高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优秀当堂达标检测题

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知识点一
指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.
【特别提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
知识点二
指数函数的图象和性质
知识点三
常用结论
（1）指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
考点01 指数函数的判断与求值
【典例1】（2023秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
【分析】由函数是上的偶函数与的图象关于点对称可得出函数的周期，根据时的表达式可求解出一个周期的函数值，从而解出本题.
【详解】解：因为函数是上的偶函数，
所以，
因为的图象关于点对称，
所以，即，
所以，
所以，
所以函数是上周期为4的函数，
当时，，
所以，，
又，，
所以，
所以.
故选：D.
【典例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则 .
【答案】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
考点02 根据指数函数求参数
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）若函数为指数函数，则（ ）
A．或B．且
C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.
【详解】因为函数为指数函数，
则，且，解得，
故选：C
【典例4】（2023·高一课时练习）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值．
【答案】1
【分析】根据函数为指数函数，则，，则得到的值.
【详解】因为函数是指数函数，所以．
由是指数函数，得．所以．
考点03 求指数函数的解析式
【典例5】（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】B
【分析】根据题意，由求得函数解析式求解.
【详解】解：因为函数的图象经过，
所以，解得 ，
所以，
则，
故选：B
【典例6】（2023春·河南商丘·高二校联考阶段练习）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】，指数函数满足，又当时，，可得，写出一个函数表达式即可.
【详解】由，知且满足该条件；
又当时，，可得，故可以为.
故答案为：
考点04 指数（型）函数图象的辨识
【典例7】（2022秋·陕西延安·高一校考期末）函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性定义判断，可排除选项B，D，再根据函数与轴交点个数，即可判断.
【详解】解：函数的定义域为，所以，即函数为偶函数，故选项B，D不符合；
又，解得，所以函数与轴只有一个交点，故A符合，C不符合.
故选：A.
【典例8】（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．
【详解】因为
又，
根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；
时，函数为减函数，排除A．
故选：C．
【规律方法】
识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； = 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； = 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复； = 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． = 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
考点05 指数函数图象过定点问题
【典例9】（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．
【详解】
当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
由图可知，大于1，，大于0小于1．
又由图可知，即．，即．
，，，与1的大小关系是．
故选：．
【典例10】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据得出指数型函数恒过定点.
【详解】令，得，则.
所以函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：.
【规律方法】
过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
考点06 指数函数图象的应用
【典例11】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【典例12】（2023·全国·高一专题练习）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论交点的情况即可.
【详解】
当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾；
当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图（2）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，＜a＜1.
故答案为：.
考点07 指数（型）函数的定义域、值域
【典例13】（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.
【详解】令，则，
由题知，，解得或，
即或，解得或.
故选：D
【典例14】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)定义域为；值域为
(2)定义域为；值域为
【分析】（1）根据二次根式和指数函数的性质进行求解即可；
（2）根据指数函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）要使函数式有意义，则，即．
因为函数在上是增函数，所以．
故函数的定义域为，
因为，所以，所以，
所以，即函数的值域为；
（2）定义域为，
因为，
所以，
又，所以函数的值域为．
【总结提升】
形如y＝af (x)的函数的值域，可先求f (x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af (x)的值域．
考点08 根据指数（型）函数的定义域、值域（最值）求参数
【典例15】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
【典例16】（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.
【答案】
【分析】，令，再根据二次函数的性质即可得解.
【详解】，
令，函数 在上是单调减函数，∴，
的对称轴为，
∴当时，，即
当时，，即，
∴在上的值域为.
【总结提升】
复合函数问题，往往利用换元法，即把指数式看做一个变量，将问题加以转化.如【典例16】.
考点09 指数（型）函数的单调区间
【典例17】【多选题】（2023秋·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．的单调递增区间为
C．的最小值为3D．的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据函数定义域判断A，根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断B、C，根据函数的对称性判断D.
【详解】易知函数的定义域为，选项A正确；
由与复合，而为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为单调递减区间，
函数的单调递增区间为单调递增区间，选项B正确；
由选项B可知，故选项C错误；
因为，所以的图象关于对称.故选项D正确.
