数学人教A版 (2019)第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数精品综合训练题

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知识点一
幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
知识点二
5种幂函数的图象
幂函数图象的要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．
根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
知识点三
5种幂函数的性质
1.5种幂函数的性质
2.共同性质：
（1）图象都过点（1,1）；
（2）在区间（0，+∞），幂指数大于0时，图象随x增大逐渐上升，函数为增函数；幂指数小于0时，图象随x增大逐渐下降，函数为减函数.
知识点四四
几个结论
对于形如 (其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
考点01 幂函数的解析式
【典例1】（2023秋·高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【典例2】（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
【规律方法】
形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，
考点02 幂函数的定义域、值域
【典例3】（2021·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（ ）
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
【典例4】（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
考点03 幂函数的图像
【典例5】（2023秋·高一课时练习）右图的曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知n分别取，，2四个值，相应的曲线对应的n依次为（ ）

A．，，1，2B．2，1，，
C．，，2，D．2，，，
【典例6】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【规律方法】
1.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．
2.幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：
①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．
考点04 幂函数的性质
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【典例8】（2022秋·江西九江·高一校考期中）下列函数中，即是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】（2023秋·高一课时练习）下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是 （填序号）．
①；②；③；④；⑤.
考点05 幂函数图像和性质的应用--求参数
【典例10】（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则（ ）
A．B．8C．4D．
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，则的值为（ ）

A．B．0C．1D．2
【典例12】（2021秋·高一校考课时练习）已知，若幂函数为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则 ．
【规律方法】
根据图象和性质，布列关于参数的方程，解方程即得.
考点06 幂函数图像和性质的应用--比较大小
【典例13】（2022·全国·高一专题练习）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例14】（2023秋·广东肇庆·高一校考开学考试）已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【典例15】（2023·全国·高一随堂练习）利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1)与；
(2)与.
【规律方法】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．
第一步，据指数分清正负；
第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；00时01，α<0时01；
第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．
【易错警示】用幂函数的性质解题时，易忽略函数的定义域及不同单调区间的讨论.
考点07 幂函数图像和性质的应用--解不等式
【典例16】（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【典例17】（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数a的取值范围．
【典例18】（2023春·河北石家庄·高一校考期中）已知幂函数
(1)求的解析式；
(2)若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间；
(3)若图像经过坐标原点，解不等式.
【总结提升】
求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．
考点08 幂函数图像和性质的其它应用
【典例19】（2022秋·全国·高一期末）已知，若，则（ ）
A．－2B．－1C．D．2
【典例20】（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）已知函数 且，则正数的值为 .
【典例21】（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是 ．
1．（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
一、单选题
1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023春·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·福建泉州·高一统考期中）已知实数x，y，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.（2022·高一课时练习）已知.若满足：当时，恒成立，则k取值的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、多选题
5．（2020秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
6．（2023春·广东深圳·高一校考期中）已知幂函数在上为单调增函数，则实数的值为 .
7.（2023秋·高一课时练习）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有α的值为 .
8.（2023春·北京·高一校考开学考试）试写出函数，使得同时满足以下条件： ①定义域为；②值域为；③在定义域内是单调增函数．则函数的解析式可以是 （写出一个满足题目条件的解析式）．
9．（2021秋·高一课时练习）对于幂函数，若0四、解答题
10．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上是减函数，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
11．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知幂函数的图像关于点对称．

(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像；
(3)直接写出函数的解集．
12．（2003·上海·高考真题）已知函数，.
（1）求证：是奇函数并求的单调区间；
（2）分别计算合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明.
函数特征性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R，且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