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2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.5正余弦定理的综合运用含解析答案
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这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）4.5正余弦定理的综合运用含解析答案，共68页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在△中，点D在边上，平分，，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A．B．
C．2D．
4．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（ ）
A．B．C．6D．
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．12D．15.
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （ ）
A．B．C．D．
9．在中，边上的高等于，则（ ）
A．B．C．D．
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．在梯形ABCD中，，，，，，E，F分别为AD，BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．边上的中线长为2B．为锐角三角形
C．D．的周长为12
15．已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，.则下列结论不正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．
C．的最大值为
D．的取值范围为
16．已知外接圆的半径为，为边的中点，，为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
17．如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积的最大值为
18．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ）
A．△ABC面积的最大值为B．的最大值为
C．D．的取值范围为
19．已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（ ）
A．的面积最大值为
B．的取值范围为
C．的值可能为3
D．的最小值为
三、填空题
20．在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ．
21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为 .
22．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ．
23．在中，角、、的对边分别为、、．若是、的等比中项，则角的最大值为 ．
24．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 .
25．锐角中，，角A的角平分线交于点， ,则 的取值范围为 .
26．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .
四、解答题
27．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且.
(1)求;
(2)若，为的中点，求中线的取值范围.
28．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且，求．
29．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
(1)求的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
30．中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.
31．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______．
(1)求角B的大小：
(2)若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值．
32．记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求.
(2)求面积的取值范围.
33．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
34．在中，已知角，，所对的边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
35．在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求A；
(2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值．
36．在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形中，角所对的边分别为，______．
(1)求；
(2)已知是的平分线与的交点，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
37．已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
38．已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
39．已知向量.
(1)求的取值范围；
(2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
40．设函数，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.
41．如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.
42．如图，在平面四边形中，，，.
(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
43．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
44．如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
45．已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点．
(1)若，求面积的最大值；
(2)证明：．
46．在中，角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：的周长为9.
47．中，内角的对边分别为的外接圆半径为，已知.
(1)求；
(2)已知的平分线交于点，从以下三个条件中选择两个，使唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②：；条件③：.
48．记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
49．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
50．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
51．已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．
52．的内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求A的大小；
(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①M为的重心，；
②M为的内心，；
③M为的外心，．
53．已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
54．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
55．在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
56．已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和．
57．已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
58．某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若，求排水沟BD的长；
(2)若，试用表示4条人行道的总长度．
参考答案：
1．B
【分析】本题角平分线长问题，利用面积关系，结合面积公式，就能求解出的长.
【详解】因为，
所以,
即，代入，，
可得，则，
解得．
故选：B.
2．A
【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由是边上的中线，得
.
所以，中线长.
故选：A
3．B
【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由可得，解得.
故选：B.
4．D
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，得到，结合，列出方程求得，再利用余弦定理，即可求解.
【详解】因为及，可得，
由余弦定理得，
又由，所以，
因为，即，解得，
由余弦定理得，即．
故选：D．
5．D
【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，所以，由于，故，则，
由正弦定理得，
故，
又，则，所以，则，
故△ABC周长的最大值为.
故选：D.
6．C
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由，由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当，即时，取得最大值.
故选：C.
7．B
【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.
【详解】由，得，，
由正弦定理可得，即，
所以，所以或（舍去），所以，
由正弦定理得,，
而，，所以，
所以，所以，所以的取值范围为.
故选：B
8．C
【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【详解】在中，由可得，
由正弦定理得：
又为锐角三角形，所以，解得，
令，则，
因为在时单调递增，
所以，则.
故选：C
9．B
【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解.
【详解】如图，边上的高为，，且，
所以，则，
则，，
所以，则.
故选：B
10．B
【分析】由半角公式和正弦定理得到，结合角的范围得到，，，得到答案.
【详解】，
故，
由正弦定理得，
其中，
即，
故，
因为，所以，故，
因为，所以，
的形状为直角三角形.
故选：B
11．C
【分析】联立题干所给式子以及余弦定理可得，在把代入题干可表示出，在根据的范围求解。
【详解】中，
由余弦定理可得：
，整理可得，
又，则，
，，则，
可得，则，即，
故选：C
12．A
【分析】由题意，过点作，交于，，交于，分别在，运用余弦定理，求出即可.
【详解】
过点作，交于，，交于，
又因为，
所以四边形和四边形为平行四边形，
所以，，
因为，，，，
所以，
因为E，F分别为AD，BC的中点，
所以，，
所以，
所以在中，，
所以在中，，
所以，
故选：A.
13．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可.
【详解】因为，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
因为是锐角三角形，所以，，所以．
又在上单调递增，所以，则．
因为是锐角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因为，所以．
在上单调递增，
当时，，当时，，
故
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
14．A
【分析】在边AB上取一点D，使，设，在中利用余弦定理可求出，再求出，然后在中利用余弦定理求出，从而可判断三角形的形状，再逐个分析判断.
【详解】如图，在边AB上取一点D，使.
设，则，
所以.
，解得，
所以.
在中，，
所以，解得，
所以，所以为直角三角形，所以B错误.
因为，所以CD为斜边AB上的中线，所以A正确；
因为，所以C错误；
因为的周长为，所以D错误.
故选：A.
15．B
【分析】由余弦定理和基本不等式可判断A；由余弦定理可判断B；由正弦定理可得，由平面向量数量积的定义、两角和与差的正弦展开式可判断C；，再根据的范围可判断D.
【详解】对于A选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得
，
即，当且仅当时，等号成立，
故，
所以，的面积的最大值为，故A正确；
对于B选项，，
故B错误；
对于C选项，由正弦定理可得，
则，因为，则，所以，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为，故C正确；
对于D选项，因为，则，
由题意可知，，所以，，
,
当时，，则；
当时，，
则.
