专题4.4+对数函数（讲+练，12大考点）高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

这是一份专题4.4+对数函数（讲+练，12大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册），文件包含专题44对数函数原卷版docx、专题44对数函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

专题4.4 对数函数知识点一对数函数的概念函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).知识点二对数函数的图象和性质知识点三反函数对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识点四常用结论1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当01，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当01或x>1,00，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．考点06 对数（型）函数图象的辨识【典例11】（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）函数的图像大致为（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】C【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.【详解】的定义域为且，因为，所以为奇函数，排除A，D，当时，，B错误，故选：C.【典例12】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）已知，函数与的图像可能是（    ）A．   B．    C．   D．  【答案】AB【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案．【详解】因为，即，所以，当时，则，指数函数在上单调递减，且过点；对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像，则在上单调递减且过点，故A符合题意；当时，，同理可得，指数函数在上单调递增，且过点，在上单调递增且过点，故B符合题意；故选：AB．【规律方法】识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析： = 1 \* GB3 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； = 2 \* GB3 ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； = 3 \* GB3 ③从周期性，判断图象的循环往复； = 4 \* GB3 ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． = 5 \* GB3 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： = 1 \* GB3 ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； = 2 \* GB3 ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．考点07 对数（型）函数图象过定点问题【典例13】（2022秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期中）已知幂函数的图象过函数且的图象所经过的定点，则的值等于（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】首先根据函数是幂函数求，再根据函数所过定点求.【详解】因为函数为幂函数，所以，得，即，函数且的定点为，即.故选：D【典例14】（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知函数（且）过定点，且定点在直线上，则的最小值为 .【答案】/0.5【分析】根据对数型函数过定点可得，即可由不等式乘“1”法求解最值.【详解】由于（且）过点，故，将代入中可得，由于，所以，当且仅当时，即时等号成立，故最小值为，故答案为：【总结提升】形如y＝af (x)的函数的值域，可先求f (x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af (x)的值域．考点08 对数函数图象的应用【典例15】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助函数图象，可直接判断的大小关系.【详解】在同一直角坐标系中作出，，，的图象，  由图象可知.故选：B.【典例16】（2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试）已知函数，（1）当时，则实数a，b之间的大小关系是 ；（2）若，且，则的取值范围是 .【答案】 【分析】（1）利用对数函数的单调性即可判断；（2）画出函数图象，整理可得，构造函数，由对勾函数的性质求出的取值范围.【详解】，，.作出函数图象如图，由图可知，当时，，，，即.令，由对勾函数的性质得在上单调递增.，即.故答案为：；.考点09 对数（复合）函数的单调区间【典例17】（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）若为奇函数，则的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间.【详解】函数为奇函数，的定义域为，由，∴，函数的定义域为，函数在定义域内单调递增，当时，的单调递增区间为，所以的单调递增区间为.故选：D．【典例18】（2021·天津·高一期末）函数的单调递减区间是___________．【答案】【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案.【详解】，，解得或.函数的开口向上，对称轴是轴，在上递减，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递减区间是.故答案为：【总结提升】复合函数的单调性遵循“同增异减”.考点10 对数（复合）函数的奇偶性问题【典例19】（2023秋·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）已知函数是奇函数，则实数的值为 .【答案】1或【分析】由题意可得，求出，检验即可.【详解】由题意知，定义域为，函数是奇函数，则，即，化解得，解得或，经检验，或都符合要求.故答案为：1或.【典例20】（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）函数是定义在R上的偶函数，是奇函数，且当时，，则 .【答案】1【分析】根据函数的奇偶性判断周期性，带入解析式计算求函数值即可.【详解】由题意可得，故的一个正周期为4，即，故答案为：1【总结提升】(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．(2)用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．