高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性精品第1课时复习练习题

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一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可.
【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，，故是奇函数，即A错误；
对于B，，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误；
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【答案】C
【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.
【详解】由函数的定义域可得，
则，
由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
故选：C.
3．（2022秋·北京海淀·高二清华附中校考期中）若是奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由为奇函数可得，代入相应解析式解方程即可.
【详解】易知定义域为，由为奇函数可得，即，解得.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数是偶函数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．
【答案】C
【分析】由已知，根据函数的解析式，写出的解析式，然后根据函数为偶函数，借助，列出等量关系，化简即可求解参数.
【详解】由已知，，所以，
函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可.
【详解】因为是奇函数，
所以有
即.
故选：A
6．（2022秋·北京·高一和平街第一中学校考期中）偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题知在单调递减，在单调递增，由，得，计算得解.
【详解】偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，所以在单调递减，在单调递增，因为，所以，所以，化简得，又因为a为正实数，所以.
故选：B.
二、多选题
7．（2022秋·高一单元测试）下列函数中是偶函数，且在为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，偶函数，且在为增函数，符合题意；
对于，，不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，在上为增函数，故在为增函数，符合题意；
对于，，是偶函数，且在为增函数，符合题意；
故选：．
8．（2021·高一单元测试）已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A．B．在区间单调递增
C．的最小值为D．的最大值为2
【答案】AC
【分析】利用函数是奇函数，可得，求出可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.
【详解】函数是奇函数，
则，代入可得，故A正确；
由，
对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递减，故B错误；
由，所以，
所以，故C正确、D错误.
故选：AC
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】解：因为定义域为，且，即为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，
则不等式等价为，
即，解得，即不等式的解集为.
故答案为：
10．（2022·高一课时练习）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式 x·f(x)＞0 的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性，单调性以及符号法则即可解出．
【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，所以，且在上单调递增．因此，当时，，当时，，当时，，当时，，
所以x·f(x)＞0 的解集为．
故答案为：．
11．（2023·全国·高三专题练习）若是奇函数，则 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质，结合奇函数的定义进行求解即可.
【详解】因为是奇函数，
所以有，即，即，
因为，
所以函数是奇函数，
故答案为：
四、解答题
12．（2022·全国·高一期中）已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
13．（2023秋·全国·高一随堂练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用可求时的解析式，当时，利用奇偶性可求得时的的解析式，由此可得结果；
（2）作出图象，将问题转化为与有个交点，数形结合可得结果.
【详解】（1）由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
（2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，
有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，
由图象可知：，即实数的取值范围为.
14．（2022·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
【答案】(1)，
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意；
（2）设，由可证得在上单调递增.
【详解】（1）是定义在上的奇函数，，解得：；
，；
经检验：当，时，，则，为奇函数；
，.
（2）在上单调递增，证明如下：
设，
；
，，，，，
是在上单调递增.
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）“”是“函数是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将代入函数解析式，用奇函数的判别式判断；若是奇函数，借助计算得，再进行判断.
【详解】若，则，
，且，
所以是奇函数；
若函数 在其定义域上为奇函数，
可得 ，
解得，
∴是函数 在其定义域上为奇函数的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据奇函数求出的值，再利用抽象函数的单调性即可求出不等式的解集.
【详解】解：因为是定义在上的奇函数
所以，得：
又在上单调递减
所以在上单调递减
由可得：
，解得：
所以不等式的解集为：.
故选：B.
3．（2022·高一课时练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1
【答案】B
【分析】由f（x）＝xln（x）为偶函数，则设g（x）＝ln（x）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.
【详解】解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，
∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，
则g（0）＝0，
即ln0，则1，则a＝1．
故选：B．
二、多选题
4．（2021·全国·高一期中）若函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，当﹣1≤x≤2时，下列说法正确的是（ ）
A．m＝1B．m＝2C．fmin（x）＝2D．fmax（x）＝6
【答案】BCD
【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12），分析可得m的值，结合二次函数的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）＝（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）为R上的偶函数，
则有f（﹣x）＝f（x），即（m﹣1）x2+（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）＝（m﹣1）x2﹣（m﹣2）x+（m2﹣7m+12）
必有m﹣2＝0，即m＝2，
则f（x）＝x2+2，为开口向上的二次函数，对称轴为
当﹣1≤x≤2时，其最小值为f（0）＝2，最大值f（2）＝6，
故选：BCD
5．（2022秋·广东东莞·高一校考期中）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.则下列选项成立的是（ ）
A．B．若，则
C．若，D．，，使得
【答案】CD
【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可作答.
【详解】由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，
于是得，A不正确；
由得，，则，解得，B不正确；
若，则或，而，且在上单调递减，则或，C正确；
因为定义在R上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，在上单调递减，
于是得，取，所以，，使得，D正确.
故选：CD
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为，当时，若与都为奇函数，则（ ）
A．B．的最大值为
C．D．的图象关于点对称
【答案】AD
【分析】由题可得函数图象关于点对称，周期为4，可求，再利用函数解析式即可判断.
【详解】∵函数的定义域为，与都为奇函数，
∴，
∴，函数图象关于点对称，
∴函数的周期为4，的图象关于点对称，所以D正确，
∴即，
∴，所以A正确，
∴，
∴，单调递增，，，单调递增，
∴，，
∴时，，所以B错误，
又，所以C错误.
故选：AD