故选：ABD.
【典例18】（2022秋·浙江·高一校联考期中）写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数： ；的单调递减区间为 ．
【答案】 和（答案不唯一）
【分析】（1）本题属于开放性问题，只需选择符合要求的解析式即可，不妨取两个单调性不同的指数函数；
（2）根据复合函数的单调性规则计算可得.
【详解】解：不妨取和，
因为函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递增，
函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递减，符合题意；
对于函数，令，即，解得或，
所以函数的的定义域为，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递减区间为.
故答案为：和（答案不唯一）；
【总结提升】
复合函数的单调性遵循“同增异减”.
考点10 根据函数的单调性、奇偶性求参数
【典例19】（2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知为奇函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义，结合恒等式知识求解．
【详解】由为奇函数，
得
.
因为不恒为0，所以，即，
所以，即.
故选：D．
【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.
【详解】∵满足对任意，都有成立，
∴在上是减函数，，解得，
∴a的取值范围是.
故选：C．
考点11 指数（型）函数单调性应用
【典例21】（安徽省部分学校2023-2024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.
【详解】因为，且是R上的增函数，
故，又，
故．
故选：D
【典例22】（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求，，；
(3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式．
【答案】(1)
(2)，，
(3)作图见解析，．
【分析】设函数，且，把点代入即可求得的值，进而可得函数的解析式．
根据函数的解析式求得、、的值．
画出指数函数的图象，由不等式，可得，由此解得的范围．
【详解】（1）设函数，且，
把点代入可得，求得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）可知，所以，，．
（3）画出指数函数的图象如下图所示：

所以函数在上单调递增；
由不等式，
可得，解得，
故不等式的解集为．
【总结提升】
比较大小问题：底数相同，指数不同：借助指数函数单调性进行比较；底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；底数不同，指数不同：常找到一个中间值，通过比较函数值与中间值的大小进行判断．
考点12 指数（型）函数综合问题
【典例23】（2023秋·上海松江·高一校考期末）设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)证明见解析；
(2)上的增函数，证明见解析.
【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；
（2）任取，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
由于，
所以函数是奇函数.
（2）当时，函数为上的增函数.
当时，，
任取，且，则
，
由，得，则，即，
所以函数为上的增函数.
【典例24】（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数（，且）是奇函数，且．
(1)求，的值；
(2)若对于，不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据函数是奇函数求，再代入，求；
（2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为，转化为求函数的最小值问题.
【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，
即，得，
所以，，得或（舍），
综上，，；
（2）由（1）知，，
则恒成立，
，，
所以，对恒成立，
即恒成立，
设，函数由外层函数和内层函数复合而成，
当，，单调递增，当，单调递增，
所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为，
即，则.
【总结提升】
指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
专题4.2 指数函数
知识点一
指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.
【特别提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
知识点二
指数函数的图象和性质
知识点三
常用结论
（1）指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
考点01 指数函数的判断与求值
【典例1】（2023秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
【分析】由函数是上的偶函数与的图象关于点对称可得出函数的周期，根据时的表达式可求解出一个周期的函数值，从而解出本题.
【详解】解：因为函数是上的偶函数，
所以，
因为的图象关于点对称，
所以，即，
所以，
所以，
所以函数是上周期为4的函数，
当时，，
所以，，
又，，
所以，
所以.
故选：D.
【典例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则 .
【答案】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
则.
故答案为：
考点02 根据指数函数求参数
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）若函数为指数函数，则（ ）
A．或B．且
C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.
【详解】因为函数为指数函数，
则，且，解得，
故选：C
【典例4】（2023·高一课时练习）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值．
【答案】1
【分析】根据函数为指数函数，则，，则得到的值.
【详解】因为函数是指数函数，所以．
由是指数函数，得．所以．
考点03 求指数函数的解析式
【典例5】（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（ ）
A．B．C．3D．9
【答案】B
【分析】根据题意，由求得函数解析式求解.
【详解】解：因为函数的图象经过，
所以，解得 ，
所以，
则，
故选：B
【典例6】（2023春·河南商丘·高二校联考阶段练习）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】，指数函数满足，又当时，，可得，写出一个函数表达式即可.