综上所述，的取值范围为，故D正确.
故选：B.
16．C
【分析】解法一：利用正弦定理和外接圆的半径可求得，设，利用正弦定理将，用角的三角函数表示出来，再利用三角恒等变换及三角函数的值域即可求解；
解法二：利用正弦定理和外接圆的半径可求得，利用向量可得，令，再由关于的方程至少有1个正根，利用判别式可得其范围；
解法三：利用正弦定理和外接圆的半径可求得，在和中，分别利用余弦定理可得，令，再由关于的方程至少有1个正根，利用判别式可得其范围.
【详解】解法一：
根据正弦定理得，所以，
因为为钝角，所以；
延长到，使得，连接，如下图所示：
易知四边形为平行四边形，且．
设，则，所以，
即，
所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
可得的取值范围是．
解法二：
根据正弦定理得，
所以，因为为钝角，所以
因为为边的中点，所以，可得，
设，则①．
设，则，
将其代入①得②，
所以关于的方程至少有1个正根；
当，即，
经检验，当时，方程②即，解得，则，不合题意；
当时，方程②即，解得，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是．
解法三：
根据正弦定理得，
所以，因为为钝角，所以；
设，根据余弦定理得，
在中易知，
又在中可得，
所以可得，即，
将代入，得①，
设，则，
将其代入①得②，
所以关于的方程至少有1个正根；
当，即，
经检验，当时，方程②即，解得，则，不合题意；
当时，方程②即，解得，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是．
故选：C
【点睛】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：
一是将所求量表示为与边有关的形式，利用函数知识或基本不等式求得最值或范围；
二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．
17．ABC
【分析】根据题意，求得，得到，即为等边三角形，可判定A、B正确；设，利用余弦定理得，结合三角形的面积公式，得到四边形的面积为，进而求得最大值，可判定C正确，D错误.
【详解】因为，由正弦定理得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，所以为等边三角形，
可得，，所以A、B正确；
设，
在中，由余弦定理得，
且，
可得，
所以四边形的面积为，
当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误.
故选：ABC.
18．AB
【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.
【详解】由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，A正确；
，
其中由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，
故最大值为，的最大值为，
B正确；
，
故C错误；
，
因为，所以，
所以，D错误.
故选：AB
【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
19．BC
【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，再逐一分析判断各个选项即可.
【详解】因为为锐角三角形，所以，解得，
同理可得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
A选项，，A错误；
B选项，由余弦定理得，即，
所以，
所以
，
因为，所以，B正确；
C选项，因为，
而，所以的值可能为3，C正确；
D选项，
，当且仅当时取等号，
但，
而，所以，
故，等号取不到，D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
20．
【分析】用两种方法表示，求得，代入面积公式中计算即可.
【详解】
因为边BC的中线，，所以，，
，
又，
所以，，
.
故答案为：.
21．/
【分析】由已知条件，运用正弦定理把边化角，求得，再利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值.
【详解】因为，，所以，
由正弦定理可得，即，
，因为，所以，故，
由余弦定理得，
所以，即，当且仅当时取等号，
由，，得，
所以.
故答案为：.
22．
【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函数的单调性求三角形的面积的取值范围.
【详解】由题意及正弦定理，得．
因为，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，
由正弦定理，得，
所以，
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，从而．
23．/
【分析】由等比中项的性质得到，再由余弦定理及基本不等式求出的范围，即可求出的范围，从而得解.
【详解】因为是、的等比中项，
所以，即，
由余弦定理，当且仅当时取等号，
又，所以，所以角的最大值为.
故答案为：
24．
【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即.
【详解】中，，，
所以，所以，
根据正弦定理，，
即，
因为，所以，
由为三角形内角可知，，
根据正弦定理，，
所以
，
其中，，
当时取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
25．
【分析】根据正弦定理表示出，，从而表示出，根据角的范围结合三角恒等变换求得答案.
【详解】由已知得， ,
在中，由正弦定理得， ,
同理可得 ,
故,
而
，
因为锐角中， ,
故，则，，
故，
故答案为：
26．
【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解.
【详解】设，则，
在中，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，当时，有最小值，此时取最小值，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题.
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可；
（2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解.
【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，，
根据正弦定理可得，即，
所以，则，
整理得，即，
又，所以，即.
（2）因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，所以，
所以中线的取值范围是.
28．(1)
(2)
【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B；
（2）利用图形中的向量关系，有，由向量数量积和余弦定理化简得结果.
【详解】（1）因为，即，
由正弦定理可得：，整理得，
由余弦定理可得，
且，所以．
（2）因为，则，
可得，
则，即，
整理得，
由余弦定理可得，则，
即，所以．
29．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；
（2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解；
法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解；
若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解；
法2：由，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得，
又由的周长为，可得，即，
由余弦定理得
，解得，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，
所以的外接圆面积为．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，及，
由，可得
，
所以，即．
法2：不妨设，由及，解得，
在和中，可得，
由余弦定理得，解得．
若选择②，不妨设，由及，解得，
法1：由，
可得，解得．
法2：由张角定理，得，
即，解得，
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解，
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）由于，所以，
即，取等号，
故，
故
31．(1)
(2)
【分析】（1）①由三角恒等变换可得；②由正弦定理和正弦展开式可得；
（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出面积最值即可.
【详解】（1）选①，因为，
所以，
即，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以.
选②，由及正弦定理得，
所以，
即，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
（2）如图：
由题意，，
因为，
由余弦定理，，
所以，即，
因为，所以，即，
当且仅当，即，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
32．(1)；
(2).
