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高一上学期期末数学模拟试卷01（人教A版2019必修第一册全部）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）
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这是一份高一上学期期末数学模拟试卷01（人教A版2019必修第一册全部）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册），文件包含期末模拟试卷1全一册原卷版docx、期末模拟试卷1全一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解一元二次不等式得，根据集合交运算求即可.
【详解】，又，
∴，
故选：A
2．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】由，因为的正负性不明确，故不能由 一定推出成立；由，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用.
3．（2022上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及正切函数的性质，即可得出结论
【详解】∵，，，
.
故选：B.
4．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.
A．3B．4C．6D．7
【答案】B
【解析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.
【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.
故选：B.
【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
5．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）设函数，若，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先写出分段函数的解析式，得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】解：，又，且，
所以，即，
，（当且仅当，即时，取等号）
故选：C.
6．（2023上·全国·高一专题练习）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用换元法，根据函数的单调性列方程，求得的表达式，进而求得的零点.
【详解】根据题意，对任意，都有，
即．
因为是定义在上的单调函数，所以为定值，
令，，则，
由，得，，
在上单调递增，所以是唯一解，
则．
由得，即函数的零点为．
故选：A
7．（2022上·黑龙江鸡西·高一校考期末）关于函数有下述结论：
①的最大值为 ②在区间上单调递增
③是偶函数 ④在有3个零点
其中正确的有（ ）
A．①③B．①④C．①②③D．②④
【答案】A
【分析】先取消绝对值得到分段函数，再利用三角恒等变化为同一个角的同一个三角函数，最后结合三角函数的最值，奇偶性，单调性逐项选择正确答案.
【详解】,即,
故的最大值为，故①正确；
当时，令，，解得，且，
故当时，单调递增区间为且，故②错误；
，故是偶函数，故③正确；
当时，令，解得，，
故当时，有一个零点为．又因为是偶函数，所以在有2个零点，故④错误.
综上所述，①③正确，②④错误.
故选：A.
8．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出函数图像，设，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论的解的情况，计算得到答案.
【详解】当时，，
当时，，，
画出函数图像，如图所示：
函数在有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，
由函数的图像知，且，令，
则需，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，
函数的图像知，且，
由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根，
计算得或，或，不合题意；
综上所述：或.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．（2022上·安徽宿州·高一校联考期末）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确；
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B正确；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故C错误；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误；
故选：AB.
10．（2023上·四川成都·高二校考开学考试）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D正确.
故选：BCD
11．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B． 是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【答案】ABD
【分析】根据给定的图象求出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的周期，则，
由，得，即，
因此函数解析式为，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，利用正弦函数的性质知，
，得，C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象，D正确.
故选：ABD
12．（2021上·湖北武汉·高三统考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【解析】利用均值不等式和作差法对选项就进行逐一验证得出答案.
【详解】由，且，则
选项A.
当且仅当，即 时取等号. 故A正确.
选项B. ,
所以成立，故B正确.
选项C. ,当且仅当时等号成立，故C正确.
选项D.
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021上·四川成都·高三石室中学校考期末）已知函数是偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的定义可得对于恒成立，整理化简即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，所以对于恒成立，
即对于恒成立，
因为当时不恒为0，
所以对于恒成立，
因为，所以，解得：，
故答案为：.
14．（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知，则 ．
【答案】/
【分析】首先求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以，
所以
.
故答案为：
15．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则 .
【答案】
【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出和，即可求解.
【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称，
故，即，
∵，∴，
又∵，
∴，即，
由 ，解得，，
∵，
∴.
故答案为：.
16．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）设函数，则 ；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入x的值，可求得函数值；
（2）作出函数的图象，根据数形结合思想可求得实数b的取值范围.
【详解】（1），；
（2）方程有且仅有1个实数根，即与的图象有1个交点，
当时，，，
画出函数的图象，由图可知当与只有1个交点时，或
故答案为：；或.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知集合 ，.