考点11 对数（复合）函数单调性应用【典例21】（2023·浙江·模拟预测）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数、对数函数单调性，结合“媒介数”比较大小即可.【详解】依题意，，，即，而，所以.故选：C【典例22】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是 ．【答案】【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果.【详解】在上单调递减，若在上单调递增，则在上单调递减且在上恒成立，，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.【总结提升】1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2.根据单调性求参数问题，要注意转化成“恒成立”问题，建立不等式（组）求解.考点12 求对数（复合）函数的最值【典例23】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则下列选项错误的有（    ）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．存在最小值 D．存在最大值【答案】D【分析】化简函数的解析式，求解函数的定义域，利用对数函数的性质，以及复合函数单调性的判断条件，逐项判断.【详解】，由得，故函数的定义域为；令，则，二次函数开口向下，其对称轴为直线，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又函数在上单调递增；由复合函数的单调性，可得在上单调递增，在上单调递减；故A、B错误；因为时，，即，所以在上的最大值为，无最小值；故C错误，D正确.故选：D.【典例24】【多选题】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（　　）A．B．函数的图象与x轴有两个交点C．函数的最小值为D．函数的图象关于直线对称【答案】ABC【分析】求出函数定义域，并化简函数式，再逐项分析判断作答.【详解】函数的定义域为，则，对于A，，A正确；对于B，由，得，即或，解得或，因此函数的图象与x轴有两个交点，B正确；对于C，显然，当且仅当，即时，函数取得最小值，C正确；对于D，由于，而数0不在函数的定义域内，因此函数的图象关于直线不对称，D错误.故选：ABC【总结提升】复合函数问题，往往利用换元法，即把对数式看做一个变量，将问题加以转化.考点13 根据对数（复合）函数的最值求参数【典例25】（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数 .【答案】2【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解.【详解】当时，函数在区间上单调递增，所以，解得当时，函数在区间上单调递减，所以，无解故答案为：2【典例26】（2023春·四川泸州·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称．(1)判断函数在定义域上的单调性，并用并调性的定义证明；(2)设函数（且）在上的最小值为1，求的值．【答案】(1)函数在定义域内单调递增，证明见详解(2)【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，再结合单调性的定义分析证明；（2）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解.【详解】（1）因为函数的图象关于原点对称，则，即，整理得，又因为，则，所以，解得，即，可知函数在定义域内单调递增，证明如下：任取，且，因为在定义域内单调递增，则，可得，即，则，即，所以函数在定义域内单调递增.（2）令，由（1）可知在内单调递增，且，即，则，可得，由题意可知：当时恒成立，当时，则，符合题意，所以；当时，则当时恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以且；综上所述：且.当，则开口向上，对称轴，可知当时，取到最大值，且在定义域内单调递减，则，可得，解得（舍去）；当时，则开口向上，对称轴，可知当时，取到最小值，且在定义域内单调递增，则，可得，解得或（舍去）；综上所述：的值为.考点14 对数函数与奇偶性、单调性综合问题【典例27】（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，，则下列不等式正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期，然后利用函数的性质计算或估计、、的值或范围即可比较大小.【详解】因为奇函数的图象关于直线对称，所以，，所以，即，所以，即函数的周期，当时，，，所以，即，所以，又，所以，所以，即，又，，所以.故选：C【典例28】（2023秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数是定义在上的偶函数，不等式可化为，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可．【详解】函数是定义在上的偶函数，则，又，则，即为，即，即，又因在区间上单调递增，所以，则或，解得或，所以的取值范围是．故选：A．考点15 互为反函数图象对称性及其应用【典例29】（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由反函数的定义以及对数运算即可求解.【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，所以.故选：A.【典例30】（2020秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是 .【答案】【分析】求出的解析式，然后利用复合函数的单调性求解.【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，则，定义域为，且在上单调递减，令，由，得，当时，单调递增；当时，单调递减，则函数的单调递增区间是.故答案为：（也正确）.考点16 对数（复合）函数与不等式的综合问题【典例31】（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)求函数的值域；(2)解关于的不等式；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根据对数的运算性质可化简由换元法结合二次函数的性质即可求解，（2）由一元二次不等式以及对数不等式即可求解，（3）分离参数，结合基本不等式求解最值即可求解.【详解】（1）因为定义域为，则设，则，所以值域为.（2）不等式可化为，即解得或即或，解得或所以不等式的解集为或（3）因为，所以，设，则，原问题化为对任意，即，因为（当且仅当即时，取等号），即的最小值为0，所以.【典例32】（2022秋·天津滨海新·高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）已知函数的图象过点，．