【详解】由，知且满足该条件；
又当时，，可得，故可以为.
故答案为：
考点04 指数（型）函数图象的辨识
【典例7】（2022秋·陕西延安·高一校考期末）函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性定义判断，可排除选项B，D，再根据函数与轴交点个数，即可判断.
【详解】解：函数的定义域为，所以，即函数为偶函数，故选项B，D不符合；
又，解得，所以函数与轴只有一个交点，故A符合，C不符合.
故选：A.
【典例8】（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．
【详解】因为
又，
根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；
时，函数为减函数，排除A．
故选：C．
【规律方法】
识图的三种常用方法
（1）抓住函数的性质，定性分析：
= 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； = 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； = 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复； = 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． = 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
= 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
= 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
考点05 指数函数图象过定点问题
【典例9】（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数的单调性分析得到，大于1，，大于0小于1，再通过取得到具体的大小关系．
【详解】
当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，
当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，
由图可知，大于1，，大于0小于1．
又由图可知，即．，即．
，，，与1的大小关系是．
故选：．
【典例10】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据得出指数型函数恒过定点.
【详解】令，得，则.
所以函数（且）的图象恒过定点.
故答案为：.
【规律方法】
过定点的图象
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）；
(2) 与的图象关于y轴对称；
(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．
考点06 指数函数图象的应用
【典例11】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】
因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
【典例12】（2023·全国·高一专题练习）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论交点的情况即可.
【详解】
当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾；
当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图（2）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，＜a＜1.
故答案为：.
考点07 指数（型）函数的定义域、值域
【典例13】（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.
【详解】令，则，
由题知，，解得或，
即或，解得或.
故选：D
【典例14】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域和值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)定义域为；值域为
(2)定义域为；值域为
【分析】（1）根据二次根式和指数函数的性质进行求解即可；
（2）根据指数函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）要使函数式有意义，则，即．
因为函数在上是增函数，所以．
故函数的定义域为，
因为，所以，所以，
所以，即函数的值域为；
（2）定义域为，
因为，
所以，
又，所以函数的值域为．
【总结提升】
形如y＝af (x)的函数的值域，可先求f (x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af (x)的值域．
考点08 根据指数（型）函数的定义域、值域（最值）求参数
【典例15】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.
【详解】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，
所以，得，
所以实数的取值范围是，
故选：D.
【典例16】（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.
【答案】
【分析】，令，再根据二次函数的性质即可得解.
【详解】，
令，函数 在上是单调减函数，∴，
的对称轴为，
∴当时，，即
当时，，即，
∴在上的值域为.
【总结提升】
复合函数问题，往往利用换元法，即把指数式看做一个变量，将问题加以转化.如【典例16】.
考点09 指数（型）函数的单调区间
【典例17】【多选题】（2023秋·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．的单调递增区间为
C．的最小值为3D．的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据函数定义域判断A，根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断B、C，根据函数的对称性判断D.
【详解】易知函数的定义域为，选项A正确；
由与复合，而为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为单调递减区间，
函数的单调递增区间为单调递增区间，选项B正确；
由选项B可知，故选项C错误；
因为，所以的图象关于对称.故选项D正确.
故选：ABD.
【典例18】（2022秋·浙江·高一校联考期中）写出定义域和值域都相同，但单调性不相同的两个单调函数： ；的单调递减区间为 ．
【答案】 和（答案不唯一）
【分析】（1）本题属于开放性问题，只需选择符合要求的解析式即可，不妨取两个单调性不同的指数函数；
（2）根据复合函数的单调性规则计算可得.
【详解】解：不妨取和，
因为函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递增，
函数的定义域为，值域为，在定义域上单调递减，符合题意；
对于函数，令，即，解得或，
所以函数的的定义域为，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即的单调递减区间为.
故答案为：和（答案不唯一）；
【总结提升】
复合函数的单调性遵循“同增异减”.
考点10 根据函数的单调性、奇偶性求参数
【典例19】（2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知为奇函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义，结合恒等式知识求解．
【详解】由为奇函数，
得
.
因为不恒为0，所以，即，
所以，即.
