直线运动
D．若小球刚进入管道时撤去电场，小球的机械能不断增大
【答案】C
【详解】
A．经分析，洛伦兹力不做功，重力做正功，而小球动能不变，电场力一定做负功，小球带正电，故A错误；
B．仅当支持力为零，电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，有
即
故B错误；
C．因为电场力、重力、洛伦兹力三力平衡时，电场力和重力的合力与洛伦兹力方向相反，说明合力和速度方向垂直，撤去磁场后，重力和电场力合力不做功，支持力不做功，则小球仍沿杆做匀速直线运动，故C正确；
D．撤去电场，只有重力对小球做功，小球的机械能不变，故D错误。
故选C。
3．(2020·河北唐山一中高三期中)如图所示，半径为R的光滑绝缘圆形轨道固定在竖直面内，以圆形轨道的圆心O为坐标原点，沿水平直径方向建立x轴，竖直方向建立y轴。y轴右侧存在竖直向下范围足够大的匀场强电场，电场强度大小为，第二象限存在匀强电场(方向与大小均未知)。不带电的绝缘小球a质量为M，带电量为+q的小球b质量为m，a球从与圆心等高的轨道A处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的b球正碰，碰撞后b球恰好能通过轨道最高点C，并落回轨道A处，小球落回A处时的速度大小与小球离开最高点C时速度大小相等，重力加速度为g，小球b的电量始终保持不变。试求：
(1)第一次碰撞结束后，小球a的速度大小；
(2)第二象限中电场强度E2的大小和方向。
【答案】(1) ；(2)，水平向右
【详解】
(1)设小球a滑动到最低时速度为v，由机械能守恒定律得
设a、b小球在B点碰撞后的速度分别为v1、v2，b球过最高点速度为vc，由动量守恒定律得
由动能定理得
在C点，由牛顿第二定律得
联立解得
(2)要让b小球落回A处时的速度大小与小球离开最高点C时速度大小相等，电场力qE2与mg的合力应垂直于AC边斜向下，把运动沿CA方向与垂直CA方向分解，CA方向做匀速直线运动，垂直CA方向做匀减速运动，如图所示
则有
由几何关系得，设小球b从C运动到A点时间为t，CA长
小球b垂直CA方向加速度大小为a，有
解得。小球从C到A受到的合力
由几何关系电场力大小为
则
方向水平向右。
4．(2020·江苏高二期中)如图甲所示，以两虚线 M、N 为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，M、N间电压UMN的变化图像如图乙所示，电压的最大值为 U0、周期为 T0；M、N 两侧为相同的匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B，t=0 时，将一带正电的粒子从边界线 M上的A处由静止释放，经电场加速后进入磁场，粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T0。两虚线 M、N间宽度很小，粒子在其间的运动时间不计，也不考虑粒子所受的重力。
(1)求该粒子的比荷；
(2)求粒子第 1 次和第4次到达磁场区域Ⅰ的左边界线 N 的两位置间的距离Δd；
(3)若粒子的质量增加为倍，电荷量不变，t＝0时，将其在 A 处由静止释放，求 t＝2T0 时粒子的速度。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
(1)粒子进入磁场后，据题意有，所以由周期公式得
故
(2)由于不计粒子穿越间的时间，则可认为时刻出发的粒子穿越的过程中电压始终为，如下图所示
第一次加速后
解得
在Ⅰ磁场区域中第一次做圆周运动，故有
可得
同理，之后分别在Ⅱ和Ⅰ磁场中圆周运动的半径分别为
，
粒子第1次和第4次到达磁场区域Ⅰ的左边界线的两位置间的距离为
(3)粒子的质量增加为，则
因为，则粒子匀速圆周运动的周期变为
每半个周期为
从开始到为止的时间内，根据加速电压图像可知粒子进入电场的时刻分别为，，，，且加速电压大小分别为、、、，前两次为加速，最后一次为减速，由动能定理得
解得
5．(2020·浙江高二期中)如图所示，一个质量为m＝2.0×10－11kg，电荷量q＝＋1.0×10－5C的带电微粒，从静止开始经U1＝100V电压加速后，沿着平行于两金属板面射入偏转电场中，经偏转后进入右侧的匀强磁场。金属板的上极板带正电，下极板带负电，两板间电压U2＝100V，板长L＝20cm，两板间距。右侧匀强磁场足够长，宽度D＝10cm，微粒的重力忽略不计，求：
(1)微粒进入偏转电场时的速度v0大小；
(2)微粒射出偏转电场时的速度偏转角；
(3)为使微粒不会从磁场右边界射出，则最小的磁感应强度B的大小。
【答案】(1)；(2)30°；(3)或
【详解】
(1)微粒在加速电场中，由动能定理有

