安徽省合肥市庐江县盛桥中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份安徽省合肥市庐江县盛桥中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题，综合题，证明题等内容，欢迎下载使用。

九年级上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用反证法证明命题：“如图，如果AB//CD，AB//EF，那么CD//EF.”证明的第一个步骤是（ ）
A．假定CD//EFB．假定CD不平行于EF
C．已知AB//EFD．假定AB不平行于EF
3．有下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x（x﹣4）=0B．x2+y﹣3=0
C．1x2+x=2D．x3﹣3x+8=0
4．若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，在⊙O中，CD切⊙O于点C，若∠BCD=50°，则∠A的大小为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
6．如图，将Rt△AOB(∠AOB=90°)绕点O逆时针旋转30°得到Rt△COD，则∠COB＝（ ）
A．30°B．60°C．70°D．90°
7．函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的图象是由函数y=ax2+bx+ca>0,b2-4ac>0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
8．已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图)．当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）．
A．-2549．如图，把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做y=ax2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数．小明同学画出了y=ax2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线x=1； ②由图象得a=1，b=-2，c=-3；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为(0，-3)；④y=-ax2-bx-c(a≠0)的“陷阱”函数与y=ax2+bx+c(a≠0)的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A．1B．2C．3D．4
10．函数y=ax2+bx(a≠0)与y=ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知x1,x2是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根，那么x12+x22的值是 ．
12．小明上学途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒，绿灯亮25秒，小明到达路口恰好遇到绿灯的概率是 ．
13．有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程1-axx-2+2=12-x有正整数解的概率为
14．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc﹤0；②3a+c﹥0；③(a+c)2-b2﹤0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中正确的结论有 .
三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程x2+2x-13=0
16．如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=4，点O在边AB上，且AO=2，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为xx>0．
（1）在图1中，劣弧PE的长为________；
（2）当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．
①求x的值；
②已知M，N分别是边BC与DE上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；
（3）在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与△ABC的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
17．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法，求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
18．关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k是符合条件的最大整数，求此时一元二次方程的解．
19．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l和线段BC，给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C' (B'，C'分别是B，C的对应点)，则称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如，图1中线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．
（1）如图2，点B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．
① 在线段B1C1，B2C2，B3C3中，以直线l1：y=x+4为轴的⊙O的“关联线段”是 ；
② 在线段B1C1，B2C2，B3C3中，存在以直线l2：y=-x+b为轴的⊙O的“关联线段”，求b的值；
（2）已知直线l3：y=-3x+mm>0交x轴于点A．在△ABC中，AB=6，BC=2，若线段BC是以直线l3为轴的⊙O的“关联线段”，直接写出m的最大值与最小值，以及相应的AC的长．
五、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
20．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分；若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请你画树状图或者列表求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是多少？
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+4x-6的图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．其中点B的坐标是（2，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y<0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
六、证明题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
23．如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图（1）所示的以AB为直径的半圆O，MN为台面截线，半圆O与MN相切于点P，连接OP与CD相交于点E．水面截线CD=63cm，MN∥CD，AB=12cm．
（1）如图（1）求水深EP；
（2）将图（1）中的老碗先沿台面MN向左作无滑动的滚动到如图（2）的位置，使得A、C重合，求此时最高点B和最低点P之间的距离BP的长；
（3）将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图（3）所示时停止，若此时∠BOP=75°，求滚动过程中圆心O运动的路径长．
24．如图，已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E．
（1）如图1，猜想∠QEP= ；
（2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°,∠ACP=15°，且AC=10，求BQ的长．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】134
12．【答案】512
13．【答案】14
14．【答案】②③④
15．【答案】解：∵x2+2x-13=0，
∴x2+2x=13，
∴x2+2x+1=14，
∴(x+1)2=14，
∴x+1=±14，
解得x1=-1+14，x2=-1-14．
16．【答案】（1）2π3
（2）①x=2；②MN的最小值和最大值之和为23+4
（3）半圆O与△ABC的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是2≤x≤6-433
17．【答案】716
18．【答案】（1）解：根据题意，得 △=b2-4ac=-32-4k≥0，
解得 k≤94.
（2）解：∵k≤94，
∴k的最大整数值为2，此时方程为 x2-3x+2=0，
其中a=1，b=-3，c=2，
∴b2-4ac=-32-4×1×2=9-8=1>0，
∴x=bxb2-4ac2a=3+12，
∴x1=1，x2=2.
19．【答案】（1）①B1C1；② 1或3
（2）m的最大值为83，AC=213；m的最小值为43，AC=27．
20．【答案】16
21．【答案】（1）解：根据题意得Δ＝（−3）2−4（m＋1）＞0，
解得m＜54；
（2）解：当m＝−1时，方程变形为x2−3x＝0，
x（x−3）＝0，
x＝0或x−3＝0，
所以x1＝0，x2＝3．
22．【答案】（1）解：把B(2，0)代入y=ax2+4x-6，得0=4a+8﹣6，解得a=-12，
∴y=-12x2+4x﹣6=-12（x﹣4）2+2，
∴A（4，2），
∵对称轴为直线x=4，B，C关于直线x=4对称，
∴C（6，0），
∴当y<0时，x<2或x>6
（2）解：当x=0时，y=-12x2+4x﹣6=-6 ，
∴D（0，-6），
∴点D平移到点A，抛物线向右平移4个单位，向上平移8个单位，
可得抛物线的解析式为y=-12(x-8)2+10．
23．【答案】（1）EP=3cm
（2）BP=63cm
（3）圆心O运动的路径长为AC的长度32πcm
24．【答案】（1）60°
（2）60°
（3）BQ=36-32