高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件精品同步测试题

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知识点一
充分条件与必要条件
1．如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件.
2．如果p⇒q且q eq \(⇒,/) p，则称p是q的充分不必要条件．
3．如果p eq \(⇒,/) q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．
知识点二
充要条件
1.如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.
2．如果p eq \(⇒,/) q且q eq \(⇒,/) p，则p是q的既不充分也不必要条件
考点01 判断充分不必要条件
【典例1】（2023春·浙江绍兴·高二校考期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分、必要性定义判断条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则必成立，充分性成立；而，不一定成立，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【典例2】（2022秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设x＞0，y∈R，则“x＞|y|”是“x＞y”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分、先判断是否满足充分性，再判断是否满足必要性，即可得答案.
【详解】解：当时，由x＞|y|可得；
当时，由x＞|y|可得；
故充分性满足；
当时，由可得；
当时，由，x＞0，不可得，如，但，
故必要性不满足；
所以“x＞|y|”是“x＞y”的充分不必要条件.
故选：A.
【总结提升】
1.定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件；
2.集合法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件．
考点02 判断必要不充分条件
【典例3】（2022秋·广东佛山·高一统考期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解绝对值不等式求出，从而得到，，得到答案.
【详解】，解得，
因为，，所以是的必要不充分条件.
故选：B
【典例4】（2021秋·陕西延安·高二子长市中学校考期末）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，可得，
所以当时，不一定成立，所以充分性不成立；
当时，一定成立，所以必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
【总结提升】
1.定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要而不充分条件；
2.集合法：若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件．
考点03 根据充分不必要条件求参数
【典例5】（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解出绝对值不等式，再根据充分不必要条件得到集合的包含关系，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】由，即，解得，
因为“”是“”充分不必要条件，
所以真包含于，所以（等号不能同时取得），解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
【典例6】（2022秋·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）设集合，，.
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案.
（2）根据题意可得BA，讨论集合B是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知当时，，故或，
而，故；
（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA，
故当时，，符合题意；
当时，需满足，且中等号不能同时取得，
解得，
综合以上，m的取值范围为或.
【总结提升】
根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2) 端点取值慎取舍：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
考点04 根据必要不充分条件求参数
【典例7】（2020·江苏省海头高级中学高一月考）设，若p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】
首先化简命题、，分别记所对应的不等式的解集为、，依题意可得，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：由，解得，即，记；
由，解得，即，记，
因为是的必要不充分条件，所以，即，解得
故答案为：
【典例8】（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知集合，集合
(1)当时，求；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据交集直接运算求解；
（2）由题意分析可得：，分和两种情况，结合包含关系运算求解.
【详解】（1）当时，，所以.
（2）因为是的必要条件，则，
①当时，，解得；
②当时，，解得；
综上所述：m的取值范围为.
考点05 充要条件的判定
【典例9】（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】当时可由基本不等式推得；当时解不等式可得，则可判定它们之间的逻辑关系.
【详解】当时由基本不等式可得，当且仅当时取得“=”
当时，则，
可得即，
解得；
所以“”是“”的充要条件.
故选：.
【典例10】（2022秋·陕西咸阳·高二统考期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】由得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
【典例11】（2022秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（ ）
A．，
B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等
C．，
D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等
【答案】B
【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论．
【详解】对于A选项，，解得：或，
所以，但，
故为的充分不必要条件，故A错误；
B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确；
C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误；
D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等，
但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等，
例如：中，，斜边，
中，，则斜边，
故为的必要不充分条件．
故选：B．
【典例12】【多选题】（2022秋·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考阶段练习）设全集为，在下列条件中，是的充要条件的有（ ）
A． B． C．D．
【答案】ABCD
【分析】结合Venn图，利用充分条件和必要条件的定义，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；
对于B，如下Venn图，
若，则，若，则，故正确；
选项C中，若，则；反过来，若，则，故互为充要条件，故正确；
选项D中，若，则，故；反过来，若，则，故，故互为充要条件，故正确.
故选：ABCD.
【总结提升】
1.定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充要条件；
2.集合法：即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M＝N等价于p和q互为充要条件．
考点06 探求命题为真的充分条件、必要条件
【典例13】（2022秋·福建福州·高一校考期中）若，则的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由充分必要条件关系，，反之不成立，即可判断.
【详解】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合.
故选：D.
【典例14】（2022秋·江西南昌·高一统考期中）成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先得出充要条件，再由必要不充分条件的定义求解.
【详解】对于A，由题可知成立的充要条件是，
当时，能得出，而成立，不能得出，
故是的充分不必要条件，故A错误；
对于B，是的充分必要条件，故B错误；
对于C，当时，不能得出，而时，不能推出，
故是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，当时，不能得出，而时，能推出，
故是的必要不充分条件，故D正确；
故选：D.
【总结提升】
充分、必要条件的探求方法(与范围有关)
先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．
考点07 根据充要条件求参数
【典例15】（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 .
【答案】
【分析】解不等式，根据充要条件的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】解不等式得，
因为“不等式成立”的充要条件为“”，所以，解得，
所以，.
故答案为：.