(1)命题p：x∈A，命题q: x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围:
(2)若A∩B≠求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)要使p是q的必要不充分条件，则 B A即可；
(2)求时m的取值范围，然后求其补集.
【详解】（1）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，
B集合：，所以B不可能为空集，
因为，
所以，
集合，
所以或，分别解不等式组，取并集后可得.
（2）由（1）知，
当时：或，
解之得：或，
则时，.
18．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)对，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质和点在函数的图像上建立方程，然后解出方程即可；
（2）将恒成立问题转化为求的值域，根据指数函数的性质即可求出的值域
【详解】（1）由条件知：，
解得：
所以函数的解析式为
（2）
因，所以，，
故函数的值域为
因，都有恒成立
所以只需，实数的取值范围是
19．（2023上·四川遂宁·高三统考期中）已知．
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数即可求函数在上的单调增区间；
（2）根据三角函数的图象变换与函数的对称性即可得所求.
【详解】（1），.
因为，，所以，
故函数在单调增区间为；
（2）将向左平移个单位得到
将纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到，
又因为的图象关于直线对称，则，
解得：
因为，所以当时，，
故.
20．（2023下·重庆永川·高一重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求在上的值域；
(3)试讨论函数在上零点的个数.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦型函数的周期公式即可得到答案；
（2）利用整体法求出，再通过正弦型函数的值域求解方法即可；
（3）等价转化为方程在上的解的个数，再结合正弦型函数的性质与值域即可.
【详解】（1）函数，
故函数的最小正周期为.
（2）在上，，
可得.
（3）函数在上零点的个数，
即方程在上的解的个数.
，
当或时，方程有一个解，
当时，方程有2个解，
当或时，方程无解.
综上可得，当或时，一个零点；
当时，2个零点；
当或时，没有零点.
21．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：①；②且.
(1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；
(2)根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：）
【答案】(1)；
(2)24个月
【分析】（1）分别代入前2列数据到两个函数模型的解析式，解方程组，即可得到本题答案；
（2）分别把和代入到两个函数模型的解析式，选择数据差距较小的函数模型；然后把代入到，解出，即可得到本题答案.
【详解】（1）将前2列数据代入解析式①得：，解之得：，
①；
将前2列数据代入解析式②得：，解之得：，
②.
（2）当时，模型①，模型②；
当时，模型①，模型②；
选模型②；
当总量再翻一番时有：，解之得，
即再经过26-2=24个月时，总量能再翻一番.
22．（2023上·山西太原·高一太原市外国语学校校联考阶段练习）已知函数（）是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数（），是否存在实数m，使得的最小值为0？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义化简得，由且不恒为0即可求得的值；
（2）由（1）得到从而推得，通过换元将其转化成关于的二次函数在上有无最小值为0的情况，考虑其对称轴与区间的位置关系分类讨论即得.
【详解】（1）因函数（）是偶函数，
故
因且不恒为0，故得.
（2）由（1）可得则
，
设因，则，其对称轴为，
则①当时，在区间上单调递减，则解得，不符题意，舍去；
②当时，在区间上先减后增，故解得故；
③当时，在区间上单调递增，则解得不符题意，舍去.
故存在，使得的最小值为0.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了运用偶函数定义求解参数值和由指数式组成的函数式在给定区间上的最值问题.解题关键在于对数的运算性质的运用，以及对同底的指数函数的换元法处理思想，将其转化为二次函数在给定区间上的最值问题，需要数学化归意识和分类讨论思想.
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第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解一元二次不等式得，根据集合交运算求即可.
【详解】，又，
∴，
故选：A
2．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，结合充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】由，因为的正负性不明确，故不能由 一定推出成立；由，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用.
3．（2022上·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及正切函数的性质，即可得出结论
【详解】∵，，，
.
故选：B.
4．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.
A．3B．4C．6D．7
【答案】B
【解析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.
【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.
故选：B.
【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
5．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）设函数，若，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先写出分段函数的解析式，得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】解：，又，且，
所以，即，
，（当且仅当，即时，取等号）
故选：C.
