人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念优秀精练

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知识点一
任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f (y,x)(x≠0)．
拓展：任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，
则sin α＝eq \f (y,r)，cs α＝eq \f (x,r)，tan α＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点二
单位圆与三角函数
几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
知识点三
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
知识点四
公式一
知识点五
特殊角的三角函数值
知识点六
重要结论
(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=sinαcsα;形如asinx+bcsxcsinx+dcsx,等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法: 等.
(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.
考点01 三角函数的定义及其应用
【典例1】（2023下·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义求值即可.
【详解】设，则点到原点的距离为，
则.
故选：D.
【典例2】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知是角的终边上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可.
【详解】由三角函数的定义知:
，
所以.
故选：A.
【总结提升】
(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
考点02 由终边或终边上的点求三角函数值
【典例3】（2023上·天津红桥·高一天津市第五中学校考阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的定义即可得解.
【详解】因为，所以，
因为角的终边上有一点的坐标是，
所以.
故选：D.
【典例4】（2023上·高一课时练习）已知角的终边落在射线上，求的值．
【答案】
【分析】根据角的终边所在位置，在终边上取一点利用三角函数定义即可求得角的三角函数值.
【详解】射线经过第二象限，在射线上的取点，
即角的终边经过点，则，
利用三角函数定义可得，，；
所以.
【规律方法】
)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．
方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
考点03 利用三角函数定义求参数
【典例5】（2023上·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．4B．C．-1D．
【答案】C
【分析】根据公式，即可得到本题答案.
【详解】由已知，得，解得.
因为，所以，则.
故选：C
【典例6】．（2022上·广东茂名·高一统考期末）若角的终边经过点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，解得（舍去），
所以.
故答案为：.
考点04 公式一及特殊角的函数值
【典例7】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一校联考期中）求的值.
【答案】
【分析】根据公式一化简条件，结合特殊角三角函数值求解；
【详解】
【典例8】（2022·全国·高一专题练习）计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值，即可解出；
（2）利用指数幂的运算及绝对值的意义，特殊三角函数值，即可解出.
【详解】（1）
；
（2）.
【规律方法】
利用终边相同的角的三角函数值相等，可将角的函数值计算加以转化．
考点05 单位圆及其应用
【典例9】（2023下·北京·高一北京四中校考期中）若，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，在坐标系画出单位圆，并且作出角的正弦线、余弦线和正切线，再由的范围比较三角函数线的大小即可.
【详解】由三角函数线定义作出如图：
是角的终边，圆是单位圆，
则，，，
，
，即.
故选：D
【典例10】（2023·高一课时练习）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可.
【详解】如图所示，
在单位圆中，设，则，，，
由图形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以为分界线，当时，即，当时，即；综上在第一象限无解；
由图形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限无解；
由图形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限无解；
有图形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以 在第四象限的解为，
综上在的解集为，
故选：C
【方法技巧】
三角函数线可帮助比较三角函数值的大小.
考点06 各象限三角函数值的符号
【典例11】（2023上·全国·高一专题练习）确定下列三角函数的符号：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据角的终边所在象限或坐标轴求得正确答案.
【详解】（1）是第三象限角，所以.
（2）是第四象限角，所以.
（3）是第一象限角，所以.
（4）角的终边在轴的负半轴，所以.
【典例12】（2023·全国·高一随堂练习）确定下列各式的符号：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用三角函数在各象的正负情况即可得解.
【详解】（1）因为，所以是第二象限角，
所以，故.
（2）因为，所以是第二象限角，则，
因为，所以是第三象限角，则，
因为，所以是第四象限角，则，
故.
【规律方法】
已知一角的三角函数值sinα，csα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．
考点07 根据三角函数值的符号确定角的范围
【典例13】（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）已知，，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据所给条件得到、，，即可判断.
【详解】因为，即，
又，所以，即，所以，
所以角的终边在第三象限.
故选：C
【典例14】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据三角函数符号判断即可.
【详解】充分性：由可知，
由可知或，
综上，，即为第三象限角.
必要性：若为第三象限角，则且.
所以“且”是“为第三象限角”的充要条件.
故选：A
考点08 同角公式的基本应用
【典例15】（2023上·上海松江·高三校考期中）已知，且，则的值为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系即可得到答案.
【详解】由题意得，
则，
故选：A.
【典例16】（2023·全国·高三专题练习）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
【规律方法】
1.知弦求弦：利用诱导公式及平方关系求解；在使用开平方关系sinα＝±eq \r(1－cs2α)和csα＝±eq \r(1－sin2α)时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
2.知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cs α，sin α·cs α建立联系，注意商数关系及的灵活应用；
3.知切求弦：先利用商数关系变形得出sin α或cs α表达式，然后利用平方关系求解.
利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
考点09 三角函数式的化简、求值
【典例17】（2023上·全国·高一专题练习）已知是方程的两根，则 .
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与关系，结合同角的三角函数关系式进行化简即可.
【详解】，
因为是方程的两根，
所以，
因此，
所以
故答案为：
【典例18】（2023上·江苏·高一专题练习）化简：
(1)－；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)1
(3)．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系进行化简；
（2）利用完全平方公式和同角三角函数基本关系进行求解；
（3）利用同角三角函数的基本关系进行化简.
【详解】（1）原式＝.
（2）原式＝
（3）原式＝
【规律方法】
三角函数式化简的方法和技巧：
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③弦切互化； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④1的代换．
考点10 sinαcsα与sinαcsα的关系及应用
【典例19】【多选题】（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）已知，且 ，则( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】结合同角三角函数基本关系运算即可得到.
【详解】由，
则，
即，故B正确；
又，
所以，，
故为第二象限角，
则，
，
则，故D正确,C错误；
又，
即有，，
又，故，故A正确.
故选：ABD.
【典例20】（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）（1）已知，且，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）确定，则，计算即可.
（2）平方，再利用齐次式得到，解得答案.
【详解】（1），则，
则.
（2），，
则，即，
，解得或.
【总结提升】
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
考点11 正弦、余弦齐次式的计算
【典例21】（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．或1D．或1
【答案】B
【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可求得的值.
【详解】因为
，解得.
故选：B.
【典例22】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
【规律方法】
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是将分子、分母同除以csα(或cs2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代换，分子、分母同除以cs2α再求解．
考点12 利用同角公式求参数
【典例23】（2022上·广东深圳·高一深圳中学校考期末）已知，是关于x的方程的两根，则实数 ．
【答案】
【分析】利用韦达定理列出关于m的方程，再利用同角之间的基本关系，即可求解．
【详解】由，是关于的方程的两根，所以，
由，可得，则，
经检验符合题意，所以实数的值为.
故答案为：
【典例24】（2023上·江苏扬州·高三仪征中学校考开学考试）已知，，且为第二象限角，则 .
【答案】/
【分析】根据三角函数值在各象限内的符号可求得范围，由同角三角函数平方关系可构造方程求得的值，由此可得，根据同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】为第二象限角，，解得：或；
，即，
，解得：（舍）或，
，，.
故答案为：.
考点13 利用同角公式证明恒等式
【典例25】（2023·全国·高一随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】证明见解析
【分析】根据同角关系即可化简求解.
【详解】（1）左边==右边，故得证，
（2）左边==右边，故得证，
（3）左边==右边，故得证，
（4）左边==右边，故得证
【典例26】（2023·全国·高一随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】证明见解析.
【分析】（1）利用平方差公式及证明.
（2）利用提取公因式及证明.
（3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明.
【详解】（1）.
故成立.
（2）

