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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算精品课后作业题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算精品课后作业题，文件包含人教A版数学高一必修第一册专题13集合的基本运算讲+练11大考点原卷版docx、人教A版数学高一必修第一册专题13集合的基本运算讲+练11大考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
知识点一
并集
1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B
2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
3.图示：
知识点二
交集
1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B.
2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
3.图示：
知识点三
并集和交集的性质
知识点四
补集
1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA.
3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.
4.图示：
5.解读：
(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示．
知识点四
集合中元素的个数
考点01 并集运算
【典例1】（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用并集的运算求解即可.
【详解】，，
．
故选：C．
【典例2】（2023春·陕西·高二校联考期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用集合的并集运算求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
【总结提升】
1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
考点02 根据并集运算结果求集合或参数
【典例3】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（ ）
A．B．或
C．或或D．或或或
【答案】C
【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可.
【详解】由可得或，解得，，或.
又集合与，故，故，或.
故选：C
【典例4】（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为
【答案】
【分析】依题意有，即，分类讨论求m的值.
【详解】若，则，即，
由，则有或，
若，解得或，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，∴．
若，解得.
所以的值组成的集合为.
故答案为：．
【总结提升】
1.A∪B＝B⇔A⊆B
2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．
考点03 交集的运算
【典例5】（2023春·陕西商洛·高二校考期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集概念进行求解即可.
【详解】.
故选：B
【典例6】（2023春·北京·高二校考期中）已知集合，集合，则集合A∩B=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据每个集合中对元素的描述，可转化为直线求交点问题，从而得解.
【详解】由题意可得，集合表示时线段上的点，
集合表示时线段上的点，
则表示两条线段的交点坐标，
联立，解得，满足条件，
所以.
故选：C.
【总结提升】
求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
考点04 根据交集运算结果求集合或参数
【典例7】（2023春·湖北黄冈·高一校联考期中）已知集合，，，则（ ）
A．或B．或C．或D．或或
【答案】B
【分析】由，，以及与的交集为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】集合，，且，
或，
解得：或或，
由元素的互异性得不合题意，舍去，
则或．
故选：B
【典例8】（2021秋·高一课时练习）已知集合，．
（1）若，实数的取值范围是 ．
（2）若，实数的取值范围是 ．
（3）若，实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】①根据集合间的运算求实数的取值范围；②利用取反思想，先求时，实数的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】①若，得，所以实数a的取值范围是；
②因为，即，所以，所以若，则，
则实数a的取值范围是；
③若，即，所以，
则实数a的取值范围是.
故答案为：①；②；③.
【典例9】（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
请从①；②；这两个条件中选择一个填入②中横线处，并完成第②问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)选择①的范围为，，,选择②，的取值范围为，．
【分析】（1）先求出两个集合，再求交集；
（2）若选择①，则，再分集合和两种情况，列式求解．选择条件②，根据子集关系列不等式即可求解.
【详解】（1）当时，，
．
（2）（2）若选择①，
当时，，即，
当时，，即，
或，即或．
实数的取值范围是，，．
若选择条件②，由得，解得．
实数的取值范围是，．
【总结提升】
利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．
考点05 补集的运算
【典例10】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【典例11】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】求出集合后,写出集合的真子集,数出个数即可.
【详解】解:由题知, ,
所以,
所以集合的真子集有:
,
共3个.
故选:B
【总结提升】
两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助图示．
②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
考点06 根据补集的运算结果求集合或参数
【典例12】（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据补集的性质和定义即可得出结果.
【详解】解:由题知,,
所以.
故选:C
【典例13】【多选题】（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】首先求集合，再结合补集的定义，讨论和两种情况，求实数的取值范围.
【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U；
若a≠0，则＝.
此时＝3或＝5，
∴a＝或a＝.
综上a的值为0或或.
故选：ABC
【典例14】（2023春·山东滨州·高二校考期末）已知全集，集合，且，则 ．
【答案】
【分析】依题意可得且，再分类讨论得到方程组，解答即可.
【详解】因为全集，集合，且，
所以且，
所以或，
当时，解得，
当时，方程组无解，故舍去.
综上可得.
故答案为：
【总结提升】
根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
考点07 交集、并集、补集的综合运算
【典例15】（2024·全国·高三专题练习）已知集合或，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解．
【详解】或，，
，．
故选：A．
【典例16】（2022秋·广东佛山·高一统考期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案.
【详解】由，，解得，所以；
由，解得，所以.
对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，由选项C可知，，故D正确.
故选：ACD.
考点08 根据集合的运算求参数
【典例17】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.