【分析】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
（2）利用正弦定理得，结合为锐角三角形，求得，进而求得，即可求解.
【详解】（1）方法一：由余弦定理，得，解得.
又，所以由正弦定理，得.
又为锐角三角形，所以.
方法二：由题意知，.
由正弦定理得，
所以，
所以，即；
又因为，所以，又因为，所以.
（2）由正弦定理，得；
因为为锐角三角形，所以，
解得，所以，所以.
因为，所以，所以.
故面积的取值范围为.
33．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用为锐角三角形，求出角C的范围，即可求得a的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）因为中，，即，
而，故，
故，又，
则；
（2）由（1）以及题设可得；
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，，，
则，
则，则，
即，则，
即面积的取值范围为.
34．(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得，根据锐角三角形可得的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在中，
，
因为，
所以，
化简得，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由正弦定理知
，
由为锐角三角形可知，而，
所以得，
所以，
所以，即 ，
则的取值范围为.
35．(1).
(2)4
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果；
（2）方法一：根据题意，分别在与中由正弦定理化简，即可得到，从而得到结果；方法二：由余弦定理可得，再由正弦定理代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
所以，所以，
因为，所以，因为，所以.
（2）方法一：设，则：
在中，，①，在中，，②
：，所以，所以，所以AD的最大值是4
解法二：在中，由余弦定理得，=，
因为，
所以四边形存在一个外接圆，所以圆的直径为
因为，即，当AD为圆O直径时取等号，故的最大值为4.
36．(1)
(2)．
【分析】（1）选择条件①降幂后，再由正弦定理化为边，由余弦定理求解；选择条件②由正弦定理化为三角函数化简即可得解；选择条件③由三角形面积公式、余弦定理化简得解；
（2）由角平分线定理、正弦定理化简，再由正切函数性质结合不等式性质求范围即可.
【详解】（1）方案一：选择条件①
，
，
，
，
．
，．
方案二：选择条件②
，，
，，．
，，
．
方案三：选择条件③
由题，，
，．
，
，，
．
（2）是的平分线，
．
在中，，由正弦定理得，
，
是锐角三角形，
，，
，
的取值范围为．
37．（1）；（2）.
【分析】（1）利用图象变换求出函数的解析式，由求出，利用正弦函数的基本性质求出，结合已知条件可求得实数的值；
（2）利用为锐角三角形求出角的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，
则，
，，
当，即时，最大值，所以，；
（2），
，则，所以，，所以，，
，
是锐角三角形，由，解得，
所以，，，则.
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
38．（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
39．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围.
【详解】（1）（1）因为，
可得
，
因为，所以.
（2）解：由题意得
，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，所以，
又因为，则，且，所以，
因为，所以，所以，则，
则，所以函数的值域是.
40．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值.
（2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值.
【详解】（1）由题设，，
所以，当时的最小值为.
（2）由，得：，则，又，
所以，故，则.
由，可得：.
在△中，由余弦定理得：，
所以.
由，则.
41．（1）；（2），取最小值.
【分析】（1）在四边形中，根据，，，求得 ，然后在中，利用正弦定理求解.
（2）根据四边形内角和，得到，然后在中，利用正弦定理求得DC，同理在中，求得BC，然后利用，结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）在四边形中，因为，
，，所以 ，
在中，可得，
又，，
由正弦定理得:，即，
解得：，.
（2）因为，可得，
因为四边形内角和，所以，
在中，，
在中，，
，
，
，
当时，取最小值.
【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
42．(1)
(2).
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以.
（2）设四边形的面积为S，
则，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即S有最大值.
此时，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，对角线的长为.
43．(1)4；
(2).
【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果；
（2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.
在中，，则，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）设，.
又，所以.
因为，所以.
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
当且仅当，即时，取得最大值1，
所以的最大值为.
44．(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.
45．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用正弦定理得出的角度，借助基本不等式根据余弦定理得出的最大值，从而得出面积的最大值；
（2）利用余弦定理，由可得出，同理可得，由恰为的中点，可证本题.
【详解】（1）解：由正弦定理，得，
所以，
又，所以或，
当时，
由余弦定理，得
，
所以，的面积，
当且仅当时，取等号；
当时，
同理可得，的面积，
当且仅当时，取等号．
综上，面积的最大值为；
（2）证明：设，
由余弦定理知，，
因为，
所以，
化简整理得，
而，因此，
又因为是外心，故，
同理可知，
因为恰为的中点，
因此，所以．
46．(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由（1）得到，若选条件①：由余弦定理求得，，得出存在且唯一确定，结合面积公式，求得的面积；
若选条件②：由，得到，分类为锐角和为钝角，两种情况，结合余弦定理，列出方程，得到存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：由和，求得的值，再由余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
又因为，可得，
所以，可得.
（2）解：由（1）得，由正弦定理得，
若选条件①：由余弦定理得，即，
又由，解得，则，此时存在且唯一确定，
因为，则，可得，
所以；
若选条件②：由，因为，即，
若为锐角，则，
由余弦定理，即，
整理得，且，解得，则；
若为钝角，则，
由余弦定理得，即，
整理得，且，解得，则；
综上所述，此时存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为，即，解得，则，
所以此时存在且唯一确定，
由余弦定理得，
因为，可得，
所以．
47．(1)
(2)选择条件②和③；，
【分析】（1）利用正弦定理得，可求出，再根据的范围可得答案；
（2）由余弦定理得，条件①中，所以，显然不符合题意，由条件②，条件③解得，由余弦定理可得，利用为的平分线得，再由余弦定理可得答案.