解得

(2)微粒在偏转电场中做类平抛运动，如图所示



偏转角
(3)微粒进入磁场做匀速圆周运动
进入磁场的速度

微粒恰好不从右边界射出时


解得
为使微粒不会由磁场右边界射出，磁感应强度最小值为或。
6．如图所示，在平面直角坐标系xy的第二象限内有平行于y轴的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿y轴负方向。在第一、四象限内有一个半径为R的圆，圆心坐标为(R，0)，圆内有方向垂直于xy平面向里的匀强磁场。一带正电的粒子(不计重力)，以速度为v0从第二象限的P点，沿平行于x轴正方向射入电场，通过坐标原点O进入第四象限，速度方向与x轴正方向成，最后从Q点平行于y轴离开磁场，已知P点的横坐标为。求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)圆内磁场的磁感应强度B的大小；
(3)带电粒子从P点进入电场到从Q点射出磁场的总时间。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
(1)由水平方向匀速直线运动得
2h=v0t1
竖直向下的分速度
由竖直方向匀加速直线运动知
vy=at1
加速度为
根据以上式解得
(2)粒子进入磁场的速度为v，有
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系得，粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为
r=R
由洛伦兹力提供向心力可知
解得
(3)粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的周期为，粒子在电场中运动的时间为
粒子运动的总时间
代入数据得
7．(2020·江苏省邗江中学高二期中)如图所示，在xOy坐标系的的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场，在的区域内分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，MN为电场和磁场的交界面，ab为磁场的上边界。现从原点O处沿x轴正方向发射出速率为v0、比荷(电荷量与质量之比)为k的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与ab相切并返回电场。已知电场强度，不计粒子重力和粒子间的相互作用。试求：
(1)粒子第一次穿过MN时的速度；
(2)磁场的磁感应强度B的大小；
(3)粒子在磁场中运动的时间；若增大磁感应强度B，试判断粒子在磁场中运动的时间如何变化。
【答案】(1)，方向与水平方向成角斜向右上；(2)；(3)，运动时间不变
【详解】
(1)粒子从原点O处沿x轴正方向发射，在电场中做类平抛运动，由动能定理，有
将，代入，解得
粒子运动轨迹如图：
图中
解得。
即粒子第一次穿过MN时的速度为，方向与水平方向成角斜向右上。
(2)由图，根据几何关系，有
解得
由牛顿第二定律，有
解得
(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由
联立解得，粒子运动的周期
故粒子在磁场中运动的时间为
由以上结果可知，粒子在磁场中运动的时间是一个常数，与磁感应强度B无关，因此增大磁感应强度B，粒子在磁场中运动的时间不变。
8．(2020·甘肃张掖市第二中学高三月考)如图所示，在一竖直面内建立直角坐标系，在坐标平面第I、IV象限内存在方向竖直向上的匀强电场，在区域内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在第Ⅱ象限内固定有光滑绝缘圆弧轨道，轨道与x轴相切于原点O。一个质量为、带电荷量为的小铁块从圆弧轨道上高为的A点沿轨道下滑至轨道最低点O时与另一静止且不带电的质量也为的小铁球碰撞，之后合为一带电粘合体，带电粘合体沿x轴做直线运动到C点后进人电场和磁场的复合区域，偏转后进入第II象限并最终落在水平面上D点。已知=，水平面到O点的距离，C点坐标为(，0)，重力加速度为，求：
(1)带电粘合体沿x轴运动的速度大小和第I、IV象限内匀强电场的电场强度大小；
(2)带电粘合体运动过程中受到的洛伦兹力的冲量；
(3)水平面上D点的位置坐标和带电粘合体从O点运动到D点的总时间。
【答案】(1)；；(2)，负号表示冲量的方向沿x轴负方向；(3)；
【详解】
(1)小铁块从A点运动达到O点，由机械能守恒定律有
碰撞后，设带电粘合体沿x轴运动的速度为v，由动量守恒定律有
mv0=2mv
代入数据解得
碰撞后粘合体沿x轴做直线运动，电场力与重力平衡，有：2mg=qE，解得
(2)如图所示
负号表示冲量的方向沿x轴负方向
(3)带电粘合体在电场和磁场的复合区域，电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力有
代入数据解得
带电粘合体在电场和磁场的复合区域运动的时间
带电粘合体在电场和磁场的复合区域运动半周后垂直虚线沿y=-2R的直线向左做匀速直线运动，经过y轴上y=-2R位置后做平抛运动，由平抛运动规律有
，-x=vt3
代入数据解得
，
做水平面上D点的位置坐标为，小球从O点运动到C点的时间
小球从O点运动到D点的总时间
9．(2020·湖北省松滋市言程中学高二月考)如图所示，一个质量为m、电荷量为＋q的微粒，在A点(0，3)以初速度v0=120 m/s平行x轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，并且先后只通过x轴上的P点(6，0)和Q点(8，0)各一次。已知该微粒的比荷为=102 C/kg，微粒重力不计，求：
(1)微粒从A到P所经历的时间和加速度的大小；
(2)微粒到达P点时速度方向与x轴正方向的夹角，并画出带电微粒在电磁场中由A至Q的运动轨迹；
(3)电场强度E和磁感应强度B的大小。
【答案】(1)0.05s，2.4×103m/s2；(2)45°，；(3)24N/C，1.2T
【详解】
(1)微粒从平行x轴正方向射入电场区域，由A到P做类平抛运动，微粒在x轴方向上做匀速直线运动,由
x=v0t
得
t==0.05 s
微粒沿y轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，由
y=at2
得
a=2.4×103 m/s2
(2)由于
vy=at
tan α==1
所以
α=45°
轨迹如图所示。
(3)由
qE=ma
得
E=24 N/C
设微粒从P点进入磁场以速度v做匀速圆周运动
v=v0
由
qvB=m
得
由几何关系
R=m
所以可得
B==1.2 T
10．(2020·江苏高二期中)如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E＝4×105N/C、方向水平向左的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。质荷比＝4×10－10kg/C的带正电的粒子，以初速度v0＝1.5×107m/s从x轴上的A点垂直x轴射入电场，OA＝0.2m，不计粒子的重力。
(1)求粒子经过y轴时的位置到原点O的距离；
(2)求粒子经过y轴时的速度大小和方向；
(3)若要使粒子不能进入第Ⅲ象限，求磁感应强度B的取值范围(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况)。
【答案】(1)0.3m；(2)2.5×107m/s，与y轴正方向夹角大小为53°；(3)B≥6×10－2T
【详解】
(1)设粒子在电场中运动时间为t，粒子经过y轴时的位置与原点O的距离为y，则
代入数据解得
a＝1.0×1015m/s2
xOA＝at2
代入数据解得
t＝2.0×10－8s
y＝v0t
代入数据解得
y＝0.3m
(2)粒子经过y轴时在电场方向的分速度为
vx＝at＝2×107m/s
粒子经过y轴时速度为
v＝＝2.5×107m/s
与y轴正方向夹角大小为θ
tanθ＝＝
θ＝53°
(3)要使粒子不进入第Ⅲ象限，如图所示，此时粒子做圆周运动的半径为R
则
R＋0.8R≤y
解得
1.8R≤y
由