【详解】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
【典例18】（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果；
（2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果.
【详解】（1）由题意知：；
，；
①当，即时，满足，此时；
②当时，若，则，解得：；
综上所述：的取值范围为.
（2），，，即，解得：，，；
①当，即时，，
，解得：；
②当，即时，，
，解得：；
③当，即时，，不合题意；
综上所述：的取值范围为.
【总结提升】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
考点09 求集合中元素的个数
【典例19】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据并集定义可得，由此可得元素个数.
【详解】，，共个元素.
故选：B.
【典例20】（2023春·重庆·高二统考期末）设集合，，若，则实数所有取值组成的集合的子集个数为 .
【答案】
【分析】解出集合，分、两种情况讨论，结合可得出实数的取值集合，进而可得子集个数.
【详解】因为，，，则.
当时，，合乎题意；
当时，，则或，解得或.
综上所述，实数的取值构成的集合为，该集合子集个数为.
故答案为：.
考点10 集合的应用
【典例21】（2020秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）集合论是德国数学家康托尔（G. Cantr）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合A，B，有.2020年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（ ）
A．293B．260C．205D．154
【答案】B
【分析】代入条件中并集的元素个数的公式，即可求解.
【详解】设收到重点大学录取通知书的学生构成集合，收到师范类大学
录取通知书的学生构成集合，
根据，
.
故选：B
【典例22】（2023·全国·高三专题练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（ ）
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
【答案】A
【分析】根据描述，应用容斥原理画韦恩图，求出该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数，即可得结果.
【详解】如下图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，
阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是40－20＝20，
由样本估计总体，得所求比值为.
故选：A
考点11 集合的新定义问题
【典例23】已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1, x,y∈Z}，B={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【解析】
因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1, x,y∈Z}，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合B={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
【典例24】【多选题】（2023秋·高一课时练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【答案】BD
【分析】根据差集定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A：由且，故，故A错误；
对于B：由且，则，故，故B正确；
对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，故C错误；
对于D：或，则或，故D正确.
故选：BD.
【方法技巧】
解决集合新定义问题的方法
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
一、单选题
1．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由补集的定义可得出集合.
【详解】因为全集，集合，则.
故选：C.
2．（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的运算，可得答案.
【详解】因为，，所以．
故选：A．
3.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知全集，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析出可得、、，结合补集的定义可求出集合.
【详解】由题意可知，、、，且，故.
故选：B.
4．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】计算，得到元素个数.
【详解】，则，则中元素的个数为
故选：C
二、多选题
5．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）对于集合，我们把集合叫做集合与集合的差集，记作．现已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由差集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为，则，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
6．（2022秋·四川·高一统考期中）已知全集，集合，，则 .
【答案】8
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】因为全集，集合，，
所以，即，
所以.
故答案为：8.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，集合，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】化简集合，将化为，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】由，，得，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
8.（2023·全国·高三专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ .
【答案】
【分析】由全集，根据A⋂(CUB)，应用韦恩图即可求集合B.
【详解】由题意，，
∵A⋂(CUB)，，
∴.
故答案为：.
9.（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）已知：，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定的条件，借助集合的包含关系列出不等式，求解作答.
【详解】因集合，，由得：，
当，即时，，则，
当时，则，解得，
综上，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
10．（2023春·新疆伊犁·高一统考期中）已知全集，若集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合的运算，即可得到结果；
（2）由条件可得，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
所以.
因为，
所以.
（2）由得，，
因为，
所以.
11．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知集合，，或.
(1)若，求的取值范围．
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据得出，通过对集合分类讨论解.
（2）依据并集定义和实数集，解.
【详解】（1）因为，所以.
当时，满足，此时解得；
当时，要使，则解得.
综上，的取值范围为.
（2）因为，
所以解得.
12.（2022秋·全国·高一校联考阶段练习）设集合，．
(1)若，求，；
(2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果；
（2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果.
（1）
由题设，，
所以，.
（2）
由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素，
当时，此时或满足题设；
当时，满足题设；
综上，.
并集
交集
简单性质
A∪A＝A；A∪∅＝A
A∩A＝A；A∩∅＝∅
常用结论
A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；
B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B
A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；
(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A
知识点一
并集
1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B
2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
3.图示：
知识点二
交集
1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B.
2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
3.图示：
知识点三
并集和交集的性质
知识点四
补集
1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA.
3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}.
4.图示：
5.解读：
(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示．
知识点四
集合中元素的个数
考点01 并集运算
【典例1】（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用并集的运算求解即可.