【详解】（1）由已知得，
得，
即，即，
又因为，故；
（2）由（1）得中，
由余弦定理得，
所以，
而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②，条件③，解得，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，因为为的平分线，
所以，
又因为，所以，
在中，，
所以.
48．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得，再代入计算即可；
（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得，换元后构造新函数，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.
【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，
得，
故，
令，则，
，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
进而，，
可得，所以.
而，故.
所以.
【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定理边角互化证明边的关系.
49．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
50．(1)；
(2)若选①，；若选②，；若选③，
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；
（2）选①：由重心的性质得出点到的距离等于点到的距离的，再由此得出的面积；选②：由余弦定理得出，进而由等面积法得出内切圆的半径，最后得出的面积；选③：由正弦定理得出外接圆的半径，再由圆的性质得出，进而由面积公式得出的面积；
【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以.
因为，所以.
（2）若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，．
51．(1)2
(2)
【分析】（1）切变弦，然后整理化简可得sinB=2sinC，再利用正弦定理角化边可得答案；
（2）先根据(1)求出，设△ABC的内切圆半径为r，再根据重心的性质得到顶点A到BC边的距离为3r，利用面积列方程求解.
【详解】（1）由已知得，，
即sinAcsC=2sinC-csAsinC
得sin(A+C)=2sinC
即sinB=2sinC
由正弦定理得，所以；
（2）由(1)知，因为，所以
设△ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，
因为MN∥BC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，
根据面积关系得
即，
所以
52．(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)利用正弦定理以及二倍角公式求解；(2)根据正弦定理，余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，又，∴，∴
（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.
53．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）选①，分析可得，结合三角形的面积公式可求得结果；
选②，利用余弦定理求出，利用等面积法求出的内切圆半径，再利用三角形的面积公式可求得结果；
选③，利用余弦定理求出的值，由正弦定理求出的外接圆半径，求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）解：，
，
则，即，
，则，，即有，
可得，
，则，，解得.
（2）解：若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以，为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，.
54．(1)1
(2)
【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；
以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.
55．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证；
（2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证.
【详解】（1）如图．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因为，
所，所以．
由可知，均为锐角．
由（1）知，．
设，则，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
56．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解；
（2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解；
（3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以，可得.
（2）解：由（1）知，可得,
因为为锐角，所以，解得，
则，
因为，可得，所以，
所以的取值范围为.
（3）解：因为为圆直径，所以且
设，可得，，
设圆的半径为，在中，可得，
在中，可得，
所以，即，可得，
又因为，解得，
所以，
又由，
所以，
四边形的面积为 .
57．(1)
(2)
【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）利用正弦定理得到，，即可得到，由三角形为锐角三角形得到的取值范围，即可得到的取值范围，再根据对勾函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，
所以.
（2）解：因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，所以，所以，
即，
令，，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
58．(1)百米；
(2)百米.
【分析】（1）在中，求出，，利用和差公式求，再由余弦定理可得；
（2）设，利用正弦定理求得，，由和可得，，分别在，中求出，然后可得答案.
【详解】（1）因为，百米，百米，
所以百米，所以，
又，，所以为等腰直角三角形，
所以百米，
因为，
所以在中，由余弦定理得百米.
（2）因为M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点，
所以百米，百米，
设，其中，
在中，由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
连接，则，
在中，，，
由余弦定理得
，
在中，，，
由余弦定理得
，
所以4条人行道的总长度为百米.
一、单选题
1．在△中，点D在边上，平分，，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（ ）
A．B．C．D．
3．在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（ ）
A．B．
C．2D．
4．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，的平分线交边AC于点D，且，则（ ）
A．B．C．6D．
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．12D．15.
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （ ）
A．B．C．D．
9．在中，边上的高等于，则（ ）
A．B．C．D．
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．在梯形ABCD中，，，，，，E，F分别为AD，BC的中点，则（ ）
A．B．C．D．
13．已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．在中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．边上的中线长为2B．为锐角三角形
C．D．的周长为12
15．已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，.则下列结论不正确的是（ ）
A．面积的最大值为
B．
C．的最大值为
D．的取值范围为
16．已知外接圆的半径为，为边的中点，，为钝角，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
17．如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积的最大值为
18．已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，c=2．则下列结论正确（ ）
A．△ABC面积的最大值为B．的最大值为
C．D．的取值范围为
19．已知锐角三个内角的对应边分别为，且．则下列结论正确的是（ ）
A．的面积最大值为
B．的取值范围为
C．的值可能为3
D．的最小值为
三、填空题
20．在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ．
21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为 .
22．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为 ．
23．在中，角、、的对边分别为、、．若是、的等比中项，则角的最大值为 ．
24．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 .
25．锐角中，，角A的角平分线交于点， ,则 的取值范围为 .
26．如图，D为的边AC上一点，，，，则的最小值为 .
四、解答题
27．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且.
(1)求;
(2)若，为的中点，求中线的取值范围.
28．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且，求．
29．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
(1)求的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
30．中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.
31．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______．
(1)求角B的大小：
(2)若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值．
32．记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求.
(2)求面积的取值范围.
33．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
34．在中，已知角，，所对的边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
35．在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求A；
(2)如图所示，D为平面上一点，与构成一个四边形ABDC，且，若，求AD的最大值．
36．在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
在锐角三角形中，角所对的边分别为，______．
(1)求；
(2)已知是的平分线与的交点，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
37．已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.
（1）求的值；
（2）在锐角中，若，求的取值范围.
38．已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．
39．已知向量.
(1)求的取值范围；
(2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域.
40．设函数，其中向量，.