故选：D．
【典例20】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.
【详解】∵满足对任意，都有成立，
∴在上是减函数，，解得，
∴a的取值范围是.
故选：C．
考点11 指数（型）函数单调性应用
【典例21】（安徽省部分学校2023-2024学年高二上学期阶段性测试（一）数学试题）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.
【详解】因为，且是R上的增函数，
故，又，
故．
故选：D
【典例22】（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求，，；
(3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式．
【答案】(1)
(2)，，
(3)作图见解析，．
【分析】设函数，且，把点代入即可求得的值，进而可得函数的解析式．
根据函数的解析式求得、、的值．
画出指数函数的图象，由不等式，可得，由此解得的范围．
【详解】（1）设函数，且，
把点代入可得，求得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）可知，所以，，．
（3）画出指数函数的图象如下图所示：

所以函数在上单调递增；
由不等式，
可得，解得，
故不等式的解集为．
【总结提升】
比较大小问题：底数相同，指数不同：借助指数函数单调性进行比较；底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断；底数不同，指数不同：常找到一个中间值，通过比较函数值与中间值的大小进行判断．
考点12 指数（型）函数综合问题
【典例23】（2023秋·上海松江·高一校考期末）设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)证明见解析；
(2)上的增函数，证明见解析.
【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立；
（2）任取，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数.
【详解】（1）当时，函数的定义域为，
由于，
所以函数是奇函数.
（2）当时，函数为上的增函数.
当时，，
任取，且，则
，
由，得，则，即，
所以函数为上的增函数.
【典例24】（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数（，且）是奇函数，且．
(1)求，的值；
(2)若对于，不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据函数是奇函数求，再代入，求；
（2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为，转化为求函数的最小值问题.
【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，
即，得，
所以，，得或（舍），
综上，，；
（2）由（1）知，，
则恒成立，
，，
所以，对恒成立，
即恒成立，
设，函数由外层函数和内层函数复合而成，
当，，单调递增，当，单调递增，
所以根据复合函数的单调性可知，函数单调递增，最小值为，
即，则.
【总结提升】
指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
3.（2008·安徽·高考真题）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（ ）
A．f（2）C．f（2）【答案】D
【分析】根据函数奇偶性得，进而得，从而利用函数的单调性及正负可比较大小.
【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,
，
由，得，
，
，
解方程组得，
易知在上单调递增，所以，
又
所以.
故选：D
一、单选题
1.（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设，且，则=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求得函数，结合指数幂的运算，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：B.
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是奇函数，
由于，所以在上单调递增.
故选：A
3．（2023春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，解之即可得解.
【详解】因为函数是上的单调递增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
4.（2023·全国·高一专题练习）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】函数的图象与轴有交点转化成函数有解，即函数的值域问题求解．
【详解】函数的图象与轴有交点，
有解，
，
，
，则实数的取值范围是.
故选：A．
5.（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．e
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.
【详解】为奇函数，即，
所以关于中心对称，则，
为偶函数，即，
所以，
故，即是周期为8的周期函数，
所以，
故选：C
二、多选题
6．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．
【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.
故选：AC.
7．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象即可完成判断.
【详解】在同一直角坐标系中作出和的图象以及平行于x轴的直线如下：

则时，的关系有三种可能，分别是：，，.
故选：BCD
8．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数是奇函数D．函数在上为减函数
【答案】ABC
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，由
，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，所以C正确；
D：因为函数是增函数，因为，
所以函数是减函数，
所以函数是增函数，
故是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
三、填空题
9．（2022·上海·高一专题练习）已知指数函数（其中）在闭区间上的最大值比最小值大，则实数 ．
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性求出函数的最值即可得解．
【详解】解：∵，
∴指数函数（其中）在闭区间上单调递增，
所以，
则，
解得（舍去），
故答案为：．
10.（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知函数，则的值域为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性求解即可.
【详解】当时，；
当时，，
根据指数的性质可得，即.
综上所述，的值域为.
故答案为：.
四、解答题
11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，且的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由，求得，从而可得答案；
（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.
【详解】（1）的图象过点，
，
又
（2）在R上单调递增
.