解得
B≥6×10－2T
11．(2020·广东仲元中学高二期末)图所示，在平面直角坐标系xy内，第一象限的等腰直角三角形MNP区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，y＜0的区域内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带电粒子从电场中Q(-2h，-h)点以速度v0水平向右射出，经坐标原点O射入第一象限，最后以垂直于PN的方向射出磁场。已知MN平行于x轴，N点的坐标为(2h，2h)，不计粒子的重力，求：
(1)电场强度的大小E和磁感应强度的大小B；
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)若将磁感应强度大小改为B1，使得粒子刚好不能从PN射出磁场，求B1的大小。
【答案】(1)，；(2)；(3)
【详解】
(1)粒子在电场中运动过程，有
，
联立解得
粒子从点射出时
所以粒子射入磁场时，速度大小
方向垂直，且从中点射入。
即轨迹圆心，有几何关系得
由
得
(2)粒子在磁场中的运动的周期
粒子在磁场中的运动时间
(3)如图，当粒子刚好从边射出时，由几何关系
得
由
得
12．如图所示，在，内某一区域存在一匀强磁场，方向垂直纸面向里。在直线的上方，直线与之间的区域内，另有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为的粒子以速度从点垂直于磁场方向射入磁场，当速度方向沿轴正方向时，粒子恰好从(的位置)点正上方的A点沿y轴正方向射出磁场，不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)若粒子以速度从点垂直于磁场方向射入磁场，速度方向沿x轴正方向成角(，其中粒子射入第一象限，取正：粒子射入第四象限，取负)，为使这些粒子射出磁场后在电场中运动的时间相同且最长，写出磁场边界的轨迹方程。
(3)磁场的边界如题(2)所求，若粒子以速度从点垂直于磁场方向射入第一象限，当速度方向沿轴正方向的夹角时，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】
(1)当粒子速度沿x轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知
r=a
由牛顿第二定律得