(1)求的最小值；
(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.
41．如图，在四边形中，，，，.
（1）若，求；
（2）记，当为何值时，的面积有最小值？求出最小值.
42．如图，在平面四边形中，，，.
(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
43．如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.
(1)若，，求的面积；
(2)若，求的最大值.
44．如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
45．已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点．
(1)若，求面积的最大值；
(2)证明：．
46．在中，角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：的周长为9.
47．中，内角的对边分别为的外接圆半径为，已知.
(1)求；
(2)已知的平分线交于点，从以下三个条件中选择两个，使唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②：；条件③：.
48．记的内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)证明：.
49．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
50．已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．
若，，为的___________，求的面积．
51．已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=
(1)求的值；
(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．
52．的内角A，B，C所对的边分别为．
(1)求A的大小；
(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．
请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①M为的重心，；
②M为的内心，；
③M为的外心，．
53．已知的内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求；
(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.
若，，为的___________，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
54．已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
55．在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
56．已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和．
57．已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
58．某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划4条人行道DM、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD，其中M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点．
(1)若，求排水沟BD的长；
(2)若，试用表示4条人行道的总长度．
参考答案：
1．B
【分析】本题角平分线长问题，利用面积关系，结合面积公式，就能求解出的长.
【详解】因为，
所以,
即，代入，，
可得，则，
解得．
故选：B.
2．A
【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由是边上的中线，得
.
所以，中线长.
故选：A
3．B
【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得.
【详解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，
整理得，即，
又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由可得，解得.
故选：B.
4．D
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，得到，结合，列出方程求得，再利用余弦定理，即可求解.
【详解】因为及，可得，
由余弦定理得，
又由，所以，
因为，即，解得，
由余弦定理得，即．
故选：D．
5．D
【分析】根据正弦定理及三角形角度关系可得角的大小，再根据正弦定理边化角结合三角恒等变换与正弦型函数的性质求得的取值范围，从而得△ABC周长的最大值.
【详解】因为，
由正弦定理得，
因为，所以，由于，故，则，
由正弦定理得，
故，
又，则，所以，则，
故△ABC周长的最大值为.
故选：D.
6．C
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由，由正弦定理得，即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
当，即时，取得最大值.
故选：C.
7．B
【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得，又由正弦定理得，根据角A的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.
【详解】由，得，，
由正弦定理可得，即，
所以，所以或（舍去），所以，
由正弦定理得,，
而，，所以，
所以，所以，所以的取值范围为.
故选：B
8．C
【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【详解】在中，由可得，
由正弦定理得：
又为锐角三角形，所以，解得，
令，则，
因为在时单调递增，
所以，则.
故选：C
9．B
【分析】根据三角函数，结合图形，即可求解.
【详解】如图，边上的高为，，且，
所以，则，
则，，
所以，则.
故选：B
10．B
【分析】由半角公式和正弦定理得到，结合角的范围得到，，，得到答案.
【详解】，
故，
由正弦定理得，
其中，
即，
故，
因为，所以，故，
因为，所以，
的形状为直角三角形.
故选：B
11．C
【分析】联立题干所给式子以及余弦定理可得，在把代入题干可表示出，在根据的范围求解。
【详解】中，
由余弦定理可得：
，整理可得，
又，则，
，，则，
可得，则，即，
故选：C
12．A
【分析】由题意，过点作，交于，，交于，分别在，运用余弦定理，求出即可.
【详解】
过点作，交于，，交于，
又因为，
所以四边形和四边形为平行四边形，
所以，，
因为，，，，
所以，
因为E，F分别为AD，BC的中点，
所以，，
所以，
所以在中，，
所以在中，，
所以，
故选：A.
13．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到，结合为锐角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范围即可.
【详解】因为，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
因为是锐角三角形，所以，，所以．
又在上单调递增，所以，则．
因为是锐角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因为，所以．
在上单调递增，
当时，，当时，，
故
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
14．A
【分析】在边AB上取一点D，使，设，在中利用余弦定理可求出，再求出，然后在中利用余弦定理求出，从而可判断三角形的形状，再逐个分析判断.
【详解】如图，在边AB上取一点D，使.
设，则，
所以.
，解得，
所以.
在中，，
所以，解得，
所以，所以为直角三角形，所以B错误.
因为，所以CD为斜边AB上的中线，所以A正确；
因为，所以C错误；
因为的周长为，所以D错误.
故选：A.
15．B
【分析】由余弦定理和基本不等式可判断A；由余弦定理可判断B；由正弦定理可得，由平面向量数量积的定义、两角和与差的正弦展开式可判断C；，再根据的范围可判断D.
【详解】对于A选项，因为，，由余弦定理和基本不等式可得
，
即，当且仅当时，等号成立，
故，
所以，的面积的最大值为，故A正确；
对于B选项，，
故B错误；
对于C选项，由正弦定理可得，
则，因为，则，所以，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最大值为，故C正确；
对于D选项，因为，则，
由题意可知，，所以，，
,
当时，，则；
当时，，
则.
综上所述，的取值范围为，故D正确.
故选：B.
16．C
【分析】解法一：利用正弦定理和外接圆的半径可求得，设，利用正弦定理将，用角的三角函数表示出来，再利用三角恒等变换及三角函数的值域即可求解；
解法二：利用正弦定理和外接圆的半径可求得，利用向量可得，令，再由关于的方程至少有1个正根，利用判别式可得其范围；
解法三：利用正弦定理和外接圆的半径可求得，在和中，分别利用余弦定理可得，令，再由关于的方程至少有1个正根，利用判别式可得其范围.
