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人教B版数学高一必修第一册 第三章 函数 单元测试能力卷
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第三章 函数（能力卷）（时间：120分，满分：150分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为（1）当时，得到，显然不等式的解集为；（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；综上，的取值范围为故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.【详解】根据题意，任意实数都有成立，所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以，解得：，所以实数的取值范围是：,.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是（ ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案【详解】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数有两个不同的零点，分类讨论，求得或，继而根据充分不必要条件的含义即得答案.【详解】，则1是的一个零点，则有两个不同的零点有两种情形：①1是方程的根，则，即，此时方程有1，两个根，故有1，两个不同的零点；②1不是方程的根，则方程有两个相同的实数根，则，得，此时，故有1，两个不同的零点；综上，函数有两个不同的零点，则或，所以是有两个不同的零点的一个充分不必要条件，故选：A.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）A．3 B．2 C．0 D．50【答案】C【分析】根据奇函数的性质得到和，再结合函数对称性得到，赋值求出、；推导出函数的周期为4，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，且，又的图象关于对称，则，即①，则，，在①中，令，得，则，所以函数的周期为，即，则有，所以，故选：C.6．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，设二次函数为，因的最大值是8，所以，当时， ，即二次函数，由得:，解得：，则二次函数，故选：A.7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B.8．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考开学考试）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，再利用函数单调性比较大小即可.【详解】由得，所以，又为偶函数，所以的图象关于对称，所以，，又在内单调递减，，即.故选：D.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）A．最小正周期为4 B．C． D．【答案】BCD【分析】根据条件分析出函数的周期为，利用周期可逐项求函数值.【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，故A错误；又当时，，所以，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确.故选：BCD.10．（2023秋·全国·高一随堂练习）函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ）A．函数的值域为 B．若，则C．若，则 D．，【答案】BD【分析】求得函数的值域判断选项A；推理证明判断选项B；举反例否定选项C；举例证明，.判断选项D.【详解】选项A：函数的值域为.判断错误；选项B：若，则，，则.判断正确；选项C：，但.判断错误；选项D：当时，.则，.判断正确.故选：BD11．（2023秋·高一课时练习）已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或D．当时，，的值域是，则的取值范围是【答案】ABD【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，于是得，即，对于A，不等式化为：，解得，A正确；对于B，，，当且仅当，即时取“=”，B正确；对于C，，令，则在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，C不正确；对于D，当时，，则，，依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，从而得或，因此，D正确.故选：ABD12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）A．是偶函数 B．C．的图象关于点对称 D．【答案】ABCD【分析】由已知判断函数的周期性、对称性、单调性，对选项逐一判断【详解】对于A，由函数的图象关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，故 A正确；对于B，由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期函数，因为，可得，则，故B正确；对于C，因为函数为偶函数，即，所以，可得，所以函数关于中心对称，故C正确；对于D，由对任意的，且，都有，可得函数在区间上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，故D正确.故选：ABCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．（2023秋·高一单元测试）已知二次函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围 ．【答案】【分析】求出二次函数图像与轴的交点,结合一元二次方程根的分布根据m取值不同分情况讨论求解即可.【详解】由题意知，二次函数的图像与轴的交点为，因为为二次函数，所以，所以当时，二次函数的图像与轴有两个交点且分别在轴两侧，符合题意．当时，设一元二次方程的两根分别为，则需满足，解得．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：.14．（2023·全国·高三专题练习）设是上的奇函数，，当 时, ,则当时，的图象与x轴所围成图形的面积= ．【答案】4【分析】由可得 是以 4 为周期的周期函数,再结合奇函数的性质即可推导出函数 的图象关于直线 对称，结合函数图像即可得出结论.【详解】由 得,所以 是以 4 为周期的周期函数,由 是奇函数且 , 得 ,即 .故知函数 的图象关于直线 对称.又当 时, , 且 的图象关于原点成中心对称, 则 的图象如图所示： 当 时, 的图象与轴围成的图形面积为 , 则 .故答案为：4.15．（2023·全国·高三专题练习）设．若，则 ．【答案】【分析】由分段函数各区间上函数的性质有且，即可求结果.【详解】由在上递增，在上递增，所以，由，则，故，可得.故答案为：16．（2023·全国·高三阶段练习）设函数f（x），a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．【答案】1【分析】令g（x）＝f（x），易判断g（x）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，即可求出M+m的值.【详解】解：f（x），令g（x）＝f（x），则g（﹣x）g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（x）的最大最小值分别为M，m，由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，所以M+m＝1．故答案为：1．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（2023·全国·高一专题练习）已知为R上的奇函数，当时，．(1)求；(2)求的解析式；(3)关于x的方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】(1)0(2)(3)【分析】（1）（2）由奇函数的性质求解，（3）作出图象，数形结合求解，【详解】（1））因为为R上的奇函数，当时，，所以．（2）因为为R上的奇函数，所以．令得：，所以．任取，则．所以．由，所以．综上所述：．（3）作出的图象如图所示：要使有3个根，只需．所以实数k的范围为．18．（2023·全国·高一专题练习）大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元.(1)求2023年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)答案见解析(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式．