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2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题
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这是一份2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题，共36页。
2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．
3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
6. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
A. 120B. 200C. 6960D. 9600
9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
10. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
11. 用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
13. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）
15. 请写出一个比小的整数_____________
16. 因式分解：______．
17. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
18. 编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
则收割最快的一台收割机编号是________．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19. （）计算：；
（）已知，求代数式的值．
20. 如图，在中，D是中点．
（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
21. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
整理、描述数据
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
解决问题
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
22. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
（1）已知点，在，，中，是点等和点有_____；
（2）若点的等和点在直线上，求的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
24. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
26. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出值（用含m，n的式子表示）
2024年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学
温馨提示：
1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．
3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3. 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得，根据即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：
∴
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方．根据同底数幂的除法法则，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方的运算法则，可得答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
6. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：C．
7. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，直线相交于点，则，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴，
∴，
故选：．
8. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
A. 120B. 200C. 6960D. 9600
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是统计表，用样本估计总体，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键．求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘16000即可求出结论．
【详解】解：，
∴视力不低于4.8的人数是9600，
故选：D．
9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
10. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
11. 用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再利用现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可．
【详解】解：设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
由题意得：，
故选：C．
12. 如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
由旋转的性质得，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确；
②∵，∴；②说法正确；
③∵，
∴，
∴；③说法正确；
④∵，，
∴，
∴．④说法正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
13. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键．
数轴上点A，M，B分别表示数，则、，由可得原点在A、M之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可．
【详解】解：数轴上点A，M，B分别表示数,
∴、，
∵，
∴原点在A，M之间，由它们的位置可得，且，
∴，，，
故运算结果一定是正数的是．
故选：A．
14. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点、的横坐标分别为、，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）
15. 请写出一个比小的整数_____________
【答案】1（或2）
【解析】
【详解】试题分析：先估算出在哪两个整数之间，即可得到结果．
，
满足条件的数为小于或等于2的整数均可.
考点：本题考查的是无理数的估算
点评：解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
16. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握因式分解方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）是解题的关键．
17. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值．
【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴古树的高度约为米．
故答案为：．
18. 编号为A，B，C，D，E五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
则收割最快的一台收割机编号是________．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查推理能力．利用同时启动其中的两台收割机，收割面积相同的田地所需时间分析对比，能求出结果．
【详解】解：同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，
得到C比A快；
同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，
同时启动C，D两台收割机，所需时间为20小时，
得到B比D快；
同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时，
得到E比B快；
同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时，
同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时，
得到C比E快．
综上，收割最快的一台收割机编号是C．
故答案为：C．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19 （）计算：；
（）已知，求代数式的值．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解；
（）由得，化简代数式可得，代入计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
；
（）∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
20. 如图，在中，D是中点．
（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立．
【小问1详解】
解：直线l如图所示，
；
【小问2详解】
证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为的中点，
∵D，E分别为，的中点，
∴，，
∵，即：，
∴，
∵，
∴ 四边形是平行四边形．
21. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
整理、描述数据
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
解决问题
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【答案】（1）5；2；75
（2）78；80 （3）A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
【解析】
【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义．
（1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值；
（2）根据中位数和平均数的意义即可求解；
（3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；
故答案为：5；2；75；
【小问2详解】
解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
【小问3详解】
解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
22. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）15天的工期，两队最多能修复公路千米．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；
（2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
小问2详解】
解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，
，
解得，
∵，
∴随的增加而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．
23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
（1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
（2）若点的等和点在直线上，求的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【答案】（1）和；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解；
（）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解；
（）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：由，得，，
∴点是点的等和点；
由，得，，，
∵，
∴不是点的等和点；
由，得，，
∴是点的等和点；
故答案为：和；
【小问2详解】
解：设点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
设，点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为或．
24. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线；
（2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出
【小问1详解】
证明：连接，延长，交于点，连接如图，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．
25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
（3）这条钢架的长度为米
【解析】
【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
【小问3详解】
解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
26. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①②，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果；
②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论；
（3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
【小问3详解】
，理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
由（2）知，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
39
41
33
40
47
收割机编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需时间（小时）
23
19
20
22
18
收集数据
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成绩/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人数/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均数
众数
中位数
80
c
78
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
39
41
33
40
47
收割机编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需时间（小时）
23
19
20
22
18
收集数据
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成绩/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人数/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均数
众数
中位数
80
c
78
2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．
3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
6. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
8. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
A. 120B. 200C. 6960D. 9600
9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
10. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
11. 用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
13. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
14. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）
15. 请写出一个比小的整数_____________
16. 因式分解：______．
17. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
18. 编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
则收割最快的一台收割机编号是________．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19. （）计算：；
（）已知，求代数式的值．
20. 如图，在中，D是中点．
（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
21. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
整理、描述数据
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
解决问题
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
22. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
（1）已知点，在，，中，是点等和点有_____；
（2）若点的等和点在直线上，求的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
24. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
26. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出值（用含m，n的式子表示）
2024年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学
温馨提示：
1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．
3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3. 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得，根据即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：
∴
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方．根据同底数幂的除法法则，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方的运算法则，可得答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
6. 解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
故选：C．
7. 如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，直线相交于点，则，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴，
∴，
故选：．
8. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
A. 120B. 200C. 6960D. 9600
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是统计表，用样本估计总体，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键．求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘16000即可求出结论．
【详解】解：，
∴视力不低于4.8的人数是9600，
故选：D．
9. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
10. 如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
11. 用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再利用现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可．
【详解】解：设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
由题意得：，
故选：C．
12. 如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
由旋转的性质得，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确；
②∵，∴；②说法正确；
③∵，
∴，
∴；③说法正确；
④∵，，
∴，
∴．④说法正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
13. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键．
数轴上点A，M，B分别表示数，则、，由可得原点在A、M之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可．
【详解】解：数轴上点A，M，B分别表示数,
∴、，
∵，
∴原点在A，M之间，由它们的位置可得，且，
∴，，，
故运算结果一定是正数的是．
故选：A．
14. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，
四边形是正方形，
、互相平分，，，
，，
．
，，
．
，．
点、的横坐标分别为、，
，．
，，，
设，则，，
，，，．
又，，
，．
．
．
．
点、在轴的同侧，且点在点的右侧，
．
．
故选：B．
二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）
15. 请写出一个比小的整数_____________
【答案】1（或2）
【解析】
【详解】试题分析：先估算出在哪两个整数之间，即可得到结果．
，
满足条件的数为小于或等于2的整数均可.