解得
(2)要使这些粒子射出磁场后在电场中运动的时间相同且最长，则要求进入电场时的速度与电场线平行，设与y轴正方向成θ角的粒子从磁场边界某点P(x，y)射出，由题可知，粒子运动的轨迹对应的圆心角刚好为 ，如图，由几何关系可知P点的坐标为

消掉θ1可得边界的曲线方程为

即所加磁场在以(a，0)为圆心，半径为a的圆内，如图中圆所示。
(3)粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，
故粒子从P点的出射方向与OO1垂直，即与y轴平行；轨迹如图所示；则粒子从O到P所对应的圆心角为θ1=60°，粒子从O到P用时
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离

粒子在电场中做匀变速运动的时间
粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间
粒子由P点第2次进入磁场，从Q点射出，PO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q点在x轴上，即为(2a，0)点；粒子由P到Q所对应的圆心角θ2=120°，粒子从P到Q用时

粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间
13．一绝缘“”形杆由两段相互平行的足够长的水平直杆、和一半径为R的光滑半圆环组成，固定在竖直平面内，其中杆是光滑的，杆是粗糙的，整个装置处在水平向左的匀强电场中，在左侧区域足够大的范围内同时存在垂直竖直平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。现将一质量为m、带正电电量为q的小环套在杆上，小环所受的电场力为重力的。(已知重力加速度为g)
(1)若将小环由D点静止释放，则刚好能到达P点，求间的距离；
(2)在满足第一问的情况下，小环在A点对圆环的压力；
(3)若将小环由M点右侧5R处静止释放，设小环与杆间的动摩擦因数为μ，小环所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，求小环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功。
【答案】(1)4R；(2)mg+ qB；(3)或者mgR
【详解】
(1)设电场强度为E，DM距离为L，对小环从D至P，由动能定理：
EqL-mg•2R=0-0
题意有
Eq＝mg
得
L=4R
(2)设小环在A点速度为vA，对小环从D至A的过程，由动能定理
Eq•5R−mgR＝
由小环在A点的受力分析及牛顿第二定律得

解得
N=mg+Bq。
根据牛顿第三定律，小环a在A点对圈环的压力大小为
N=mg+ qB
方向水平向左。
(3)小环首次到P点速度不为零，将向右运动，当速度为零时，若满足
(i)当
Eq≤fm=μmg
即
μ≥
小环将保持静止。设此时小环距P点水平距离为x，则对全程由动能定理
Eq(5R-x)-mg•2R-μmgx=0-0
则克服摩擦力做功