【详解】解法一：
根据正弦定理得，所以，
因为为钝角，所以；
延长到，使得，连接，如下图所示：
易知四边形为平行四边形，且．
设，则，所以，
即，
所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
可得的取值范围是．
解法二：
根据正弦定理得，
所以，因为为钝角，所以
因为为边的中点，所以，可得，
设，则①．
设，则，
将其代入①得②，
所以关于的方程至少有1个正根；
当，即，
经检验，当时，方程②即，解得，则，不合题意；
当时，方程②即，解得，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是．
解法三：
根据正弦定理得，
所以，因为为钝角，所以；
设，根据余弦定理得，
在中易知，
又在中可得，
所以可得，即，
将代入，得①，
设，则，
将其代入①得②，
所以关于的方程至少有1个正根；
当，即，
经检验，当时，方程②即，解得，则，不合题意；
当时，方程②即，解得，不符合题意；
所以或，解得，
故的取值范围是．
故选：C
【点睛】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：
一是将所求量表示为与边有关的形式，利用函数知识或基本不等式求得最值或范围；
二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．
17．ABC
【分析】根据题意，求得，得到，即为等边三角形，可判定A、B正确；设，利用余弦定理得，结合三角形的面积公式，得到四边形的面积为，进而求得最大值，可判定C正确，D错误.
【详解】因为，由正弦定理得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，可得，所以，所以为等边三角形，
可得，，所以A、B正确；
设，
在中，由余弦定理得，
且，
可得，
所以四边形的面积为，
当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误.
故选：ABC.
18．AB
【分析】A选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得，利用正弦定理和三角恒等变换得到，结合B的取值范围求出最大值；C选项，利用正弦定理进行求解；D选项，用进行变换得到，结合A的取值范围得到的取值范围.
【详解】由余弦定理得：，解得：，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
所以，故，A正确；
，
其中由正弦定理得：，
所以
，
因为，所以，
故最大值为，的最大值为，
B正确；
，
故C错误；
，
因为，所以，
所以，D错误.
故选：AB
【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
19．BC
【分析】先根据为锐角三角形，求出的范围，再根据正弦定理结合三角函数的性质求出的范围，再逐一分析判断各个选项即可.
【详解】因为为锐角三角形，所以，解得，
同理可得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
A选项，，A错误；
B选项，由余弦定理得，即，
所以，
所以
，
因为，所以，B正确；
C选项，因为，
而，所以的值可能为3，C正确；
D选项，
，当且仅当时取等号，
但，
而，所以，
故，等号取不到，D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
20．
【分析】用两种方法表示，求得，代入面积公式中计算即可.
【详解】
因为边BC的中线，，所以，，
，
又，
所以，，
.
故答案为：.
21．/
【分析】由已知条件，运用正弦定理把边化角，求得，再利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值.
【详解】因为，，所以，
由正弦定理可得，即，
，因为，所以，故，
由余弦定理得，
所以，即，当且仅当时取等号，
由，，得，
所以.
故答案为：.
22．
【分析】利用正弦定理解三角形，利用三角函数的单调性求三角形的面积的取值范围.
【详解】由题意及正弦定理，得．
因为，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，
由正弦定理，得，
所以，
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，从而．
23．/
【分析】由等比中项的性质得到，再由余弦定理及基本不等式求出的范围，即可求出的范围，从而得解.
【详解】因为是、的等比中项，
所以，即，
由余弦定理，当且仅当时取等号，
又，所以，所以角的最大值为.
故答案为：
24．
【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即.
【详解】中，，，
所以，所以，
根据正弦定理，，
即，
因为，所以，
由为三角形内角可知，，
根据正弦定理，，
所以
，
其中，，
当时取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
25．
【分析】根据正弦定理表示出，，从而表示出，根据角的范围结合三角恒等变换求得答案.
【详解】由已知得， ,
在中，由正弦定理得， ,
同理可得 ,
故,
而
，
因为锐角中， ,
故，则，，
故，
故答案为：
26．
【分析】设，则，在中，运用余弦定理可得，再由，，得，代入根据二次函数的最值可求得当时，有最小值，据此即可求解.
【详解】设，则，
在中，，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，当时，有最小值，此时取最小值，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的余弦定理，二次函数的最值，三角形的面积公式，关键在于表示的长，求得何时取得最小值，属于中档题.
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求解即可；
（2）由向量数量积的运算律可得，再利用余弦定理和正弦定理化简，结合锐角三角形条件即可求解.
【详解】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，，
根据正弦定理可得，即，
所以，则，
整理得，即，
又，所以，即.
（2）因为为的中点，所以，
两边平方得，
在中，由余弦定理得，即，所以，
在中，由正弦定理得，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以且，解得，
所以，所以，所以，
所以中线的取值范围是.
28．(1)
(2)
【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B；
（2）利用图形中的向量关系，有，由向量数量积和余弦定理化简得结果.
【详解】（1）因为，即，
由正弦定理可得：，整理得，
由余弦定理可得，
且，所以．
（2）因为，则，
可得，
则，即，
整理得，
由余弦定理可得，则，
即，所以．
29．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；
（2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解；
法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解；
若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解；
法2：由，列出方程，即可求解.
【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得，
又由的周长为，可得，即，
由余弦定理得
，解得，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，
所以的外接圆面积为．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，及，
由，可得
，
所以，即．
法2：不妨设，由及，解得，
在和中，可得，
由余弦定理得，解得．
若选择②，不妨设，由及，解得，
法1：由，
可得，解得．
法2：由张角定理，得，
即，解得，
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解，
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）由于，所以，
即，取等号，
故，
故
31．(1)
(2)
【分析】（1）①由三角恒等变换可得；②由正弦定理和正弦展开式可得；
（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出面积最值即可.