考点：本题考查的是无理数的估算
点评：解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
16. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握因式分解方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）是解题的关键．
17. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值．
【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
∴古树的高度约为米．
故答案为：．
18. 编号为A，B，C，D，E五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
则收割最快的一台收割机编号是________．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查推理能力．利用同时启动其中的两台收割机，收割面积相同的田地所需时间分析对比，能求出结果．
【详解】解：同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，
得到C比A快；
同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，
同时启动C，D两台收割机，所需时间为20小时，
得到B比D快；
同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时，
得到E比B快；
同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时，
同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时，
得到C比E快．
综上，收割最快的一台收割机编号是C．
故答案为：C．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）
19 （）计算：；
（）已知，求代数式的值．
【答案】（）；（）．
【解析】
【分析】（）利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可求解；
（）由得，化简代数式可得，代入计算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
；
（）∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
20. 如图，在中，D是中点．
（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立．
【小问1详解】
解：直线l如图所示，
；
【小问2详解】
证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为的中点，
∵D，E分别为，的中点，
∴，，
∵，即：，
∴，
∵，
∴ 四边形是平行四边形．
21. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
整理、描述数据
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
解决问题
（1）表格中的______；______；______；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【答案】（1）5；2；75
（2）78；80 （3）A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
【解析】
【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义．
（1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值；
（2）根据中位数和平均数的意义即可求解；
（3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：根据收集的数据知；；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则；
故答案为：5；2；75；
【小问2详解】
解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
【小问3详解】
解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为．
22. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）15天的工期，两队最多能修复公路千米．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；
（2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
小问2详解】
解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，
由题意得，
，
解得，
∵，
∴随的增加而减少，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米．
23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
（1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
（2）若点的等和点在直线上，求的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
【答案】（1）和；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（）根据等和点的定义判断即可求解；
（）设点的横坐标为，根据等和点的定义得点的纵坐标为，即可得点的坐标为，把点的坐标代入即可求解；
（）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，即得，得到反比例函数解析式为，设，点的横坐标为，根据等和点的定义得，代入得，解方程得，，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：由，得，，
∴点是点的等和点；
由，得，，，
∵，
∴不是点的等和点；
由，得，，
∴是点的等和点；
故答案为：和；
【小问2详解】
解：设点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为，
把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴反比例函数解析式为，
设，点的横坐标为，
∵点是点的等和点，
∴点的纵坐标为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
∴点的坐标为或．
24. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线；
（2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出
【小问1详解】
证明：连接，延长，交于点，连接如图，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴
∵
∴即
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，,
∴，
解得，，
∴，
∴
在中，
∴，
又，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．
25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
（3）这条钢架的长度为米
【解析】
【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，设水滑道所在抛物线的解析式为，将代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，由抛物线的顶点为，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，令，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立，根据方程组有唯一解，求出，即该钢架所在直线的解析式为，点H与点O重合，根据，，，利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
【小问3详解】
解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
26. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，．
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）①②，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果；
②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论；
（3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，且，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①当时，；当时，，
∴总结规律得：是的2倍，
∴当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，又，
∴，即，
∴；
【小问3详解】
，理由如下：
过点作，
∵，，
∴，
由（2）知，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
39
41
33
40
47
收割机编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需时间（小时）
23
19
20
22
18
收集数据
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成绩/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人数/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均数
众数
中位数
80
c
78
视力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人数
39
41
33
40
47
收割机编号
A，B
B，C
C，D
D，E
A，E
所需时间（小时）
23
19
20
22
18
收集数据
77
78
76
72
84
75
91
85
78
79
82
78
76
79
91
91
76
74
75
85
75
91
80
77
75
75
87
85
76
77
成绩/分
72
74
75
76
77
78
79
80
82
84
85
87
91
人数/人
1
1
a
4
3
3
b
1
1
1
3
1
4
平均数
众数
中位数
80
c
78
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