(1)求函数的解析式；(2)若函数区间上单调递减，求实数的取值范围；(3)设，若对于任意，都有，求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）根据函数过点代入求出的值，即可得解；（2）根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减且大于零恒成立，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可；（3）首先求出，再求出，依题意可得，即，设，利用单调性的定义证明的单调性，从而得到，结合单调性，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）因为函数的图象过点，所以，所以，所以.（2）由于，所以在上单调递增，函数在区间上单调递减，由复合函数单调性可知，函数在上单调递减且大于零恒成立，则，解得，∴实数的取值范围.（3）因为且，所以且，因为，对称轴方程为，所以在上单调递减，在上单调递增，则的最大值是或．因为，即．所以，若，只需，即，则，设，任取，且，则，因为，所以，，，即，所以，所以，即，所以在区间上单调递增，且，所以，即，所以，即的取值范围是．【点睛】关键点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔.【总结提升】常见的对数不等式有三种类型：(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.2．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时， ，所以，排除D.故选：B.3．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（    ）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.一、单选题1.（2024秋·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习）函数的定义域为（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.【详解】由题意得： ，解得，定义域为.故选：A.2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值域为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域.【详解】令，则，又，所以原函数可变为，，所以，，所以的值域为.故选：A.3.（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知函数为奇函数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的知识求得，进而求得.【详解】，因为是奇函数，所以，即，解得，故.故选：D4.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知，，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由幂函数、指数函数的单调性即可比较大小.【详解】一方面因为幂函数在上单调递增，所以，另一方面因为对数函数在上单调递减，所以，结合以上两方面有：.故选：D.5.（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案.【详解】变形为：，即在上恒成立，若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意；当时，画出两个函数的图像，  要想满足在上恒成立，只需，即，解得：，综上：实数a的取值范围是.故选：C6.（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得出是偶函数，把不等式化为，结合函数的单调性与奇偶性，得到，求解不等式即可．【详解】因为函数是定义在上的奇函数，即，当时，又有意义，所以是定义域上的偶函数，又因为在区间上单调递增，所以，所以，即，所以，则或，解得或，所以的取值范围是．故选：D．二、多选题7．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，则函数与的图象可能是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】AC【分析】分和两种情况，结合函数的单调性和图象特征，判断选项.【详解】若，则函数的图象单调递减且过点，函数的图象单调递减且过点；若，则函数的图象单调递增且过点，而函数的图象单调递增且过点，只有A,C的图象符合．故选：AC8.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ）A．若值域为，则 B．若定义域为，则C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则【答案】AC【分析】结合对数函数的单调性和二次函数的性质逐项分析判断；【详解】选项A：值域为，说明函数能取到所有大于0的数，当时，不满足；当时，，解得：，选项正确；选项B：当定义域为时，函数恒成立，当时，恒成立；当时，，解得：，综上，，选项错误；选项C：若最大值为0，即的最小值为，故有，解得：，选项正确；选项D：若最小值为1，即的最大值为，则有，无解，选项错误；故选：AC.三、填空题9．（2023秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知函数，则函数的值域为 ．【答案】【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解．【详解】由于，由，得，解得，即函数的定义域为,．，又，，，故函数的值域为， 故答案为：10．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．【答案】【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，作出函数的大致图象如图所示，由图可得，要使函数的图象不过第四象限，则，即，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.四、解答题11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）在上的最大值为.(1)求的值；(2)当时，，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值；（2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，函数在上单调递增，则，解得；当时，函数在上单调递减，则，舍去；综上可知，；（2）由（1）得，，当时，，即，化简得，构造，和分别在上单调递增，在上单调递增，，故实数的取值范围是.12.（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，．(1)求函数在区间上的最小值；(2)若对，，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)6(2)【分析】（1）令，将函数化为，利用基本不等式求最值；（2）独立m，将问题转化为，使得成立，求的最大值，得m的取值范围.【详解】（1）令，因为，所以，则可化为，，因为，当且仅当，即，时，等号成立，所以时，取最小值6.（2）由（1），，因为，，使得成立，所以，使得成立，即，使得成立，令，因为，，所以，使得成立，因为当，，当，即时，取最大值2，所以.a>101时，y>0；当01时，y<0；当00在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数