【详解】（1）选①，因为，
所以，
即，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即，
所以.
选②，由及正弦定理得，
所以，
即，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
（2）如图：
由题意，，
因为，
由余弦定理，，
所以，即，
因为，所以，即，
当且仅当，即，等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
32．(1)；
(2).
【分析】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
（2）利用正弦定理得，结合为锐角三角形，求得，进而求得，即可求解.
【详解】（1）方法一：由余弦定理，得，解得.
又，所以由正弦定理，得.
又为锐角三角形，所以.
方法二：由题意知，.
由正弦定理得，
所以，
所以，即；
又因为，所以，又因为，所以.
（2）由正弦定理，得；
因为为锐角三角形，所以，
解得，所以，所以.
因为，所以，所以.
故面积的取值范围为.
33．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用为锐角三角形，求出角C的范围，即可求得a的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）因为中，，即，
而，故，
故，又，
则；
（2）由（1）以及题设可得；
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，，，
则，
则，则，
即，则，
即面积的取值范围为.
34．(1)
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦和余弦公式，结合余弦定理将角转化为边，可将式子变形为，再利用余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换可得，根据锐角三角形可得的取值范围，结合三角函数的图象和性质即可求解.
【详解】（1）在中，
，
因为，
所以，
化简得，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由正弦定理知
，
由为锐角三角形可知，而，
所以得，
所以，
所以，即 ，
则的取值范围为.
35．(1).
(2)4
【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，代入计算，即可得到结果；
（2）方法一：根据题意，分别在与中由正弦定理化简，即可得到，从而得到结果；方法二：由余弦定理可得，再由正弦定理代入计算，即可得到结果；
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
所以，所以，
因为，所以，因为，所以.
（2）方法一：设，则：
在中，，①，在中，，②
：，所以，所以，所以AD的最大值是4
解法二：在中，由余弦定理得，=，
因为，
所以四边形存在一个外接圆，所以圆的直径为
因为，即，当AD为圆O直径时取等号，故的最大值为4.
36．(1)
(2)．
【分析】（1）选择条件①降幂后，再由正弦定理化为边，由余弦定理求解；选择条件②由正弦定理化为三角函数化简即可得解；选择条件③由三角形面积公式、余弦定理化简得解；
（2）由角平分线定理、正弦定理化简，再由正切函数性质结合不等式性质求范围即可.
【详解】（1）方案一：选择条件①
，
，
，
，
．
，．
方案二：选择条件②
，，
，，．
，，
．
方案三：选择条件③
由题，，
，．
，
，，
．
（2）是的平分线，
．
在中，，由正弦定理得，
，
是锐角三角形，
，，
，
的取值范围为．
37．（1）；（2）.
【分析】（1）利用图象变换求出函数的解析式，由求出，利用正弦函数的基本性质求出，结合已知条件可求得实数的值；
（2）利用为锐角三角形求出角的取值范围，利用切化弦结合三角恒等变换思想得出，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，
则，
，，
当，即时，最大值，所以，；
（2），
，则，所以，，所以，，
，
是锐角三角形，由，解得，
所以，，，则.
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
38．（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．
【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.
【详解】解：（1）
．
的最小正周期为：；
当时，
即当时，函数单调递减，
所以函数单调递减区间为：；
（2）因为，所以
，，
，．
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（当用仅当时，取等号），所以，
因此边上的高的最大值.
39．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围.
【详解】（1）（1）因为，
可得
，
因为，所以.
（2）解：由题意得
，可得，
因为，由正弦定理得，
所以，所以，
又因为，则，且，所以，
因为，所以，所以，则，
则，所以函数的值域是.
40．(1)；
(2).
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值.
（2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值.
【详解】（1）由题设，，
所以，当时的最小值为.
（2）由，得：，则，又，
所以，故，则.
由，可得：.
在△中，由余弦定理得：，
所以.
由，则.
41．（1）；（2），取最小值.
【分析】（1）在四边形中，根据，，，求得 ，然后在中，利用正弦定理求解.
（2）根据四边形内角和，得到，然后在中，利用正弦定理求得DC，同理在中，求得BC，然后利用，结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）在四边形中，因为，
，，所以 ，
在中，可得，
又，，
由正弦定理得:，即，
解得：，.
（2）因为，可得，
因为四边形内角和，所以，
在中，，
在中，，
，
，
，
当时，取最小值.
【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
42．(1)
(2).
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以.
（2）设四边形的面积为S，
则，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即S有最大值.
此时，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，对角线的长为.
43．(1)4；
(2).
【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果；
（2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.
在中，，则，解得.
又，所以；
在中，，，，
所以.
（2）设，.
又，所以.
因为，所以.
在中，，由正弦定理得，
即，解得
.
在中，，由正弦定理得，
即，解得，
所以.
又，所以，
当且仅当，即时，取得最大值1，
所以的最大值为.
44．(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.
45．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用正弦定理得出的角度，借助基本不等式根据余弦定理得出的最大值，从而得出面积的最大值；
（2）利用余弦定理，由可得出，同理可得，由恰为的中点，可证本题.
【详解】（1）解：由正弦定理，得，
所以，
又，所以或，
当时，
由余弦定理，得
，
所以，的面积，
当且仅当时，取等号；
当时，
同理可得，的面积，
当且仅当时，取等号．
综上，面积的最大值为；
（2）证明：设，
由余弦定理知，，
因为，
所以，
化简整理得，
而，因此，
又因为是外心，故，
同理可知，
因为恰为的中点，
因此，所以．
46．(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由（1）得到，若选条件①：由余弦定理求得，，得出存在且唯一确定，结合面积公式，求得的面积；
若选条件②：由，得到，分类为锐角和为钝角，两种情况，结合余弦定理，列出方程，得到存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：由和，求得的值，再由余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
又因为，可得，
所以，可得.
