数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）精品课时作业

这是一份数学必修 第一册3.4 函数的应用（一）精品课时作业，文件包含专题34函数的应用一原卷版docx、专题34函数的应用一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

知识点一
常见函数模型
(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)；
(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(3)分式函数模型：
(4)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)；
(5)分段函数模型
知识点二
函数应用问题解法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③求模：求解数学模型，得出数学结论；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
考点01 一次函数模型
【典例1】（2022秋·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：
若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（ ）
A．935元B．1000元C．1035元D．1100元
【答案】C
【分析】判断该顾客购物总金额的范围，根据题意列方程求得总金额，减去享受的优惠金额，即为此顾客实际所付金额，即得答案.
【详解】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，
享受折扣优惠的金额做多为元，
故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元 ，
则 ，解得（元），
则此顾客实际所付金额为元，
故选：C.
【典例2】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为，观影人数记为，关于的函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后关于的函数图像．给出下列四种说法，其中正确的说法是（ ）
A．图（2）对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图（3）对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图（3）对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
【答案】BC
【分析】由图（1）可设关于的函数为，，，分析出为票价，为固定成本，根据图（2）和图（3）图像的变化，即可分析出正确答案．
【详解】由图（1）可设关于的函数为，，，为票价，
当时，，则为固定成本；
由图（2）知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，固定成本减小，故A错误，B正确；
由图（3）知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，即变大，票价提高，不变，即不变，固定成本不变，故C正确，D错误；
故选：BC．
【规律方法】
在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
考点02 二次函数模型
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元.
【答案】
【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元，
则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值．
【详解】设售价为元，总利润为元，
则，
当时，最大，最大的利润元；
即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．
故答案为: .
【典例4】（2022·高一课时练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）.
(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；
(2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积.
【答案】(1)
(2)3.84
【分析】（1）根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.
（2）由（1）得出的函数的解析式，代入计算可得答案.
【详解】（1）依题意，横断面中的水面是下底为2m，上底为m，高为h m的等腰梯形，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以当水深为1.2m时，横断面水中的面积为3.84.
【温馨提示】
二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意实际问题中函数的定义域，否则极易出错．
考点03 分式函数模型
【典例5】（2023·全国·高三对口高考）某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利而另一套亏损，则此商贩__________．（填赚或赔多少钱）
【答案】赔14元
【分析】根据题设分别求出两套服装的进价，再用售价减两套进价即可得结论.
【详解】设盈利服装进价为，则，得元；
亏损服装进价为，则，得元，
所以，，故此商贩赔14元.
故答案为：赔14元
【典例6】（2022秋·河南漯河·高一漯河四高校考期末）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
(1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
【答案】(1)
(2)，最小面积为48平方米
【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围.
（2）令，将式子化成对勾函数后求最值.
【详解】（1）解：设的长为米（）
是矩形
由，得
，解得或
即的取值范围为
（2）令，（），则
当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米
【规律方法】
分式函数模型的应用技巧
（1）利用“配凑法”，创造应用基本不等式的条件.注意“一正、二定、三相等”.
（2）应用“对勾函数”的单调性.
考点04 幂函数模型
【典例7】（陕西西安·统考一模）某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.
(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【答案】(1)
(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
【分析】（1）根据待定系数法可得；
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得最大年收益.
【详解】（1）由题意设投入万元，稳健型产品的年收益，风险型产品的年收益，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，
所以
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，
则，
令，则，
当，即时，，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
【典例8】（2023·全国·高三对口高考）有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别记为p（万元）和q（万元），它们与投入的资金M（万元）的关系近似满足下列公式：，现有万元资金投入经营这两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元？获得的最大利润是多少万元？
【答案】当时，应对乙种商品投资万元，对甲商品投资万元，可获得最大利润为万元；当时，应对乙种商品投资万元，对甲商品投资万元，可获得最大利润为万元.
【分析】设对乙种商品投资万元，则对甲商品投资万元，总利润为万元，那么，代入可得关于的解析式，利用换元法得到二次函数，再由二次函数的性质，即可求得的最大值和对应的，即可得出结论.
【详解】设对乙种商品投资万元，
则对甲商品投资万元，总利润为万元，
依题意得，，
设，则，
所以，
因，
所以当，即时，
，此时，即；
当，即时，
，此时，即.
所以当时，应对乙种商品投资万元，
对甲商品投资万元，
可获得最大利润为万元；
当时，应对乙种商品投资万元，
对甲商品投资万元，
可获得最大利润为万元.
【总结提升】
涉及幂函数型应用问题，往往利用幂函数性质或应用“换元法”
考点05 分段函数模型
【典例9】（2023·全国·高一专题练习）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断不同用水单价计算不同用水量用完水的缴费情况，然后看其本月交纳的水费在那个范围，就可以确定其本月用水量的范围，再根据价格计算用水量即可.
【详解】先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为.
故选：B
【典例10】（2022秋·重庆万州·高一校考阶段练习）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
【答案】(1)
(2)立方米
(3)元
【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解.
【详解】（1）因为某户该月用水立方米，
按收费标准可知，当时，；
当时，；
当时，．
所以
（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，
所以， 解得．
所以该月的用水量为立方米．
（3）因为，
所以．
当时，，此时．
所以此时两户一共需要支付的水费是元．
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
【典例12】（2023·全国·高一专题练习）A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【答案】(1)10人、20人与180人；
(2)；
(3)至少要花11233元，最多要花16980元.
【分析】（1）设出老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，列出方程组，求出结果；（2）分与两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花11233元，最多要花16980元.
【详解】（1）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，
解得，则.
答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.
（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，
①当时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
综上：
（3）由（2）知，当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.
【规律方法】
构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个．
1．（2020·全国·统考高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
2．（2000·全国·高考真题）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：
某人一月份交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】C
【分析】首先根据所得税的征收方式，分别计算个人当月在不同工资段的最大值即可确定工资额.
【详解】解：设收入为元，税款为元
当时，；
当时，；
当时，；
有题设可知：
故可知：
故选：C
3．（2000·全国·高考真题）某蔬菜基地种黄瓜，从历年市场行情可知，从二月一日起的天内，黄瓜市场售价（单位：元/千克）与上市时间（第天）的关系可用如图所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本（单位：元/千克）与上市时间的关系可用如图所示的抛物线表示．