12.（2022秋·山东淄博·高一统考期末）已知函数，其中且．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)为偶函数
(3)
【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域；
（2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性；
（3）由为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，由此求解出的取值范围.
【详解】（1）解：由，解得，
∴函数的定义域为；
（2）解：为偶函数，
的定义域为关于原点对称，
且
，
∴函数为偶函数；
（3）解：因为为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，
即在上恒成立，
∴在上恒成立，∴，
故实数的取值范围是.
3.（2008·安徽·高考真题）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（ ）
A．f（2）C．f（2）【答案】D
【分析】根据函数奇偶性得，进而得，从而利用函数的单调性及正负可比较大小.
【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,
，
由，得，
，
，
解方程组得，
易知在上单调递增，所以，
又
所以.
故选：D
一、单选题
1.（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设，且，则=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求得函数，结合指数幂的运算，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
因为，可得，解得，即，
所以.
故选：B.
2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性确定正确答案.
【详解】的定义域为，
，所以是奇函数，
由于，所以在上单调递增.
故选：A
3．（2023春·江苏盐城·高一盐城市大丰区新丰中学校考开学考试）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，解之即可得解.
【详解】因为函数是上的单调递增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
4.（2023·全国·高一专题练习）若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】函数的图象与轴有交点转化成函数有解，即函数的值域问题求解．
【详解】函数的图象与轴有交点，
有解，
，
，
，则实数的取值范围是.
故选：A．
5.（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知的定义域为为奇函数，为偶函数，若当时，，则（ ）
A．B．0C．1D．e
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.
【详解】为奇函数，即，
所以关于中心对称，则，
为偶函数，即，
所以，
故，即是周期为8的周期函数，
所以，
故选：C
二、多选题
6．（2023秋·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．
【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.
故选：AC.
7．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象即可完成判断.
【详解】在同一直角坐标系中作出和的图象以及平行于x轴的直线如下：

则时，的关系有三种可能，分别是：，，.
故选：BCD
8．（2023秋·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．函数的值域为
C．函数是奇函数D．函数在上为减函数
【答案】ABC
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以，所以函数的定义域为，故A正确；
B：，由
，
所以函数的值域为，故B正确；
C：因为，
所以函数是奇函数，所以C正确；
D：因为函数是增函数，因为，
所以函数是减函数，
所以函数是增函数，
故是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
三、填空题
9．（2022·上海·高一专题练习）已知指数函数（其中）在闭区间上的最大值比最小值大，则实数 ．
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性求出函数的最值即可得解．
【详解】解：∵，
∴指数函数（其中）在闭区间上单调递增，
所以，
则，
解得（舍去），
故答案为：．
10.（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知函数，则的值域为 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性求解即可.
【详解】当时，；
当时，，
根据指数的性质可得，即.
综上所述，的值域为.
故答案为：.
四、解答题
11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，且的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由，求得，从而可得答案；
（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.
【详解】（1）的图象过点，
，
又
（2）在R上单调递增
.
12.（2022秋·山东淄博·高一统考期末）已知函数，其中且．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)为偶函数
(3)
【分析】（1）根据分式分母不为零求解出的范围即为定义域；
（2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到与的关系即可判断奇偶性；
（3）由为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，由此求解出的取值范围.
【详解】（1）解：由，解得，
∴函数的定义域为；
（2）解：为偶函数，
的定义域为关于原点对称，
且
，
∴函数为偶函数；
（3）解：因为为偶函数，则恒成立等价于当时恒成立，
即在上恒成立，
∴在上恒成立，∴，
故实数的取值范围是.y＝ax
a>1
0图象
性质
函数的定义域为eq \a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq \a\vs4\al(0)时，y＝eq \a\vs4\al(1)
当x>0时，恒有y>1；
当x>0时，恒有0当x<0时，恒有0当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数
y＝ax
a>1
0图象
性质
函数的定义域为eq \a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq \a\vs4\al(0)时，y＝eq \a\vs4\al(1)
当x>0时，恒有y>1；
当x>0时，恒有0当x<0时，恒有0当x<0时，恒有y>1
函数在定义域R上为增函数
函数在定义域R上为减函数