高一上学期数学第二次月考（范围：第一至四章）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023上·山西·高一校联考期中）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用并集的概念计算即可.
【详解】依得，即，
则.
故选：B
2．（2023上·山西·高一校联考期中）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据幂函数性质，结合已知判断条件间推出关系，进而确定它们的充分、必要关系.
【详解】由，
当时，由幂函数的性质知：必成立，
当时，也有，
∴“”是“”的充要条件.
故选：C
3．（2023上·山西·高一校联考期中）已知，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】变形后由基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当,即时，等号成立.
故选：B
4．（2023上·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校联考阶段练习）已知，则函数与函数的图像在同一坐标系中可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别分析与的单调性及恒过的定点即可判断.
【详解】因为，所以在上单调递增，
又定义域为，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒过，
故选：A.
5．（2023上·山西·高一校联考期中）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性进行比较即可得到答案.
【详解】，，，
所以.
故选：B.
6．（2023上·上海·高一校考阶段练习）已知，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小即得.
【详解】且，函数在上单调递增，，A错误；
函数在R上单调递减，则，B错误；
函数在上单调递减，则，C正确；
由选项C知，，即，则，D错误.
故选：C
7．（2023上·山西·高一校联考期中）已知，，规定：当时，；当时，，则（ ）
A．有最小值－1，无最大值B．有最小值－2，无最大值
C．有最大值2，无最小值D．有最大值－1，无最小值
【答案】B
【分析】在同一直角坐标系画出函数，的图象，结合题中规定，得到函数的图象，最后利用数形结合进行判断即可.
【详解】在同一直角坐标系内画出，的图象，如下图所示：
根据题中规定，得到函数的图象如下图；
根据数形结合思想结合图象可知函数有最小值－2，无最大值，
故选：B
8．（2023上·广东佛山·高一石门中学校考期中）已知，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.
【详解】不等式，
令，则，
依题意，，，因此函数在上单调递增，
令，而在上单调递增，则函数在上单调递增，且恒有
令，显然函数在上单调递增，因此在上单调递增，且，，
当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，
且恒成立，因此；
当时，由在上单调递增，得，解得，
由，，得，解得，因此，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2023上·山西吕梁·高一校联考阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断.
【详解】对于A，定义域为，
当时，在上是增函数，
又，所以是偶函数，故A对；
对于B，由，定义域为R且为奇函数，不符合题意；故B错；
对于C，，所以是偶函数，在上是增函数，故C正确；
对于D，，所以是偶函数，在上是减函数，故D错.
故选：AC
10．（2023上·山西·高一校联考期中）人们常用里氏震级M表示地震的强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ）
A．
B．
C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳
D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍
【答案】AC
【分析】利用待定系数法可判定A、B，通过关系式代入相应震级计算释放能量即可判定C、D.
【详解】由题意可得，即，解得，A正确，B错误；
若，则，，C正确；
若，则，，，D错误.
故选：AC
11．（2023上·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．存在最大值D．图象关于对称
【答案】CD
【分析】求出的定义域，化简函数的解析式，利用二次函数与对数函数的性质，以及复合函数单调性，判断各选项即可．
【详解】由且，得，即的定义域为，
，
令，，则，
二次函数的图象开口向下，对称轴为，
从而图象关于对称，故D正确；
∵在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
∴在上单调递增，在上单调递减，故AB错误；
∵，当时，有最大值1，所以有最大值0，故C正确.
故选：CD.
12．（2023上·山西·高一校联考期中）已知a，b满足，则（ ）
A．且B．的最小值为9
C．的最大值为D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据指数函数的性质得到，求出且；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，由基本不等式求出答案；D选项，令，即，故，故，D正确.
【详解】A选项，因为，所以，
故且，A正确；
B选项，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9，B正确；
C选项，由基本不等式得，解得，
当且仅当，即时，等号成立，C错误；
D选项，，
因为，令，即，，
故，D正确.
故选：ABD
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2023上·山西·高一校联考期中）若为偶函数，则 .
