人教B版 (2019)必修 第一册1.1.1 集合及其表示方法精品第1课时课后练习题

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一、单选题
1. （2022秋·河南郑州·高一校考阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（ ）
A．所有很大的实数组成的集合
B．满足不等式x+1<2的所有整数解组成的集合
C．所有大于−4的偶数组成的集合
D．所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合
【解析】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误；
B：满足不等式x+1<2的所有整数解为有限集−1,0,1,2，错误；
C：所有大于−4的偶数组成的集合为{a|a=2n,n>−2,n∈Z}，为无限集，正确；
D：所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误.
故选：C
2. （2023·河北·高三学业考试）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．所有直角三角形B．抛物线y=x2上的所有点
C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近的所有实数
【解析】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．
故选：D．
3. （2022秋·山西·高二校联考期末）已知集合A中元素x满足2x−a>0，且1∉A,2∈A，则（ ）
A．B．a≤2C．2【解析】∵1∉A，∴2×1−a≤0，解得a≥2，
又∵2∈A，∴2×2−a>0，解得a<4，
∴2≤a<4．
故选：D．
4. （2023·全国·高一假期作业）给出下列关系：①12∈R；②2∉R；③−3∈N；④−3∈Q．其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】12是有理数，2是无理数，均为实数，①正确，②错误；
−3=3，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
5. （2021·高一课时练习）由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（ ）
A．1B．－2C．－1D．2
【解析】由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1，
结合选项知C正确，
故选：C.
6. （2023·高一课时练习）以方程x2+x−2=0和的解为元素的集合含有的元素个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解析】解方程x2+x−2=0，得x1=−2,x2=1，解方程2x2+x−3=0，得x3=−32,x4=1，
所以以两个方程的解为元素的集合含有的元素个数是3，C正确.
故选：C
二、多选题
7. （2023·全国·高一假期作业）（多选）给出下列关系中正确的有（ ）
A．13∈R B．3∈Q C．−3∉Z D．−3∉N
【解析】因为13∈R，3∉Q，−3∈Z，−3∉N，
所以AD正确.
故选：AD.
8.（2023·全国·高一假期作业）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a∈Z，则−a∈Z
B．R中最小的元素是0
C．的近似值的全体构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
【解析】若a∈Z，则－a也是整数，即−a∈Z，故A正确；
因为实数集中没有最小的元素，所以B错误；
因为“3的近似值”不具有确定性，所以不能构成集合，故C错误；
同一集合中的元素是互不相同的，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
9.（2022秋·贵州铜仁·高一校考阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有___________（填序号）．
①所有的好人；
②平面上到原点的距离等于2的点；
③正三角形；
④比较小的正整数；
⑤满足不等式的的取值．
【解析】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确，
故答案为：②③⑤.
10. （2023·江苏·高一假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为________．
【解析】因为2∈A，所以a=2或a2=2，即a=2或a=±2.
故答案为：2或±2
11.（2021·高一课前预习）如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是________．
【解析】由集合元素的互异性可得x2−x≠x，解得x≠0且x≠2.
故答案为：x≠0且x≠2.
四、解答题
12. （2022秋·黑龙江鸡西·高一鸡西市第四中学校考阶段练习）已知方程．
(1)若方程的解集为，求实数a，b满足的关系式；
(2)若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值
【解析】由韦达定理可解.
（1）若方程的解集为∅，则方程x2+ax+b=0无实数解，
所以Δ=a2−4b<0，即实数a，b满足a2−4b<0
（2）
由题意可知1，3是方程x2+ax+b=0的两根，
由韦达定理有1+3=−a1×3=b，即a=−4,b=3
13. （2022秋·重庆万州·高一校考阶段练习）设是实数集，满足若，则，，且.
(1)若，则集合中至少还有几个元素?求出这几个元素.
(2)集合中能否只含有一个元素?请说明理由.
【解析】（1）∵2∈A，∴11−a=11−2=−1∈A，11−a=11−(−1)=12∈A，11−a=11−12=2∈A，
因此A中至少还有两个元素：−1和12；
（2）不能.用反证法证明：
如果集合A中只含有一个元素，则a=11−a，整理得a2−a+1=0，该方程无实数解，故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素
14. （2022·高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)北京各区县的名称；
(2)尾数是5的自然数；
(3)我们班身高大于1.7m的同学．
【解析】（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；
（2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；
（3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.
1. （2023·高一课时练习）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）0∈N；（2）π∈Q；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程x2=0的解能构成集合.
A．2B．3C．4D．5
【解析】0是自然数，故0∈N，（1）正确；
π是无理数，故π∉Q，（2）错误；
由3、4、5、5、6构成的集合有4个元素，故（3）错误；
数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；
方程x2=0的解为x=0，有一个元素，能构成集合，（5）正确；
故选：A
2. （2021秋·高一课时练习）下面有四个结论:①集合N中最小数为1；②若，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解析】①集合N中最小数为0，故①错误；
②取−1.5∉N，则1.5∉N，故②错误；
③若a∈N，b∈N，则a+b的最小值为2，错误，当a=b=0时，a+b=0，故③错误；
④所有的正数组成一个集合，故④正确；
故选：B.
3.（多选）（2022秋·湖北武汉·高一武钢三中校考阶段练习）已知集合M中的元素x满足x=a+2b，其中a，b∈Z，则下列选项中属于集合M的是（ ）
A．0B．6C．11−2D．32−1
【解析】当a=b=0时，x=0，所以0∈M，A正确；
当a=−1,b=−1时，x=−1−2=11−2∈M，C正确；
当a=−1,b=3时，x=32−1∈M，D正确；
因为a∈Z，b∈Z，故x=a+2b≠6，6∉M，B错误.
故选：ACD
4.（2022秋·广东惠州·高一统考期中）已知集合M中有2个元素x，2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是________(填序号).
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
【解析】依题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≠－1，,2－x≠－1，,x≠2－x.))
解得x≠－1，x≠1且x≠3，
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0，2，故①可能正确；
当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1，不满足互异性，故②不正确，③显然正确.
5.（2022-湖北-高一统考期末）由三个数a，eq \f(b,a)，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合相等，求a2 022＋b2 022的值.
【解析】由a，eq \f(b,a)，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,a＝a＋b，,\f(b,a)＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝a，,a＋b＝1，,\f(b,a)＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0))(不满足集合元素的互异性，舍去).
所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
6.（2022-江苏-高一暑假作业）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
①1∉S；②若a∈S，则eq \f(1,1－a)∈S.
(1)求证：若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S；
(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.
【解析】(1)证明 因为1∉S，由eq \f(1,1－a)∈S，
可得eq \f(1,1－\f(1,1－a))∈S，
即eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1－a,－a)＝1－eq \f(1,a)∈S，
故若a∈S，则1－eq \f(1,a)∈S.
(2)解 由2∈S，得eq \f(1,1－2)＝－1∈S；
由－1∈S，得eq \f(1,1－（－1）)＝eq \f(1,2)∈S；
而当eq \f(1,2)∈S时，eq \f(1,1－\f(1,2))＝2∈S，…，
因此当2∈S时，
集合S中必含有－1，eq \f(1,2)两个元素.