【典例16】（2020秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设集合，；
(1)用列举法表示集合；
(2)若是的充要条件，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值.
【详解】（1）集合，
即；
（2）由已知，，
若是的充要条件，则，
，
.
考点08 既不充分也不必要条件
【典例17】（2023秋·天津南开·高一崇化中学校考期末）命题是命题的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【答案】C
【分析】判断是否成立，验证充分性；
判断是否成立验证必要性.
【详解】若则或者，所以得不到，即充分性不成立.
当时则所以必要性不成立.
故选：C
【典例18】（2022秋·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）设P，Q是非空集合，若甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据集合与集合之间的关系和充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】甲：若，则；
乙：若，则，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【总结提升】
1.基本方法：
（1）定义法：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的既不充分也不必要条件．
（2）集合法：充要关系可以从集合的观点理解，即M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
1．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
2．（2022·天津·统考高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数；即可选出答案.
【详解】当为整数时，必为整数；
当为整数时，比一定为整数，
例如当时，.
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2020·山东·统考高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
一、单选题
1．（2023春·青海海东·高一统考阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据集合之间的包含关系，可以判断充分条件与必要条件.
【详解】由，得，
因为区间真包含于，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：C
2．（2023·全国·高一课堂例题）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】C
【分析】由题意要选的是的真子集.
【详解】由得，
因为选项中只有，
故只有C选项中的条件是使不等式成立的一个充分不必要条件．
故选：C.
3.（2023·全国·高一课堂例题）“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】对充分性和必要性分别取特殊值进行否定即可.
【详解】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”，故充分性不满足；
必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”，故必要性不满足.
故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件.
故选：D
二、多选题
4．（2021·全国高一专题练习）命题“，”是真命题的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
先求得命题“，”是真命题时a的范围，再由充分条件的定义得出选项.
【详解】
当命题“，”是真命题时，只需，．又在上的最大值是，所以．因为，,
故选：AC．
5．（2023·江苏·高一假期作业）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．是的充要条件
B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．是的充要条件
D．是的必要条件
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质，结合充要条件的判断即可判.
【详解】∵若则，但当c＝0时，“”⇒“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
∵“是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
∵“”不一定得到“”，“”也不一定得到“”，故“”是“”的既不充分又不必要条件，故C为假命题；
∵，故“”是“”的必要不充分条件，故D为真命题．
故选：BD.
三、填空题
6．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到与的包含关系，从而得到答案.
【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，故.
故答案为：.
7．（2023·江苏·高一假期作业）“”是“”的 条件，“”是“”的 条件（用“充分”“必要”填空）．
【答案】 必要 充分
【分析】由于，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答.
【详解】由于，或，
所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件．
故答案为：必要；充分
8．（2023·江苏·高一假期作业）若a，b都是实数，试从①；②；③中分别选出适合下列条件者，用序号填空．
（ⅰ）a，b都为0的必要条件是 ；
（ⅱ）使a，b都不为0的充分条件是 ．
【答案】 ①② ③
【分析】①即为或，即a，b中至少有一个为0；②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由知a与b同号，即a，b都不为0.再根据充分条件和必要条件的定义即可作答
【详解】①即为或，即a，b中至少有一个为0；
②，即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；
③由知a与b同号，即a，b都不为0.
综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，
所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
故答案为：①②；③
9．（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解.
【详解】由，解得，记，
由，解得，记，
∵“”是“”的充分非必要条件，
∴真包含于，即，解得.
故答案为：
四、解答题
10．（2023秋·河南·高一校联考期末）已知，．
(1)若q是p的必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)若，且p，q至少有一个成立，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解出集合A，由p，q的推断关系得集合A，B的关系，得a的取值范围.
（2）求出p，q都不成立时a的取值范围，其补集即为所求.
【详解】（1）设，，
因为q是p的必要非充分条件，所以A是B的真子集，则，
所以实数a的取值范围为．
（2）当时，，，
当p，q都不成立时，
或，且或同时成立，
解得或，
故p，q至少有一个成立时，x的取值范围为．
11．（2023·全国·高一专题练习）设集合，命题，命题
(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；
（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.
【详解】（1）由条件， 是的充要条件，
得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，
所以，或，解得，
综上实数的取值范围是.
12．（2022秋·湖北·高一校联考阶段练习）在①充分而不必要，②必要而不充分，③充要，这三个条件中任选一个条件补充到下面问题中，若问题中的实数存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，非空集合.是否存在实数，使得是的__________条件？
【答案】答案见解析
【分析】选择条件①，根据是的真子集列不等式求解；选择条件②：根据是的真子集列不等式求解；选择条件③：根据列方程组求解.
【详解】因为集合非空，所以，
选择条件①：
因为是的充分而不必要条件，所以是的真子集，
所以（两个等号不同时取到），
解得，
故实数的取值范围是.
选择条件②：
因为是的必要而不充分条件，所以是的真子集，
所以有且（两个等号不同时取到），
解得.
综上，实数的取值范围是.
选择条件③：
因为是的充要条件，所以有且，
即，此方程组无解，
则不存在实数，使得是的充要条件.