（2）根据（1）中求出的利润的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．【详解】（1）解：由题意可得，即（2）解：当时，；当时，；当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立，故，综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．19．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于与的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出.（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，则，∴.（2）∵，① ∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，则，∴.20．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知奇函数的定义域为(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)a=1，b=3；(2)详见解析；(3)【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得a，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用函数单调性定义证明；（2）将时，恒成立，令，转化为，时恒成立求解.【详解】（1）解：因为函数是奇函数，所以，即，即，即，整理得，所以，即，则，因为定义域为关于原点对称，所以b=3；（2）在上递增.证明：任取，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以在上递增；（3）因为，所以，又当时，恒成立，所以，时恒成立，令，则，时恒成立，而，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是.21．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考期末）函数是定义在上的奇函数，且.(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)解关于的不等式.【答案】(1)；(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；（2）根据函数单调性的定义可证明；（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，又，解得，故；（2）解：函数在上为增函数.证明如下：在任取且，则，因为，所以，即，所以在上为增函数.（3）解：因为为奇函数所以，不等式可化为，即，又在上是增函数，所以 ，解得所以关于的不等式解集为.22．（2023·全国·高一专题练习）已知，函数．(1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可直接写出函数的单调递增区间；（2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式；（3）令，分、两种情况讨论，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，所以，函数的单调递增区间为.（2）解：由题意可知，①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，；②当时，函数在上单调递减，则.综上所述，.（3）解：当，时，令，则，①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，此时，，此时；②若时，当时，函数在上单调递减，此时，，此时.综上所述，.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
第三章 函数（能力卷）（时间：120分，满分：150分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为（1）当时，得到，显然不等式的解集为；（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；综上，的取值范围为故选：B2．（2023·全国·高一专题练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.【详解】根据题意，任意实数都有成立，所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，所以，解得：，所以实数的取值范围是：,.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调增区间是（ ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即为偶函数，则当时，可得的单调区间，进而得到时，的单调区间，即可得到答案【详解】解：由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C4．（2023·全国·高三专题练习）函数有两个不同的零点的一个充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数有两个不同的零点，分类讨论，求得或，继而根据充分不必要条件的含义即得答案.【详解】，则1是的一个零点，则有两个不同的零点有两种情形：①1是方程的根，则，即，此时方程有1，两个根，故有1，两个不同的零点；②1不是方程的根，则方程有两个相同的实数根，则，得，此时，故有1，两个不同的零点；综上，函数有两个不同的零点，则或，所以是有两个不同的零点的一个充分不必要条件，故选：A.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若，则（ ）A．3 B．2 C．0 D．50【答案】C【分析】根据奇函数的性质得到和，再结合函数对称性得到，赋值求出、；推导出函数的周期为4，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，且，又的图象关于对称，则，即①，则，，在①中，令，得，则，所以函数的周期为，即，则有，所以，故选：C.6．（2023·全国·高一专题练习）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，设二次函数为，因的最大值是8，所以，当时， ，即二次函数，由得:，解得：，则二次函数，故选：A.7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意先求出函数在上为单调增函数且关于直线对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.【详解】∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B.8．（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳实验高级中学校考开学考试）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，若在上单调递减，则下面结论正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可知函数具有周期性和对称性，从而可得，，再利用函数单调性比较大小即可.【详解】由得，所以，又为偶函数，所以的图象关于对称，所以，，又在内单调递减，，即.故选：D.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．（2023·全国·高三专题练习）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ）A．最小正周期为4 B．C． D．【答案】BCD【分析】根据条件分析出函数的周期为，利用周期可逐项求函数值.【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以的周期为，故A错误；又当时，，所以，选项B正确；，选项C正确；，选项D正确.故选：BCD.10．（2023秋·全国·高一随堂练习）函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（ ）A．函数的值域为 B．若，则C．若，则 D．，【答案】BD【分析】求得函数的值域判断选项A；推理证明判断选项B；举反例否定选项C；举例证明，.判断选项D.【详解】选项A：函数的值域为.判断错误；选项B：若，则，，则.判断正确；选项C：，但.判断错误；选项D：当时，.则，.判断正确.故选：BD11．（2023秋·高一课时练习）已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）A．不等式的解集是B．的最小值是C．若有解，则m的取值范围是或D．当时，，的值域是，则的取值范围是【答案】ABD【分析】根据给定条件，可得，解不等式判断A；利用均值不等式计算判断B；利用对勾函数求范围判断C；探讨二次函数值域判断D作答.