(ii) 当
Eq＞fm=μmg
即
μ＜
小环将来回往复运动，最终会在P点的速度减为零。
则对全程由动能定理
Eq•5R-mg•2R-Wf=0-0
得克服摩擦力做功
Wf＝mgR
14．(2020·广东高三月考)如图所示，半径为的圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，半径与轴夹角为，一电子以平行轴，速率从点沿直径方向射入磁场，从点射出进入第Ⅰ象限磁感应强度为的磁场Ⅱ中，运动到点时速度方向与轴的正方向相同，点的右侧是竖直向下电场强度为的匀强电场，最终电子从轴点射出，出射方向与轴夹角为，已知电子质量为、电荷量为，不计电子重力，求：
(1)圆形磁场区域的磁感应强度大小；
(2)电子从到运动的时间.
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)由题意得，电子的运动半径恰好等于
解得
(2)电子在圆形磁场中的运动周期
电子在圆形区域的运动时间
电子由运动到时速度方向改变了60°角，所以其轨迹对应的圆心角为，运动的时间为
电子从点到点在匀强电场中仅受电场力作用做类平抛运动，根据牛顿第二定律可得
电子由到，设电子在点沿电场方向的速度大小为，则有
，
解得
所以电子从到运动的时间
15．(2020·全国高三月考)在平面坐标系第Ⅰ象限内有沿x轴负方向的匀强电场，虚线PQ为在同一平面内的竖直直线边界，在第Ⅱ、Ⅲ象限内虚线PQ与y轴之间有垂直坐标平面向里的大小为B的匀强磁场。C、D两个水平平行金属板之间的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(不计粒子重力)从靠近D板的S点由静止开始做加速运动，从x轴上处的A点垂直于x轴射入电场，粒子进入磁场时速度方向与y轴正方向，不计粒子的重力。要使粒子不从PQ边界射出，求：
(1)粒子运动到A点的速度大小；
(2)匀强电场的场强大小E；
(3)虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度d。
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
(1)设粒子运动到M点的速度大小为，由动能定理得
可得粒子运动到A点的速度大小：
(2)设粒子进入磁场的速度为v，粒子在电场中竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动：
根据动能定理：
解得匀强电场的场强大小：
将代入解得：
(3)带电粒子进入磁场中洛伦兹力提供向心力，设圆周运动的半径为r，则有：
当粒子运动的轨迹刚好与边界PQ相切时，粒子不从PQ边界射出，虚线PQ与y轴之间磁场的最小宽度：
解得：
将代入解得：
16．(2020·广东高三月考)如图甲所示，空间存在垂直纸面向里的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小为，虚线、为其竖直边界，圆弧为其半圆边界，圆心为，半径为，、、、与圆心共线，。在边界左侧平行于竖直边界放置一平行板电容器MN，极板N上有一粒子源，可产生比荷为、带负电、初速度为零的粒子。极板M上有一小孔，粒子源、小孔和点正对，粒子可通过点垂直边界射入磁场区域。现将电容器MN接入如图乙所示的正弦交变电源，粒子在平行极板间加速时间极短，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)电压为峰值时进入极板间的粒子在磁场中运动的半径；
(2)粒子在磁场中运动的最短时间及这些粒子从极板N发射的时刻(最短时间保留一位有效数字)。
【答案】(1)2m；(2)； 或，()
【详解】
(1)电压为峰值时，粒子在电场中加速，由动能定理可得：
粒子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，由圆周运动规律可得
解得
(2)过点做圆弧的切线(为切点)，由题意可知，粒子沿以为弦的圆弧在磁场中运动时所用时间最短，由几何关系可得，轨迹圆的半径为
粒子在磁场中运动所对应的圆心角
设粒子在磁场中运动的最短时间为，由圆周运动规律可得
解得
运动时间最短时，由圆周运动规律可得
解得
再根据交变电流的表达式
解得在磁场中运动最短时间的粒子的发射时刻为
或，()
17．(2020·安徽高三三模)如图所示，在xOy平面的第一象限以OA为分界线分成两部分，OA与x轴的夹角为45°，OA与y轴正方向之间有一沿y轴负方向的匀强电场，OA与x轴正方向之间有方向垂直于纸面向里的匀强磁场。有一质量为m，带电荷量为+q的粒子，从y轴上的P点以速度v0平行于x轴正方向射入匀强电场，在电场中运动后从OA上的M点垂直OA方向进入磁场，经磁场偏转后第二次到达OA上的N点(M、N点图中均未标出)，已知OP=L，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度E的大小；
(2)求O、N两点间距离的最大值以及所对应的磁感应强度B的大小。
【答案】(1)；(2)；
【详解】
(1)粒子的运动轨迹如图所示，由题意可知
根据粒子在匀强电场中做类平抛运动知
距离关系为
竖直速度为
加速度为
解以上各式得
(2)当粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹与x轴相切时，O、N两点间的距离最大如图所示，设此时圆周运动的半径为R，圆心为则由几何关系可知
解得
O、N两点间的距离最大值
根据洛伦兹力提供向心力可知
速度关系为
解得
18．(2020·安徽高三二模)如图所示，在xy平面内，第三、四象限内有竖直方向的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，将一质量为m，带电量为q的小球从O点正上方y轴上某一点以初速度v0水平向右抛出，小球经过x轴上P点(图中未画出)后进入x轴下方的电磁场区，并沿一段圆弧运动后恰好经过O点，求：
(1)匀强电场强度的大小和方向；
(2)匀强磁场磁感应强度的大小。
【答案】(1)，电场方向向下；(2)
【详解】
(1)由于小球经过x轴上P点后进入x轴下方做一段圆弧运动后恰好再次经过O点
可以判断小球带负电，在x轴下方做圆周运动，重力与电场力平衡，有
解得
电场方向向下
(2)设小球做平抛运动的时间为t，到达x轴水平位移为x，则
设小球进入x轴下方的速度为v，做圆周运动的的半径为R，则有
得
设小球到达x轴时速度方向与x轴的夹角为，则小球平抛运动有
，
解得
19．(2020·广西高三一模)如图所示，在xOy坐标系中，有垂直坐标平面向里的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度为B，电场和磁场的分界线为MN，MN穿过坐标原点和二、四象限，与y轴的夹角为θ＝30°。一个质量为m、带电量为q的带正电粒子，在坐标原点以大小为v0、方向与x轴正向成θ＝30°的初速度射入磁场，粒子经磁场偏转进入电场后，恰好能到达x轴。不计粒子的重力，求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子从O点射出后到第三次经过边界MN时，粒子运动的时间。
【答案】(1) (2)
【详解】
(1)粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律可知