【答案】
【分析】设，可求得为奇函数，结合为偶函数，即可求解.
【详解】设，定义域为，
则，
所以函数为奇函数，
又因为为偶函数
所以函数为奇函数，得.
故答案为：.
14．（2023上·广东茂名·高一校联考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，并且当时，，那么 ．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性、指数、对数运算求得正确答案.
【详解】，
所以.
故答案为：
15．（2023上·山西·高一校联考期中）已知函数恰有3个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据有两正根，把问题转化为在上只有1个零点问题，然后分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可.
【详解】当时，令，得，
因为函数与函数的图象在上有2个公共点，
所以在上有2个零点，所以在上只有1个零点.
当时，在上有唯一零点，符合题意；
当时，的图象的对称轴为，
在轴右侧，开口向下，且0，
则在上有唯一零点，符合题意；
当时，的图象的对称轴为，
在轴左侧，开口向上，，则，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
16．（2023上·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知函数若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，根据题意转化为，设的零点为，画出函数的图象，要使得方程恰有6个不同的实数根，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
【详解】解：画出函数的图象，如图所示，
令，则关于x的方程，可化为，
设的零点为，
要使得方程恰有6个不同的实数根，
①当方程在内有两个不同的实根时，
则满足，解得；
②当方程的两个实数根，且时，
则满足，解得；
③当方程的两个实数根，且时，
因为，所以此时不成立；
综上可得，实数m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023上·山西·高一校联考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)10
【分析】(1)根据对数的运算公式计算化简即可；
(2)根据指数幂的运算公式计算化简即可.
【详解】（1）
（2）
．
18．（2023上·福建莆田·高一莆田第五中学校考期中）已知命题：，为假命题．
(1)求实数的取值集合；
(2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可；
（2）根据题意可得，结合得到，解得即可．
【详解】（1）因为命题：，为假命题，
所以命题的否定为：，，为真命题，
且，解得．
∴．
（2）由解得，即，
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
又，所以，解得，
所以实数的取值集合为．
19．（2023上·山西·高一校联考期中）已知函数（且，为常数）的图象经过点，.
(1)求的值；
(2)设函数，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）利用对数函数的单调性与单调性的加减性质即可得解.
【详解】（1）因为的图象经过点，，
所以，两式相减得，
又且，解得或（舍去），则.
（2）由（1）得，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，
，
故在上的值域为.
20．（2023上·山西·高一校联考期中）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数的定义求解一元二次不等式即可；
（2）根据指数与对数的关系化简方程为，利用一元二次方程根的分布计算即可.
【详解】（1）令，即，
解得，
即的定义域为；
（2）由，得，即，
方程有两个不相等的实数根，
即方程在上有两个不相等的实数根，
则,
解得，即a的取值范围为.
21．（2023上·山西·高一校联考期中）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.
【答案】(1)可用③来描述x，y之间的关系，
(2)该企业要考虑转型.
【分析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型；
（2）由题知，则x>65，再由 与比较，可作出判断.
【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
（2）由题知，解得.
∵年利润，∴该企业要考虑转型.
23．（2023上·贵州六盘水·高一统考阶段练习）已知函数，其中且.
(1)若，，求不等式的解集；
(2)若，，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复合函数单调性得到的单调性，再分类讨论即可；
（2）首先得到，再转化为单调性问题，最后对分类讨论即可.
【详解】（1）当时，.
由，解得或，所以的定义域为.
因为，所以为偶函数.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当，即时，此时函数单调递增，且，原不等式成立.
当，即时，，
因为，则，解得，所以.
而恒成立，即当时，不等式无解，
综上，原不等式的解集是.
（2）因为，且，所以，
又因为，所以在上单调递增.
当时，是减函数，函数在上单调递增，
此时函数在其定义域的的右侧区间上单调递减，与在上单调递增不符.
当时，要使在上单调递增，
则在上单调递增，且在上恒成立，
所以，解得.
综上，的取值范围是.
年份
2015
2016
2017
2018
投资成本
3
5
9
17
…
年利润
1
2
3
4
…