(1)写出图表示的市场售价与上市时间的函数关系式及图表示的种植成本与上市时间的函数关系式；
(2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大？
【答案】(1)，
(2)从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大
【分析】（1）采用待定系数法假设一次函数和二次函数解析式，代入已知点即可求得结果；
（2）收益为，结合二次函数最值可求得结果.
【详解】（1）当时，设，则，解得：，；
当时，设，则，解得：，；
综上所述：；
设，
，解得：，.
（2）设从二月一日起的第天的纯收益为，由题意知：，
即
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
当时，，
当时，在区间上取得最大值；
综上可知：当时，取得最大值，最大值为，
即从二月一日开始的第天上市，能使黄瓜纯收益最大．
一、单选题
1.（2023·全国·高一专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果.
【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
2．（2023·全国·高一专题练习）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）
A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元
C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元
【答案】D
【分析】求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值，求出的表达式，利用基本不等式可求得的最大值及其对应的的值，即可出结论.
【详解】由题意可得，
故当时，取得最大值，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，
当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.
故选：D.
二、多选题
3．（2023秋·高一课时练习）（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点
【答案】ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
4．（2023·全国·高一专题练习）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
5．（2022秋·高一单元测试）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
【答案】AC
【分析】根据函数图像依次分析各选项即可得答案.
【详解】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，
在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.
故选：AC
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
【答案】10
【分析】由题意，设该厂月获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可.
【详解】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10
7．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在一次数学实践课上，同学们进行节能住房设计，综合分析后，设计出房屋的剖面图（如图所示），屋顶所在直线方程分别是yx+3和x，为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，那么点A的横坐标为 ．
【答案】6
【分析】设A的横坐标为m，把代入两个直线方程，所得值相减（大减小）差为1，由此可解得，得结论．
【详解】设A的横坐标为m，则A的坐标为（m，0），∵屋顶所在直线方程分别是yx+3和yx，
为保证采光，竖直窗户的高度设计为1m，∴，解得m＝6，故点A的横坐标为6．
故答案为：6．
四、解答题
8．（2021秋·上海静安·高一校考期中）国家为了加强对酒类生产的管理，现对酒类销售加征附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年销售100万瓶．若征收附加税，规定税率为（即每销售100元要征附加税元），则每年的产销量将减少万瓶．如果要保证每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么附加税税率应定在什么范围？
【答案】附加税税率应定在范围．
【分析】设销量为每年万瓶，建立销售收入和附加税之间的关系，即可求出附加税税率的范围
【详解】设销量为每年万瓶，则销售收入为每年万元，
从中征收的税金为万元，，则销量变为，
因为要保证每年在此项经营中所收取的附加税额少于112万元，
所以，解得，
故附加税税率应定在范围．
9．（2022·上海·高一专题练习）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
【答案】40元
【分析】每件定价为元，由题意可得，整理得，求解即可.
【详解】解：设每件定价为元，则提高价格后的销售量为万件，
由销售的总收入不低于原收入，得，
整理得，解得．
故要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
10.（2023·全国·高一假期作业）党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元
【分析】（1）根据函数模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出结果.
（2）建立获利和对A投资的函数，换元转化成二次函数，求出最大值.
【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
由题意知， 。
由图可知，
从 ，
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元。
则 ，
令 则
当，
所以当A产品投入6万元，B产品投入万元时，企业获得最大利润为7万元.
，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；
时，，
其中，在上单调递减，在上单调递增，因为 ，故 时，取得最小值
故在 时，y取得最大值
而，
故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润为7170万元.
11．（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费—月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
(2)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，当且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【答案】(1)48000元；37辆
(2)
【分析】（1）确定每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的每辆车的月租费，即可求得甲公司的月利润；列出每个公司的月利润，可得方程，求得答案；
（2）由题意列出甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差的表达式，结合二次函数的性质列出不等式，可得答案.
【详解】（1）由题意可得=48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，设两公司的月利润分别为，月利润差为y，
则， ，
由题意可得：，
解得：，
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则此时利润差为=，
函数图象对称轴为直线，
∵x只能取整数，且仅当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：，经检验此时满足捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
故a的取值范围为.
12．（2023·全国·高一专题练习）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【答案】(1)
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
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超过2000元至5000元的部分
15%
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