求得

粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，
根据几何关系，粒子出磁场的位置离x轴的距离为

由于粒子进入电场后速度与电场方向相反，因此粒子做匀减速运动，刚好能到达x轴，根据动能定理有

求得

(2)粒子在磁场中运动做圆周运动的周期

第一次在磁场中运动的时间

在电场中运动时
qE=ma
第一次在电场中运动的时间
第二次在磁场中运动的时间

则粒子从O点射出后到第三次经过边界MN时，粒子运动的时间
20．(2020·河南高三月考)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，在第三、四象限内有与y轴夹角为θ=45°的匀强电场，在y轴上(0，-L)点处，沿电场方向射出一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子的初速度为，粒子到达x轴时速度为2，不计粒子的重力。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)粒子第二次和第三次经过x轴的位置的横坐标及从释放粒子到第三次经过x轴所用的时间。
【答案】(1) ；(2) ，
【详解】
(1)带电粒子在电场中做匀加速运动，由题意可知粒子沿电场方向的位移为L
由动能定理得
可求得匀强电场的电场强度大小为
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
由
可得粒子做圆周运动的半径
由几何关系可知，粒子第二次经过x轴的横坐标为
粒子进入电场后做类平抛运动，垂首于电场方向匀速运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速运动。
沿电场方向的加速度为
垂直于电场方向匀速运动的位移
沿电场方向做初速度为零的匀加速运动的位移
又知
解得
第三次到达x轴的位置的横坐标是
粒子第一次在电场中运动的时间
第一次在磁场中运动的时间
因此第三次通过x轴时运动的总时间
21．(2020·河南高三月考)如图所示为平面直角坐标系xOy平面的俯视图，在第一象限存在方向沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E1；在第二、第三象限存在方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第四象限存在由特殊静电装置产生的匀强电场，电场方向平行坐标平面且与y轴正方向的夹角为45°，电场强度大小为E2。一个带负电的粒子，从y轴上的P点(0，-d)沿x轴负方向射出，速度大小为，粒子的比荷，粒子运动依次经过y轴上的A点(图中未画出)、x轴上的C点、过C点且平行于y轴的直线上的D点(图中未画出)。已知粒子经过C点时的动能是经过A点时动能的2倍，粒子从C运动到D所用时间t2与从A运动到C所用时间t1的关系为t2=t1，不计粒子重力。求：
(1)A点的坐标；
(2)电场强度E1和E2的比值；
(3)从A点到D点电场力对粒子做的功W。
【答案】(1)(0，d)；(2)；(3)
【详解】
分析粒子运动.作出粒子的运动轨速如图所示
(1)粒子在P点沿x轴负方向进入勾强磁场，做匀速圆周运动，设半轻为r，则有
代入数据解得
可见粒子做圆周运动的圆心在O点，A点在圆周的最高点，竖直坐标为
所以A点的坐标为(0，d)
(2)由题可知粒子在C点的动能为在A点动能的2倍，有
解得
可知与x轴正方向的夹角，粒子沿y轴负方向的分速度为
在第一象限，粒子做类平抛运动，加速度
在y轴负方向根据运动学公式有
联立解得
与x轴的夹角,根据运动特点可知
OC=2d，运动时间为
由题意有
根据题意和以上分析知，粒子在第四象限受的电场力方向和的方向垂直
加速度为
C、D在同一条平行于y轴的直线上，在x轴方向位移为0，有
联立解得
则
(3)粒子在D点的速度大小
根据动能定理可得.电场力做的功
联立解得
22．(2020·浙江杭州高级中学高二期中)如图甲所示，M、N为竖直放置的两块平行金属板，圆形虚线为与N相连且接地的圆形金属网罩(不计电阻)。PQ为与圆形网罩同心的金属收集屏，通过阻值为r0的电阻与大地相连。小孔s1、s2、圆心O与PQ中点位于同一水平线上。圆心角2θ＝120°、半径为R的网罩内有大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。M、N间相距且接有如图乙所示的随时间t变化的电压，UMN＝U0sint(0≤ t ≤T)，UMN＝U0(t＞T)(式中，T已知)，质量为m电荷量为e的质子连续不断地经s1进入M、N间的电场，接着通过s2进入磁场。(质子通过M、N的过程中，板间电场可视为恒定，质子在s1处的速度可视为零，质子的重力及质子间相互作用均不计。)