6．（2023上·全国·高一专题练习）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用换元法，根据函数的单调性列方程，求得的表达式，进而求得的零点.
【详解】根据题意，对任意，都有，
即．
因为是定义在上的单调函数，所以为定值，
令，，则，
由，得，，
在上单调递增，所以是唯一解，
则．
由得，即函数的零点为．
故选：A
7．（2022上·黑龙江鸡西·高一校考期末）关于函数有下述结论：
①的最大值为 ②在区间上单调递增
③是偶函数 ④在有3个零点
其中正确的有（ ）
A．①③B．①④C．①②③D．②④
【答案】A
【分析】先取消绝对值得到分段函数，再利用三角恒等变化为同一个角的同一个三角函数，最后结合三角函数的最值，奇偶性，单调性逐项选择正确答案.
【详解】,即,
故的最大值为，故①正确；
当时，令，，解得，且，
故当时，单调递增区间为且，故②错误；
，故是偶函数，故③正确；
当时，令，解得，，
故当时，有一个零点为．又因为是偶函数，所以在有2个零点，故④错误.
综上所述，①③正确，②④错误.
故选：A.
8．（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知函数，若函数在有6个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出函数图像，设，根据函数图像考虑方程有两个解和一个解两种情况，再根据函数图像讨论的解的情况，计算得到答案.
【详解】当时，，
当时，，，
画出函数图像，如图所示：
函数在有6个不同零点有以下四种可能：
①方程有两个不同的实根和且方程有两个根，
且方程有四个不同的实根，
由函数的图像知，且，令，
则需，解得；
②方程有两个不同的实根和且方程有零个根，
且方程有六个不同的实根，
函数的图像知，且，
由于，则需，解得；
③方程有两个不同的实根和且方程有1个根，
且方程有5个实根成立，则需，此时无解；
④方程有且只有1个根且方程有6个根，
计算得或，或，不合题意；
综上所述：或.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．（2022上·安徽宿州·高一校联考期末）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以当时，，故A正确；
因为函数在上单调递增，
所以当时，，故B正确；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故C错误；
因为函数在上单调递减，
所以当时，，故D错误；
故选：AB.
10．（2023上·四川成都·高二校考开学考试）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D正确.
故选：BCD
11．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B． 是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
【答案】ABD
【分析】根据给定的图象求出函数的解析式，再利用正弦型函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的周期，则，
由，得，即，
因此函数解析式为，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，利用正弦函数的性质知，
，得，C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象，D正确.
故选：ABD
12．（2021上·湖北武汉·高三统考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【解析】利用均值不等式和作差法对选项就进行逐一验证得出答案.
【详解】由，且，则
选项A.
当且仅当，即 时取等号. 故A正确.
选项B. ,
所以成立，故B正确.
选项C. ,当且仅当时等号成立，故C正确.
选项D.
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021上·四川成都·高三石室中学校考期末）已知函数是偶函数，则 ．
【答案】
【分析】根据偶函数的定义可得对于恒成立，整理化简即可求解.
【详解】因为函数是偶函数，所以对于恒成立，
即对于恒成立，
因为当时不恒为0，
所以对于恒成立，
因为，所以，解得：，
故答案为：.
14．（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知，则 ．
【答案】/
【分析】首先求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，所以，
所以
.
故答案为：
15．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则 .
【答案】
【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出和，即可求解.
【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称，
故，即，
∵，∴，
又∵，
∴，即，
由 ，解得，，
∵，
∴.
故答案为：.
16．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）设函数，则 ；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入x的值，可求得函数值；
（2）作出函数的图象，根据数形结合思想可求得实数b的取值范围.
【详解】（1），；
（2）方程有且仅有1个实数根，即与的图象有1个交点，
当时，，，
画出函数的图象，由图可知当与只有1个交点时，或
故答案为：；或.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知集合 ，.
(1)命题p：x∈A，命题q: x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围:
(2)若A∩B≠求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)要使p是q的必要不充分条件，则 B A即可；
(2)求时m的取值范围，然后求其补集.