（2）解：由（1）得，由正弦定理得，
若选条件①：由余弦定理得，即，
又由，解得，则，此时存在且唯一确定，
因为，则，可得，
所以；
若选条件②：由，因为，即，
若为锐角，则，
由余弦定理，即，
整理得，且，解得，则；
若为钝角，则，
由余弦定理得，即，
整理得，且，解得，则；
综上所述，此时存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为，即，解得，则，
所以此时存在且唯一确定，
由余弦定理得，
因为，可得，
所以．
47．(1)
(2)选择条件②和③；，
【分析】（1）利用正弦定理得，可求出，再根据的范围可得答案；
（2）由余弦定理得，条件①中，所以，显然不符合题意，由条件②，条件③解得，由余弦定理可得，利用为的平分线得，再由余弦定理可得答案.
【详解】（1）由已知得，
得，
即，即，
又因为，故；
（2）由（1）得中，
由余弦定理得，
所以，
而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②，条件③，解得，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，因为为的平分线，
所以，
又因为，所以，
在中，，
所以.
48．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得，再代入计算即可；
（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得，换元后构造新函数，求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.
【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，
所以，即，所以，
所以.
（2）由，
得，
故，
令，则，
，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
进而，，
可得，所以.
而，故.
所以.
【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定理边角互化证明边的关系.
49．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
50．(1)；
(2)若选①，；若选②，；若选③，
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；
（2）选①：由重心的性质得出点到的距离等于点到的距离的，再由此得出的面积；选②：由余弦定理得出，进而由等面积法得出内切圆的半径，最后得出的面积；选③：由正弦定理得出外接圆的半径，再由圆的性质得出，进而由面积公式得出的面积；
【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以.
因为，所以.
（2）若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，．
51．(1)2
(2)
【分析】（1）切变弦，然后整理化简可得sinB=2sinC，再利用正弦定理角化边可得答案；
（2）先根据(1)求出，设△ABC的内切圆半径为r，再根据重心的性质得到顶点A到BC边的距离为3r，利用面积列方程求解.
【详解】（1）由已知得，，
即sinAcsC=2sinC-csAsinC
得sin(A+C)=2sinC
即sinB=2sinC
由正弦定理得，所以；
（2）由(1)知，因为，所以
设△ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，
因为MN∥BC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，
根据面积关系得
即，
所以
52．(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)利用正弦定理以及二倍角公式求解；(2)根据正弦定理，余弦定理和面积公式即可求解.
【详解】（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，又，∴，∴
（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，
若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.
53．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）选①，分析可得，结合三角形的面积公式可求得结果；
选②，利用余弦定理求出，利用等面积法求出的内切圆半径，再利用三角形的面积公式可求得结果；
选③，利用余弦定理求出的值，由正弦定理求出的外接圆半径，求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）解：，
，
则，即，
，则，，即有，
可得，
，则，，解得.
（2）解：若选①，连接并延长交边于点，
因为为的重心，所以，为的中点，且，
所以点到的距离等于点到的距离的，
所以，；
若选②，由余弦定理可得，
若为的内心，设的内切圆的半径为，
则，则，
因此，；
若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，
由余弦定理可得，则，
在优弧上任取一点，则，则，
因此，.
54．(1)1
(2)
【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解；
以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解.
【详解】（1）由题意可知：，
因为函数的最小正周期为，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因为，则，
可知当，即时，取到最大值3，即.
若条件①：因为，
由正弦定理可得，
又因为，
可得，且，则，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若条件②；因为，
由正弦定理可得：，
则，
因为，则，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为；
若选③：因为，则，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
则
，
因为锐角三角形，则，解得，
可得，则，可得
所以的取值范围为.
55．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证；
（2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证.
【详解】（1）如图．在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以，
所以．
（2）因为，
所，所以．
由可知，均为锐角．
由（1）知，．
设，则，．
由，得．
在中，由正弦定理，得．
在中，由正弦定理，得．
所以．
56．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解；
（2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解；
（3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
因为，可得，即，
又因为，可得，所以，可得.
（2）解：由（1）知，可得,
因为为锐角，所以，解得，
则，
因为，可得，所以，
所以的取值范围为.
（3）解：因为为圆直径，所以且
设，可得，，
设圆的半径为，在中，可得，
在中，可得，
所以，即，可得，
又因为，解得，
所以，
又由，
所以，
四边形的面积为 .
57．(1)
(2)
【分析】（1）利用和差角的余弦公式得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；
（2）利用正弦定理得到，，即可得到，由三角形为锐角三角形得到的取值范围，即可得到的取值范围，再根据对勾函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，
所以.
（2）解：因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，所以，所以，
即，
令，，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
58．(1)百米；
(2)百米.
【分析】（1）在中，求出，，利用和差公式求，再由余弦定理可得；
（2）设，利用正弦定理求得，，由和可得，，分别在，中求出，然后可得答案.
【详解】（1）因为，百米，百米，
所以百米，所以，
又，，所以为等腰直角三角形，
所以百米，
因为，
所以在中，由余弦定理得百米.
（2）因为M、N、E分别为边BC、AB、AC的中点，
所以百米，百米，
设，其中，
在中，由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
连接，则，
在中，，，
由余弦定理得
，
在中，，，
由余弦定理得
，
所以4条人行道的总长度为百米.
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