故成立.
（3）
.
故成立.
【规律方法】
三角恒等式证明问题：
(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
1.（2018·北京·高考真题（文））在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.
A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.
2.（2023·全国·统考高考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
3．（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
【答案】（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
一、单选题
1.（2023上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由诱导公式计算即可.
【详解】由题意.
故选：D.
2.（2021·高一课时练习）如图所示，直线l的倾斜角为，且与单位圆交于P，Q两点，则点P的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求解，即可得出答案.
【详解】设，由三角函数的定义可得，.
故选：B
3．（2023上·广西·高一校联考阶段练习）若角终边经过点，则的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】利用任意角三角函数的定义以及同角三角函数关系求解.
【详解】因为角终边经过点，所以，
所以
，
故选：C.
二、多选题
4．（2023下·广东·高二校联考期末）在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意可得，再结合和已知条件可求出.
【详解】因为点绕点O逆时针旋转后到达点，
所以，
因为，所以，
则由，解得，或，
所以可以取或，
故选：AD
5．（2023上·重庆·高一统考期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．为第二象限角B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.
【详解】由同角三角函数平分关系可得，
，因为，所以，解得，,
因为，所以是第二象限角，故选项，正确，
有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，
因为，故选项正确.
故选：.
三、填空题
6．（2022上·河北邯郸·高一校考期末）已知角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则 ．
【答案】
【分析】根据条件，得到，再利用“齐次式”即可求出结果.
【详解】因为终边落在直线上，即，且，
则，所以，
故答案为：
7．（2023·全国·高一随堂练习）已知角的终边经过点，则 ， ．
【答案】
【分析】根据三角函数定义即可得到答案.
【详解】由已知得，
所以 .
故答案为：；.
8.（2023上·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的平方关系化简可得出所求代数式的值.
【详解】因为，显然，
则
.
故答案为：.
四、解答题
9．（2023下·高一课时练习）利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合：
(1)且；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据且作出正弦线为和余弦线为的图象，取其交集即可求得结果；
（2）根据正切线定义作出图象，即可得出解集.
【详解】（1）分别作出三角函数线图象如下所示：

由图（1）知当且时，
角满足的集合.
（2）由图（2）知：当时，
角满足的集合，
即；
所以的解集为.
10．（2020下·高一课时练习）已知，化简：.
【答案】
【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系进行化简，再结合已知角的范围，比较出大小关系进行化简即可.
【详解】
因为，所以，
所以原式.
故答案为：
11．（2023·全国·高一随堂练习）化简．
(1);
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由同角的平方关系即可得到结果；
（2）根据题意，由同角的商关系，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由同角的平方关系可得，.
(2)原式
12．（2023下·山东潍坊·高一校考阶段练习）（1）若，化简：；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由已知，结合平方关系式及角的范围化简计算即可；
（2）利用切化弦公式化简等式的左边得到右边.
【详解】（1）原式
，
因为，所以，原式.
（2）证明：.