【详解】，，
．
故选：C．
【典例2】（2023春·陕西·高二校联考期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用集合的并集运算求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
【总结提升】
1.对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
2.求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
3.对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
考点02 根据并集运算结果求集合或参数
【典例3】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知集合，，且，则m的值为（ ）
A．B．或
C．或或D．或或或
【答案】C
【分析】根据并集的结果可得或，再根据集合的性质求解即可.
【详解】由可得或，解得，，或.
又集合与，故，故，或.
故选：C
【典例4】（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）集合，若，的值组成的集合为
【答案】
【分析】依题意有，即，分类讨论求m的值.
【详解】若，则，即，
由，则有或，
若，解得或，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，∴．
若，解得.
所以的值组成的集合为.
故答案为：．
【总结提升】
1.A∪B＝B⇔A⊆B
2.当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．
考点03 交集的运算
【典例5】（2023春·陕西商洛·高二校考期中）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集概念进行求解即可.
【详解】.
故选：B
【典例6】（2023春·北京·高二校考期中）已知集合，集合，则集合A∩B=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据每个集合中对元素的描述，可转化为直线求交点问题，从而得解.
【详解】由题意可得，集合表示时线段上的点，
集合表示时线段上的点，
则表示两条线段的交点坐标，
联立，解得，满足条件，
所以.
故选：C.
【总结提升】
求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
考点04 根据交集运算结果求集合或参数
【典例7】（2023春·湖北黄冈·高一校联考期中）已知集合，，，则（ ）
A．或B．或C．或D．或或
【答案】B
【分析】由，，以及与的交集为，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】集合，，且，
或，
解得：或或，
由元素的互异性得不合题意，舍去，
则或．
故选：B
【典例8】（2021秋·高一课时练习）已知集合，．
（1）若，实数的取值范围是 ．
（2）若，实数的取值范围是 ．
（3）若，实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】①根据集合间的运算求实数的取值范围；②利用取反思想，先求时，实数的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】①若，得，所以实数a的取值范围是；
②因为，即，所以，所以若，则，
则实数a的取值范围是；
③若，即，所以，
则实数a的取值范围是.
故答案为：①；②；③.
【典例9】（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
请从①；②；这两个条件中选择一个填入②中横线处，并完成第②问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)选择①的范围为，，,选择②，的取值范围为，．
【分析】（1）先求出两个集合，再求交集；
（2）若选择①，则，再分集合和两种情况，列式求解．选择条件②，根据子集关系列不等式即可求解.
【详解】（1）当时，，
．
（2）（2）若选择①，
当时，，即，
当时，，即，
或，即或．
实数的取值范围是，，．
若选择条件②，由得，解得．
实数的取值范围是，．
【总结提升】
利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．
考点05 补集的运算
【典例10】（2023春·天津河北·高二统考期末）已知集合，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【典例11】（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】求出集合后,写出集合的真子集,数出个数即可.
【详解】解:由题知, ,
所以,
所以集合的真子集有:
,
共3个.
故选:B
【总结提升】
两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助图示．
②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
考点06 根据补集的运算结果求集合或参数
【典例12】（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）集合,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据补集的性质和定义即可得出结果.
【详解】解:由题知,,
所以.
故选:C
【典例13】【多选题】（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】首先求集合，再结合补集的定义，讨论和两种情况，求实数的取值范围.
【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U；
若a≠0，则＝.
此时＝3或＝5，
∴a＝或a＝.
综上a的值为0或或.
故选：ABC
【典例14】（2023春·山东滨州·高二校考期末）已知全集，集合，且，则 ．
【答案】
【分析】依题意可得且，再分类讨论得到方程组，解答即可.
【详解】因为全集，集合，且，
所以且，
所以或，
当时，解得，
当时，方程组无解，故舍去.
综上可得.
故答案为：
【总结提升】
根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
考点07 交集、并集、补集的综合运算
【典例15】（2024·全国·高三专题练习）已知集合或，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解．
【详解】或，，
，．
故选：A．
【典例16】（2022秋·广东佛山·高一统考期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，结合集合交、并、补的运算，可得答案.
【详解】由，，解得，所以；
由，解得，所以.
对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，由选项C可知，，故D正确.
故选：ACD.
考点08 根据集合的运算求参数
【典例17】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.
【详解】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
【典例18】（2023春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果；
（2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果.
【详解】（1）由题意知：；
，；
①当，即时，满足，此时；
②当时，若，则，解得：；
综上所述：的取值范围为.
（2），，，即，解得：，，；
①当，即时，，
，解得：；
②当，即时，，
，解得：；
③当，即时，，不合题意；
综上所述：的取值范围为.
