人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品课时练习

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知识点一
二次函数与方程
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
知识点二
一元二次方程根的分布
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.
另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＞0，,\f(c,a)＞0))来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2－4ac≥0，,－\f(b,a)＜0，,\f(c,a)＞0))来解决；x1，x2一正一负也可通过满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2－4ac＞0，,\f(c,a)＜0))来解决．
知识点三
一元二次不等式
1.“三个二次”关系
2.解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
知识点四
分式不等式的解法
求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．
(1) ；
(2)
知识点五
含有参数的不等式的求解
含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
知识点六
一元二次不等式恒成立问题
1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＞0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,b2－4ac＜0.))
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＝0，,c＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜0，,b2－4ac＜0.))
2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
*(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a
恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
*3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
考点01 二次函数的图象和性质
【典例1】（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）．
A．B．
C．D．
【典例2】（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知二次函数，当 时，函数图象的顶点在y轴上,当 时，函数图象的顶点在x轴上；当 时，函数图象经过原点.
【规律方法】
对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
考点02 二次函数的图象和性质的应用
【典例3】（2021秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）已知函数（），满足，则下列关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【典例4】（2021秋·上海崇明·高一上海市崇明中学校考期末）已知的最小值为，则实数的取值范围是 .
考点03 一元二次方程根的分布问题
【典例5】（2023·高一课时练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例6】（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
研究一元二次方程根的分布问题，要注意数形结合，密切联系图象．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
考点04 一元二次不等式的解法
【典例7】（2022秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．或D．
【典例8】【多选题】（2022秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例9】（2022秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式.
【规律方法】
解含参数的一元二次不等式应注意：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
(4)含参数分类讨论问题最后要写综述．
考点05 一元二次不等式恒成立问题
【典例10】（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．4
【典例11】（2023秋·湖南·高二株洲市第一中学校联考开学考试）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【典例12】（2023秋·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考期末）已知函数，当时，恒成立，则的最大值为 .
【规律方法】
1.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
2.常见类型：
（1）一元二次不等式在R上的恒成立问题
（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题．
（3）一元二次不等式给定参数范围的恒成立问题.
在这三种类型中，转化与化归思想的应用意识要强，要体会具体转化方法的应用
考点06 “三个二次”关系的应用
【典例13】（2023·全国·高一课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【典例14】（2023春·浙江杭州·高一校考期末）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【总结提升】
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．
2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题
考点07 一元二次不等式的实际应用
【典例15】（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例16】（2023秋·高一课时练习）某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东的方向，与A市相距400 km，该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？
【总结提升】
注意把握三个要点：引入变量、构建不等式；化简整理、解不等式；回归检验、做出结论.
考点08 分式不等式的解法
【典例17】（2020·全国·高三对口高考）已知集合，则 ．
【典例18】（2020秋·上海嘉定·高一统考期中）解下列关于的不等式或不等式组：
（1）设，解不等式：；
（2）解不等式组：.
考点09 根据不等式有解求参数（范围）
【典例19】（2023·全国·高一专题练习）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【典例20】（2022秋·四川南充·高一统考期末）已知函数.
(1)若不等式的解集为或，若不等式的解集；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
1．（2021·湖南·高考真题）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
2.（2019·北京·高考真题）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ．
3．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
一、单选题
1.（2023秋·福建厦门·高三厦门市松柏中学校考阶段练习）若是的必要不充分条件，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·高一课时练习）若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020秋·陕西渭南·高三校考阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2023·全国·高一假期作业）有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积可能为（ ）
A．7B．9C．11D．13
6．（2022秋·福建泉州·高一统考期中）若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则a的值可能为（ ）
A．0B．C．1D．
三、填空题
7．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
8．（2023秋·安徽·高二合肥一中校联考开学考试）若，且，则的最小值为 ．
9.（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数，若不等式的解集非空，则的取值范围是 .
10．（2021秋·高一单元测试）已知函数.
（1）若在区间上为单调函数，则a的取值范围为 ；
（2）若在区间上的最小值为，则a的值为 .
四、解答题
11．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．
12.（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数（）．
(1)若的解集为，解关于x的不等式；
(2)若对任意的恒成立，求的最大值．
函数图象
判别式符号
(设判别式
Δ＝b2－4ac)
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
与x轴交
点个数
2
1
0
方程的根
的个数
2
1
0
根的分布(m＜n＜p)
图象
满足条件
一个
区间
只有
一个
根
x1＜m＜x2
f(m)＜0
m＜x1＜n
＜x2＜p
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＞0，,fn＜0，,fp＞0))
一个
区间
有两
个根
m＜x1＜
x2＜n
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,m＜－\f(b,2a)＜n，,fm＞0，,fn＞0))
m＜x1＜x2
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,－\f(b,2a)＞m，,fm＞0))
在(m，n)内有且只有一个根
或
f(m)·f(n)＜0或Δ＝0
且－eq \f(b,2a)∈(m，n)
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝0，,m＜－\f(b,2a)＜\f(m＋n,2)))
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fn＝0，,\f(m＋n,2)＜－\f(b,2a)＜n))
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
解不等式
f(x)>0
或f(x)<0
的步骤
判别式Δ
＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
求方程f(x)＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1＝x2
没有实数解
画函数y＝f(x)的示意图
得不等式
的解集
f(x)>0
__{x|x或x>x2}__
{x|x≠－eq \f(b,2a)}
R
f(x)<0
__{x|x1__∅__
__∅__