安徽省滁州市九校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章一第七章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数在处导数为2，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的定义，即可求解.
【详解】．
故选:A．
2. 已知随机变量X的分布列为
则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由分布列的性质有，可求的值.
【详解】由分布列的性质，得，即，解得或，
当时，，不符合分布列的性质，所以.
故选：C.
3. 已知数列满足，，则数列的前9项和为（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数列递推公式对进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得.
【详解】因，由可推得，，
则，，，
故数列是周期为3的数列，
从而数列的前9项和为.
故选:.
4. 已知随机变量，则（ ）
注：若，则.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态曲线的性质求出和即可求出.
【详解】因为，即，，
所以，
，
所以.
故选：C.
5. 在递增的等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A. 4B. 12C. 24D. 12或24
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根，结合等比数列的性质即可求解，，进而可得公比，由等比数列基本量的计算即可求解.
【详解】的两个根为，，
设数列的公比为，由已知，
由于，是方程的两根，且等比数列是递增数列，
所以，，所以，所以，
所以，，．
故选：B．
6. 函数，则下列结论错误的是（ ）
A. 在区间上不单调B. 有两个极值点
C. 有两个零点D. 在上有最大值
【答案】C
【解析】
【分析】对求导，讨论单调性，得出极值和最值，画出草图即可．
【详解】定义域为，求导即，
令，解得．
显然在和上，故在和上单调递增；
在上，故在上单调递减．
所以为的极大值点，为的极小值点，且，，草图如下.
所以ABD正确，C错误．
故选：C．
7. 某机构拟对其所管辖的6个部门中的4个部门的负责人进行调整，被调整的4人将到其余部门任负责人（不在原部门），每个部门只有一个负责人，调整方案的种数为（ ）
A. 360种B. 270种C. 200种D. 135种
【答案】D
【解析】
【分析】先由选出不调整的两个部分，进而根据分步计数原理即可求解.
【详解】先从6人中选出不作调整的两个，有种，
再把余下的4部门负责人调整到其他部门，假设4个部门为A，B，C，D，对应的4位原负责人分别为a，b，c，d，
则a可以调整到B，C，D中的任一部门，有3种情况，假设a分到B部门，则b也有3种情况，剩下的两人有1种情况，故有种情况，
所以调整方案共有种．
故选：D．
8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义，结合二项式定理可知，再确定中被7整除余3的数，即可得解.
【详解】由二项式定理，得
，
因为能够被7整除，
被7除余3，则，
又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项
【答案】CD
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以；所以，
由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．
故选：CD．
10. 2024年3月，中华人民共和国全国人民代表大会与中国人民政治协商会议在北京召开（以下简称“两会”），两会结束后，5名人大代表A，B，C，D，E站成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B相邻，则有48种不同站法
B. 若C与D不相邻，则有24种不同站法
C. 若B在E的左边（可以不相邻），则有60种不同站法
D. 若A不在最左边，D不在最中间，则有78种不同站法
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用捆绑法求A与B相邻的排法数，判断选项A；利用插空法求C与D不相邻的排法数，判断选项B；根据倍缩法求B在E的左边的排法数，判断选项C；优先考虑的位置，结合排列知识和两大计数原理求A不在最左边，D不在最中间的排法，判断选项D.
【详解】若A与B相邻，则有种不同站法，A正确；
若C与D不相邻，则有种不同站法，B错误；
若B在E的左边（可以不相邻），则有种不同站法，C正确；
若A不最左边，D不在最中间，
当A排在最中间时，满足条件的排法有种，
当A不排在最中间时，满足条件的排法有种，
故共有种不同排法，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】令，所以，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，
即，
则，，故AC错误，BD正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的图象在点处的切线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简求解即可.
【详解】由知，，所以，
故所求切线方程为，即.
故答案：
13. 一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解.
【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2，
则，，，
，，
所以．
故答案为：
14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为恒成立，则数列的通项公式为____________;数列的前n项和等于____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】当时，求出，当时，，求出为等差数列，得到，当时，，求出，检验是否满足，写出表达式;
根据，利用分母有理化和裂项相消法，求解前n项和.
【详解】当时，，又,所以；
当时，，所以，
所以数列为等差数列，
所以,
又,所以,
所以当时，，
显然时上式成立，故；
,
故数列的前n项和
．
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的二项展开式中，前三项的二项式系数的和为46．
（1）求展开式中所有项的系数的和：
（2）求展开式中的常数项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二项式系数的概念，结合组合数的计算可得，即可利用赋值法求解系数和，
（2）利用通项特征即可求解，代入即可求解.
【小问1详解】
因为的二项展开式中前三项的二项式系数的和为46，所以，
即，，解得或（舍）．
令，则，
所以展开式中所有项的系数的和为．
【小问2详解】
由（1）知二项式为，
所以二项展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的常数项为．
16. 在等差数列中，是和的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比中项的性质得到方程解出公差则得到通项；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列的公差为d,由，得,
因为是和的等比中项，
所以,化简，得,
解得,或（舍），
所以．
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
两边同乘以，得，
两式相减，得
，
所以．
17. 某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
（1）用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
（2）消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差．
【答案】（1）分布列见解析；
（2），，
【解析】
【分析】（1）借助分层随机抽样定义可得所抽取产品类别，得到的所有可能取值后计算其概率即可得分布列及期望.
（2）借助二项分布的概率公式，期望公式与方差公式计算即可得.
【小问1详解】
，，，，
故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线，
则的所有可能取值为、、，
，
，
，
则其分布列为：
则；
【小问2详解】
由题意可得，
则
，
，.
18. 已知函数，．
（1）当时，求函数在上的值域（）；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得，再求导后分别求出单调性，从而可求解.
（2）对函数求导得，然后分情况讨论的情况，再结合导数求出相关单调性，从而可求解.
【小问1详解】
当时，，定义域为，
则，
令，得或(舍去)，
当时，，，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，
所以当时，取到极小值也是最小值，
所以当，，，
又因为，因为，
此时，，
故在上的值域为.
【小问2详解】
，，
当时，，，
当，，当，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，令，得或，
当时，时，，当时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，
当时，，当，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，
所以在区间单调递减；
当时，
当时，，当时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增；
综上所述：当时，在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，区间单调递减；
当时，在区间单调递减，在区间单调递增.
【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；
（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；
（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19. 我们学过二项分布，超几何分布，正态分布等概率分布模型.概率论中还有一种离散概率分布，设一组独立的伯努利试验，每次试验中事件发生的概率为，将试验进行至事件发生次为止，用表示试验次数，则服从负二项分布（也称帕斯卡分布），记作.为改善人口结构，落实积极应对人口老龄化国家战略，保持中国的人口资源优势，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭进行调查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为.
（1）求;
（2）若抽取的家庭数不超过的概率不小于，求整数的最小值.
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可；
（2）利用错位相减法求取家庭数不超过的概率，再结合数列的单调性求解即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为.
所以抽取的家庭数不超过的概率为，
即，，
两式相减，得
所以.
由，得，
令，则.，
所以，所以数列递减数列，
因为，
所以整数的最小值是7.
5
10
15