高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀课时练习

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知识点一
重要不等式
当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
知识点二
基本不等式
1.当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．
2.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
知识点三
基本不等式与最值
已知x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．
特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！
知识点四
常用推论
（1）（）
（2）（，）；
（3）
考点01 利用基本不等式证明不等式
【典例1】（2023秋·高一课时练习）下面四个推导过程正确的有（ ）
A．若a，b为正实数，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）设，，均为正数，且，证明：
(1)；
(2).
【规律方法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
考点02 “定和”条件下求最值
【典例3】（2022秋·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．9C．D．
【典例4】【多选题】（2023秋·高一单元测试）设正实数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为4
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知，求的最大值.
【规律方法】
1.“定和”求最值有如下情形：一是条件直接给出和为定值；二是“配凑”可出现和为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．“配凑”方法下，常数代换求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．
3．常数代换求解最值应注意的问题
(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；
(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；
(3)利用基本不等式求最值时，注意基本不等式的前提条件．
考点03 “定积”条件下求最值
【典例6】（2022秋·陕西西安·高一校考期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【典例7】（2022秋·浙江台州·高一校联考期中）若，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例8】（2023秋·高一课时练习）设，则的最小值是 ．
【规律方法】
1．“定积”求最值有如下情形：一是条件直接给出积为定值；二是可“配凑”可出现积为定值.从所求最值的表达式看又有两种情形，即求“积”的最值和求“和”的最值.
2．技巧：观察积与和哪个是定值，不满足形式的可以进行拼凑变形；与函数有关的题型还会用到配系数法、正负变法、添项法、拆项法等．
3. 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
4.利用基本不等式求最值时，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
考点04 “和、积关系”条件下求最值
【典例9】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【典例10】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【总结提升】
1. 结合基本不等式，通过“放缩”“化积为和”，构建关于目标的不等式，解不等式求得最值或范围；
2.变换已知等式，转化成“和”为定值；
3.注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
考点05 “平方关系”条件下求最值
【典例11】（2023·江苏常州·校考一模）设，，且，则当取最小值时，______.
【典例12】（2023·辽宁大连·统考三模）已知，且，则的最小值为__________.
【总结提升】
1.直接利用等不等式放缩，如例5-1，要特别注意，逐次放缩下等号成立条件一致；
2. 应用换元法.常见代数换元和三角换元两种.（1）代数换元：先对等式进行拆、拼、凑等变形，再进行换元，利用函数、导数确定单调性进而求解最值；（2）三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解，如例5-1；
3．应用“消元法”.对含有多元变量的函数求最值时，通常要减少变量的个数加以转化，如例5-2.
考点06 基本不等式的实际应用
【典例13】（2023秋·高一课时练习）要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（ ）
A．50B．
C．D．100
【典例14】（2022秋·广东梅州·高一校考期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长.当这个矩形的长（平行于墙面的边）为 时，菜园的面积最大，最大面积是 .
【规律方法】
1.用基本不等式解决实际问题步骤：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
考点07 解答不等式恒成立问题
【典例15】（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例16】（2022秋·江西南昌·高一校考期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
1．（2008·浙江·高考真题）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为 ．
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知，则的最小值是 ．
一、单选题
1（2023秋·高一课时练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
3．（2023秋·高一课时练习）若，则的最小值为（ ）
A．3B．－3
C．4D．－4
4．（2023秋·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．6
二、多选题
5．（2022秋·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）下列函数的最小值为的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023秋·高一课时练习）若，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋·高一单元测试）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）
A． B．
C．2D．
三、填空题
8．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
9．（2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知两个正实数x，y满足，则的最小值是 ．
10．（2023秋·高一单元测试）已知对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为 ．
四、解答题
11．（2023秋·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
12．（2023春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考阶段练习）若正数a，b，c满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.