【详解】因的解集是，则是关于x的方程的二根，且，于是得，即，对于A，不等式化为：，解得，A正确；对于B，，，当且仅当，即时取“=”，B正确；对于C，，令，则在上单调递增，即有，因有解，则，解得或，C不正确；对于D，当时，，则，，依题意，，由得，或，因在上的最小值为-3，从而得或，因此，D正确.故选：ABD12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）A．是偶函数 B．C．的图象关于点对称 D．【答案】ABCD【分析】由已知判断函数的周期性、对称性、单调性，对选项逐一判断【详解】对于A，由函数的图象关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，故 A正确；对于B，由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期函数，因为，可得，则，故B正确；对于C，因为函数为偶函数，即，所以，可得，所以函数关于中心对称，故C正确；对于D，由对任意的，且，都有，可得函数在区间上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，故D正确.故选：ABCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．（2023秋·高一单元测试）已知二次函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数的取值范围 ．【答案】【分析】求出二次函数图像与轴的交点,结合一元二次方程根的分布根据m取值不同分情况讨论求解即可.【详解】由题意知，二次函数的图像与轴的交点为，因为为二次函数，所以，所以当时，二次函数的图像与轴有两个交点且分别在轴两侧，符合题意．当时，设一元二次方程的两根分别为，则需满足，解得．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：.14．（2023·全国·高三专题练习）设是上的奇函数，，当 时, ,则当时，的图象与x轴所围成图形的面积= ．【答案】4【分析】由可得 是以 4 为周期的周期函数,再结合奇函数的性质即可推导出函数 的图象关于直线 对称，结合函数图像即可得出结论.【详解】由 得,所以 是以 4 为周期的周期函数,由 是奇函数且 , 得 ,即 .故知函数 的图象关于直线 对称.又当 时, , 且 的图象关于原点成中心对称, 则 的图象如图所示： 当 时, 的图象与轴围成的图形面积为 , 则 .故答案为：4.15．（2023·全国·高三专题练习）设．若，则 ．【答案】【分析】由分段函数各区间上函数的性质有且，即可求结果.【详解】由在上递增，在上递增，所以，由，则，故，可得.故答案为：16．（2023·全国·高三阶段练习）设函数f（x），a∈R的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．【答案】1【分析】令g（x）＝f（x），易判断g（x）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，即可求出M+m的值.【详解】解：f（x），令g（x）＝f（x），则g（﹣x）g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（x）的最大最小值分别为M，m，由奇函数的性质，可得（M）+（m）＝0，所以M+m＝1．故答案为：1．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（2023·全国·高一专题练习）已知为R上的奇函数，当时，．(1)求；(2)求的解析式；(3)关于x的方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．【答案】(1)0(2)(3)【分析】（1）（2）由奇函数的性质求解，（3）作出图象，数形结合求解，【详解】（1））因为为R上的奇函数，当时，，所以．（2）因为为R上的奇函数，所以．令得：，所以．任取，则．所以．由，所以．综上所述：．（3）作出的图象如图所示：要使有3个根，只需．所以实数k的范围为．18．（2023·全国·高一专题练习）大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区､瑶溪景区､天桂寺景区､茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为80元.(1)求2023年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)答案见解析(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万．【分析】（1）根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式．（2）根据（1）中求出的利润的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．【详解】（1）解：由题意可得，即（2）解：当时，；当时，；当时，由基本不等式知，当且仅当即时等号成立，故，综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万．19．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于与的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出.（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，则，∴.（2）∵，① ∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，则，∴.20．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知奇函数的定义域为(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)a=1，b=3；(2)详见解析；(3)【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得a，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用函数单调性定义证明；（2）将时，恒成立，令，转化为，时恒成立求解.【详解】（1）解：因为函数是奇函数，所以，即，即，即，整理得，所以，即，则，因为定义域为关于原点对称，所以b=3；（2）在上递增.证明：任取，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以在上递增；（3）因为，所以，又当时，恒成立，所以，时恒成立，令，则，时恒成立，而，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的取值范围是.21．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考期末）函数是定义在上的奇函数，且.(1)确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)解关于的不等式.【答案】(1)；(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）由已知得，，经检验，求得函数的解析式；（2）根据函数单调性的定义可证明；（3）根据函数的单调性和奇偶性建立不等式组，求解即可.【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，得，解得，经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，又，解得，故；（2）解：函数在上为增函数.证明如下：在任取且，则，因为，所以，即，所以在上为增函数.（3）解：因为为奇函数所以，不等式可化为，即，又在上是增函数，所以 ，解得所以关于的不等式解集为.22．（2023·全国·高一专题练习）已知，函数．(1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可直接写出函数的单调递增区间；（2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式；（3）令，分、两种情况讨论，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：当时，，所以，函数的单调递增区间为.（2）解：由题意可知，①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，；②当时，函数在上单调递减，则.综上所述，.（3）解：当，时，令，则，①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，此时，，此时；②若时，当时，函数在上单调递减，此时，，此时.综上所述，.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
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