(1)若质子在t＞T时刻进入s1，为使质子能打到收集屏的中心需在圆形磁场区域加上一个匀强电场，求所加匀强电场的大小和方向？
(2)质子在哪些时间段内自s1处进入板间，穿出磁场后均能打到收集屏PQ上？
(3)若毎秒钟进入s1的质子数为n，则收集屏PQ电势稳定后的发热功率为多少？
【答案】(1)，方向竖直向下；(2) 和t ≥T；(3)
【详解】
(1)在电场中，由动能定理得
为使质子做匀速直线运动，有
eE＝ev0B
解得
E＝
方向竖直向下。
(2)质子在板间运动，根据动能定理，有
质子在磁场中运动，根据牛顿第二定律，有
若质子能打在收集屏上，轨道半径r与半径R应满足的关系
解得
结合图象可知：质子在和之间任一时刻从s1处进入电场，均能打到收集屏上。
(3)稳定时，收集屏上电荷不再增加，即在t＞T 时刻以后，此时，UMN＝U0，收集屏与地面电势差恒为U
U＝Ir0
单位时间到达收集板的质子数n，单位时间内，质子的总能量为
单位时间内屏上发热功率为
消耗在电阻上的功率为
所以收集屏发热功率
23．(2020·深圳实验学校高三月考)如图所示，在边长为L的正方形区域内存在图示方向的匀强电场，正方形的内切圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m、带电量为的粒子从边中点e以速度沿内切圆直径射入场区，粒子恰沿直线从边的中点f射岀场区。保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去磁场，粒子射出电场时速度偏向角。已知，不计粒子重力。
(1)求仅撤去磁场时粒子在电场内运动的时间及电场强度E的大小；
(2)若保持粒子入射位置及速度大小、方向均不变，仅撤去电场，求粒子在磁场中的运动时间。
【答案】(1)；；(2)
【详解】
(1)当只有电场时，粒子做类平抛运动，设粒子出电场时沿电场方向分速度为
速度偏向角的正切值
沿初速度方向
沿电场力方向
可得
可知粒子一定是从c点射出电场，可得
加速度
沿电场方向分速度
可得
(2)设磁场的磁感应强度大小为B，当电场和磁场共存时粒子做直线运动，则
当只存在磁场时粒子做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知偏转角满足
粒子在磁场内运动周期
粒子在磁场内运动时间
24．(2020·河南洛阳一高高二月考)如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为和，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高处分别有P、Q两点，NS和MT间距为。质量为、带电量为的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为。
(1)求该电场强度的大小和方向。
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值。
【答案】(1)，方向竖直向上；(2)
【详解】
(1)设电场强度为E，由题意有
解得
方向竖直向上
(2)如图所示
设小球不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的小球在上下区域运动的半径为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ，由公式
得
则有
有
由
，
解得小球入射速度的最小值为
25．(2020·辽宁高三月考)如图在第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在第二、三、四象限内存在垂直平面向外的匀强磁场。一带正电粒子从x轴上的M点以速度沿与x轴正方向成角射入第二象限，恰好垂直于y轴从N点进入匀强电场，从x轴上的P点再次进入匀强磁场，且粒子从N点到P点的过程动量变化量的大小为，已知磁场的范围足够大，，粒子的比荷为k，不计粒子重力。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)匀强电场的电场强度E的大小；
(3)粒子从P点进入匀强磁场再次到达x轴的位置与M点的距离以及经历的时间。
【答案】(1)；(2)；(3)；；
【详解】
(1)设粒子从M点做圆周运动到N点，圆的半径为r1，根据洛伦兹力提供向心力
由几何关系
解得