【详解】（1）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，
B集合：，所以B不可能为空集，
因为，
所以，
集合，
所以或，分别解不等式组，取并集后可得.
（2）由（1）知，
当时：或，
解之得：或，
则时，.
18．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)对，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质和点在函数的图像上建立方程，然后解出方程即可；
（2）将恒成立问题转化为求的值域，根据指数函数的性质即可求出的值域
【详解】（1）由条件知：，
解得：
所以函数的解析式为
（2）
因，所以，，
故函数的值域为
因，都有恒成立
所以只需，实数的取值范围是
19．（2023上·四川遂宁·高三统考期中）已知．
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数即可求函数在上的单调增区间；
（2）根据三角函数的图象变换与函数的对称性即可得所求.
【详解】（1），.
因为，，所以，
故函数在单调增区间为；
（2）将向左平移个单位得到
将纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到，
又因为的图象关于直线对称，则，
解得：
因为，所以当时，，
故.
20．（2023下·重庆永川·高一重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求在上的值域；
(3)试讨论函数在上零点的个数.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦型函数的周期公式即可得到答案；
（2）利用整体法求出，再通过正弦型函数的值域求解方法即可；
（3）等价转化为方程在上的解的个数，再结合正弦型函数的性质与值域即可.
【详解】（1）函数，
故函数的最小正周期为.
（2）在上，，
可得.
（3）函数在上零点的个数，
即方程在上的解的个数.
，
当或时，方程有一个解，
当时，方程有2个解，
当或时，方程无解.
综上可得，当或时，一个零点；
当时，2个零点；
当或时，没有零点.
21．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）生物爱好者甲对某一水域的某种生物在自然生长环境下的总量进行监测.第一次监测时的总量为（单位：吨），此时开始计时，时间用（单位：月）表示.甲经过一段时间的监测得到一组如下表的数据：
为了研究该生物总量与时间的关系，甲通过研究发现可以用以下的两种函数模型来表达与的变化关系：①；②且.
(1)请根据表中提供的前2列数据确定两个函数模型的解析式；
(2)根据第3，4列数据，选出其中一个与监测数据差距较小的函数模型；甲发现总量由翻一番时经过了2个月，根据你选择的函数模型，若总量再翻一番时还需要经过多少个月？（参考数据：）
【答案】(1)；
(2)24个月
【分析】（1）分别代入前2列数据到两个函数模型的解析式，解方程组，即可得到本题答案；
（2）分别把和代入到两个函数模型的解析式，选择数据差距较小的函数模型；然后把代入到，解出，即可得到本题答案.
【详解】（1）将前2列数据代入解析式①得：，解之得：，
①；
将前2列数据代入解析式②得：，解之得：，
②.
（2）当时，模型①，模型②；
当时，模型①，模型②；
选模型②；
当总量再翻一番时有：，解之得，
即再经过26-2=24个月时，总量能再翻一番.
22．（2023上·山西太原·高一太原市外国语学校校联考阶段练习）已知函数（）是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数（），是否存在实数m，使得的最小值为0？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义化简得，由且不恒为0即可求得的值；
（2）由（1）得到从而推得，通过换元将其转化成关于的二次函数在上有无最小值为0的情况，考虑其对称轴与区间的位置关系分类讨论即得.
【详解】（1）因函数（）是偶函数，
故
因且不恒为0，故得.
（2）由（1）可得则
，
设因，则，其对称轴为，
则①当时，在区间上单调递减，则解得，不符题意，舍去；
②当时，在区间上先减后增，故解得故；
③当时，在区间上单调递增，则解得不符题意，舍去.
故存在，使得的最小值为0.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了运用偶函数定义求解参数值和由指数式组成的函数式在给定区间上的最值问题.解题关键在于对数的运算性质的运用，以及对同底的指数函数的换元法处理思想，将其转化为二次函数在给定区间上的最值问题，需要数学化归意识和分类讨论思想.
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