热点专练01+均值不等式应用高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

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热点专练01 均值不等式应用第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、单选题1．（2022秋·海南·高一校考期中）已知，代数式的最大值为（     ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：A2．（2023·全国·高一专题练习）如果，那么下列不等式正确的是（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.【详解】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，，所以，，∴.故选：B3．（2021秋·江西抚州·高一临川一中校考阶段练习）如图是在北京召开的第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是A．如果，那么B．如果，那么C．对任意正实数和，有， 当且仅当时等号成立D．对任意正实数和，有，当且仅当时等号成立【答案】C【解析】观察图形，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由四个三角形的面积和大正方形的面积的大小关系，得到，结合基本不等式可得出结论.【详解】通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边为，短直角边为，则大正方形的边长为，如图，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即，当时，中间空白的正方形消失，即整个正方形与四个直角三角形重合.故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）若x，y为正数，且+2y=3，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得的最大值.【详解】由x，y为正数得3=+2y≥2，即，所以≤，≤，当且仅当，即x=，y=时等号成立.故选：D5．（2023秋·贵州遵义·高三校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意结合基本不等式运算求解.【详解】因为，均为正数，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：C.6．（2023·全国·高一专题练习）设为正数，且，则的最小值为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由题意为正数，且，则，当且仅当，结合，即时等号成立，即的最小值为2，故选：A7．（2023春·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）函数在时有最大值为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值．【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，所以函数，解得，，所以．故选：C．8．（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足，则的最小值是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】方法一  由，从而，利用基本不等式求解；方法二  对原条件式转化得，得到 ，利用基本不等式求解；【详解】解：方法一  由条件得，由，知，从而，当且仅当，即，时取等号．故的最小值为5．方法二  对原条件式转化得，则 ，当且仅当，，即，时取等号．故的最小值为5．故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·江西·高三统考开学考试）若，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为，所以，所以，即，故A错误；因为，所以，故B正确；由，得，.所以，当且仅当，即时等号成立，因为，所以等号不成立，故，故C正确；因为，所以，所以，所以，所以，即，故D正确.故选：BCD10．（2023·山西大同·统考模拟预测）若均为不相等实数，下列命题中正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．当时，不等式成立【答案】AB【分析】根据不等式的性质、基本不等式逐项判断即可得答案.【详解】选项A，由不等式性质可得若，，则，故A正确；选项B，若，，由得，故，当且仅当时，即时等号成立，因，故B正确；选项C，若，，如，，，时，，，故C不正确；选项D，当时，，此时，与矛盾，故D不正确．故选：AB．11．（2023秋·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）若正实数满足，则下列结论正确的是（    ）A．的最小值为4 B．的最大值为4C．的最小值为 D．的最大值为8【答案】ABC【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，正实数满足，对于A中，由，当且仅当时，等号成立，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以 B正确；对于C中，由，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以C正确；对于D中，由，因为，所以的最小值为，当且仅当时取得最小值，所以D错误. 故选：ABC.12．（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中，是真命题的是（    ）A．，且，B．，使得C．若，，D．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是【答案】BCD【分析】对A，当时，不成立；对B，当时，成立；对C，将分式化整式，等价转化为证明命题即可；对D，分离参数转化为求函数最值求解.【详解】对选项A，当时，，不满足，故A错误；对选项B，当时，成立，即，使得成立，故B正确；对选项C，由，，.又，且，两式相乘得，结论得证，故C正确；对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可.因为，由得，设，则，当且仅当即时，等号成立.故的最小值为，则，故D正确.故选：BCD.第II卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值是 .【答案】5【分析】由配凑法结合基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当，即舍去）时取等号，的最小值为，故答案为：.14．（2023·全国·高一专题练习）若，则的最大值为__________【答案】2【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】，由于，所以，故，当且仅当时等号成立，故最大值为2故答案为：215．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为，深3m.若池底每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为 元.【答案】8160【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】设长，宽，∴，∴，总造价.当且仅当时取得等号.故答案为：816016．（2023秋·北京通州·高一统考期末）已知，则的最大值为 ，最小值为 ．【答案】 【分析】由可推出，即得，即可得到最值.【详解】因为成立，当且仅当时，等号成立.所以，即，解得.所以，当且仅当时，有最大值；当且仅当时，有最小值.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023春·山东济宁·高二校考阶段练习）已知第一象限的点在直线上，求的最小值.【答案】【分析】根据题意可得，结合基本不等式运算求解.【详解】因为第一象限的点在直线上，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.18．（2023·全国·高一课堂例题）x，y，z为正数，求的最小值.【答案】4【分析】将原式变形为，再利用基本不等式即可.【详解】，当且仅当时等号成立.故的最小值为4.19．（2022秋·海南·高一校考期中）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出关于的不等式，解之即可.【详解】解：因为，，且，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因为恒成立，则，即，解得.因此，.20．（2021秋·江苏盐城·高一校联考期中）已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）由基本不等式得到，从而求出；（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】（1）因为，，由基本不等式得，即，解得，当且仅当时，等号成立，故的最大值为；（2）因为，，，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为8.21．（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知不等式的解集为．(1)求实数的值；(2)若，且，求的最小值．【答案】(1)4(2)【分析】（1）分，，三种情况讨论即可；（2）设，，则.利用和基本不等式即可求解.【详解】（1）当时，不等式的解集为，不合题意；当时，不等式的解集为，不合题意;当时，，即，因为不等式的解集为，所以.（2）由(1)知，，设，，则.，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.22．（2023·全国·高一专题练习）已知.(1)求证：；(2)求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用基本不等式有，即可证结论；（2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.【详解】（1）由，，当且仅当时取等号.所以，得证.（2）当且仅当时取等号，故的最小值为2.