(2)粒子从N点运动到P点，做类平抛运动，根据几何关系
粒子在电场中运动，x方向动量不变，y方向的初始动量为0，设离开电场时其y方向的速率分量为，则有
即
根据动能定理
求得
(3)设粒子从P点进入磁场时速度与x轴正方向夹角为，则有
则
由类平抛规律可得
由
解得
可得过P点作速度v的垂线与y轴交点即为圆心，设粒子再次回到x轴到达点，可得与P关于原点O对称，故
则与M点相距为，从P到点经历时间为
26．(2020·江苏高二月考)如图所示，在y轴左则有一平行x轴方向的匀强电场，电场强度，在y轴右侧存在垂直纸面向里的匀强 磁场，第一象限内磁场的磁感应强度大小，第四象限内磁场的磁感应强度大小为．现有一比荷的粒子中，从电场中与y轴相距10cm的P点(图中未标出)由静止释放，粒子运动一段时间后从M点进入磁场，并一直在磁场中运动且多次垂直通过x轴，不计粒子重力，试求：
(1)粒子进入磁场时的速度大小；
(2)从粒子进入磁场开始计时到粒子第三次到达x轴所经历的时间；
(3)粒子轨迹第一次出现相交时所对应的交点坐标。
【答案】(1)2×104m/s；(2)π×10-4s ；(3)P(m，m)
【详解】
(1)对粒子在电场中，由动能定理
得
(2)粒子进入磁场做匀速圆周运动，轨迹如图所示
根据向心力公式
又
得
，
所以粒子从进入磁场到第三次运动到x轴所用的时间为
代入数值可得
(3)设粒子第一次出现相交时的轨迹交点为P，如图所示
由图可知，三角形为等边三角形，则有
根据向心力公式有
解得
根据几何关系可得，P点坐标
所以P点坐标为P()
27．(2020·福建高三月考)如图，平行板电容器两极间的电势差为，两板间距为，板间同时存在磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场.电容器右侧有一倾角的斜面，斜面上方有一正三角形区域，区域内分布有磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场.质量为、带电量为的粒子(重力不计)，从板间以速度水平射入电容器，做直线运动，然后穿过边进入正三角形区域，仍从边离开，最后恰好垂直打在斜面上，其运动轨迹如图所示.求：
(1)粒子入射速度的大小；
(2)粒子在三角形区域中运动的时间；
(3)正三角形区域的最小边长。
【答案】(1)；(2)；(3)0.09m
【详解】
(1)根据平衡条件可得
又
联立解得
(2)由几何关系可知，粒子在三角形磁场中运动的圆心角为
则
又
根据洛伦兹力提供向心力
解得
(3)由几何关系可知其边长
联立解得
28．(2020·浙江省新昌中学高三月考)如图所示，在平面直角坐标系中第II象限有沿y轴负方向的匀强电场，第I象限和第IV象限存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，第I象限的磁感应强度是第IV象限的两倍。一质量为m、带电荷量为+q的粒子从P(－2a，a)以初速度沿x轴正方向射出，粒子恰好从坐标原点进入磁场，不考虑粒子重力。
(1)求电场的电场强度大小E；
(2)若第IV象限磁场磁感应强度为B，求带电粒子进入第IV象限磁场运动半径；
(3)若带电粒子在运动过程中经过了点Q(L，0)，L>0，求第IV象限磁场的感应强度的可能值。
【答案】(1)；(2)；(3)(n=1，2，3……)
【详解】
(1)由题意可知，粒子在第II象限运动时，有
解得
(2)粒子由P点到O点的过程中，x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动
设到达O点时沿y轴方向的速度为，则
得
粒子穿过O点时的速度大小为
即
方向与x轴正方向夹角为，由公式
解得
(3)设粒子在第IV象限运动时的轨迹半径为r，第IV象限磁场感应强度为B，根据
可知，粒子在第I象限运动时的轨迹半径为，粒子的运动轨迹如图所示
运动过程中经过点Q(L，0)，则需满足
(n=1，2，3……)
又
得
(n=1，2，3……)