【总结提升】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
考点09 求集合中元素的个数
【典例19】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据并集定义可得，由此可得元素个数.
【详解】，，共个元素.
故选：B.
【典例20】（2023春·重庆·高二统考期末）设集合，，若，则实数所有取值组成的集合的子集个数为 .
【答案】
【分析】解出集合，分、两种情况讨论，结合可得出实数的取值集合，进而可得子集个数.
【详解】因为，，，则.
当时，，合乎题意；
当时，，则或，解得或.
综上所述，实数的取值构成的集合为，该集合子集个数为.
故答案为：.
考点10 集合的应用
【典例21】（2020秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）集合论是德国数学家康托尔（G. Cantr）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合A，B，有.2020年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（ ）
A．293B．260C．205D．154
【答案】B
【分析】代入条件中并集的元素个数的公式，即可求解.
【详解】设收到重点大学录取通知书的学生构成集合，收到师范类大学
录取通知书的学生构成集合，
根据，
.
故选：B
【典例22】（2023·全国·高三专题练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（ ）
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
【答案】A
【分析】根据描述，应用容斥原理画韦恩图，求出该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数，即可得结果.
【详解】如下图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，
阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是40－20＝20，
由样本估计总体，得所求比值为.
故选：A
考点11 集合的新定义问题
【典例23】已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1, x,y∈Z}，B={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y∈Z}，定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为（ ）
A．77 B．49 C．45 D．30
【答案】C
【解析】
因为集合A={(x,y)|x2+y2≤1, x,y∈Z}，所以集合中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合B={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A, (x2,y2)∈B}的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
【典例24】【多选题】（2023秋·高一课时练习）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A、B我们把集合且，叫做集合A和B的差集，记作，例如：，，则有，，下列解析正确的是（ ）
A．已知，，则
B．如果，那么
C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则
D．已知或，，则或
【答案】BD
【分析】根据差集定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A：由且，故，故A错误；
对于B：由且，则，故，故B正确；
对于C：由韦恩图知：如下图阴影部分，
所以，故C错误；
对于D：或，则或，故D正确.
故选：BD.
【方法技巧】
解决集合新定义问题的方法
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
3．（2020·全国·统考高考真题）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
一、单选题
1．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由补集的定义可得出集合.
【详解】因为全集，集合，则.
故选：C.
2．（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的运算，可得答案.
【详解】因为，，所以．
故选：A．
3.（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知全集，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析出可得、、，结合补集的定义可求出集合.
【详解】由题意可知，、、，且，故.
故选：B.
4．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】计算，得到元素个数.
【详解】，则，则中元素的个数为
故选：C
二、多选题
5．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）对于集合，我们把集合叫做集合与集合的差集，记作．现已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由差集的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为，则，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
6．（2022秋·四川·高一统考期中）已知全集，集合，，则 .
【答案】8
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】因为全集，集合，，
所以，即，
所以.
故答案为：8.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知，集合，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】化简集合，将化为，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】由，，得，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
8.（2023·全国·高三专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ .
【答案】
【分析】由全集，根据A⋂(CUB)，应用韦恩图即可求集合B.
【详解】由题意，，
∵A⋂(CUB)，，
∴.
故答案为：.
9.（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）已知：，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定的条件，借助集合的包含关系列出不等式，求解作答.
【详解】因集合，，由得：，
当，即时，，则，
当时，则，解得，
综上，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
10．（2023春·新疆伊犁·高一统考期中）已知全集，若集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由集合的运算，即可得到结果；
（2）由条件可得，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
所以.
因为，
所以.
（2）由得，，
因为，
所以.
11．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知集合，，或.
(1)若，求的取值范围．
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据得出，通过对集合分类讨论解.
（2）依据并集定义和实数集，解.
【详解】（1）因为，所以.
当时，满足，此时解得；
当时，要使，则解得.
综上，的取值范围为.
（2）因为，
所以解得.
12.（2022秋·全国·高一校联考阶段练习）设集合，．
(1)若，求，；
(2)设，若集合C有8个子集，求a的取值集合．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）解方程得、，应用集合的交并运算求结果；
（2）由题设集合C有3个元素，讨论、满足题设情况下的取值，即可得结果.
（1）
由题设，，
所以，.
（2）
由，且集合C有8个子集，故集合C有3个元素，
当时，此时或满足题设；
当时，满足题设；
综上，.
并集
交集
简单性质
A∪A＝A；A∪∅＝A
A∩A＝A；A∩∅＝∅
常用结论
A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；
B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B
A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；
(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A
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