苏科版八年级数学上册必考重难点突破【期中满分直达】高频考点突破卷(考试范围：第1章~第3章)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册必考重难点突破【期中满分直达】高频考点突破卷(考试范围：第1章~第3章)(原卷版+解析)，共34页。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
本卷试题共三个大题，选择题8小题，填空题10小题，简答题10小题；试卷满分120分，应试时间120分钟。
考试范围：苏科版八年级数学上册第1章~第3章
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角都相等 B．全等三角形的面积相等
C．对应角相等的两个三角形是全等三角形 D．全等三角形的对应边都相等
3．习主席说：“生态环境保护就是为民造福的百年大计”．以下环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，、、的对边分别为、、．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．，，
C．D．
5．如图，点，在线段上，与全等，点A与点，点与点是对应顶点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
7．如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
10．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是_______°．
11．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________

12．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分AB于D，交BC于E点，则CE与DE的数量关系是____________ ．
13．如图，在△ABC中，∠A=58°，∠ACB的平分线交AB于点D，分别以点B，C为圆心，大于C的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F的直线交AB于点G，若∠DCG=10°，则∠B的度数是______．
14．如图，已知，，，，若，则的度数为____________．
15．如图，已知长方体的长，宽，高分别为3cm，4cm，12cm，在其中放入一根细棒，则细棒的最大长度可以是_______cm．
16．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是__________个．
17．圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P的初始位置在AB上，，点P由此出发，沿着圆柱的侧面移动到CD的中点S，点P与点S之间的最短距离是______．（π取3）
18．如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时，___________．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ．
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
20．如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
(1)求证:BF = CE；
(2)若△ACE的面积为3，△CED的面积为2，求△ABF的面积．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．
（2）在直线上找一点，使得的周长最小．
22．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
(1)利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；
(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；
(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．
23．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D．PE⊥AC于E．
(1)求证:BD = CE；
(2)求证:AC = AB + 2AD．
24．2021年，继10月8日遭受台风“狮子山”带来的强风劲雨后，台风“圆规”又汹汹来袭，华南地区13日再度迎来大范围风雨.如图，13日早上8：00，一艘轮船以15海里小时的速度由南向北航行，在A处测得台风中心P在北偏西15°方向上，到中午12：00，轮船在B处测得台风中心P在北偏西30°方向上．
(1)求轮船在B处时与台风中心P的距离；
(2)以台风中心P周围28海里内为受影响区域，若轮船继续向前航行，会受到台风的影响吗?为什么?
25．已知：在中，，，点为上一动点，以为边，在的右侧作等边.
(1)过作于，如图①，求证：为的中点；
(2)若，
①当为的中点时，过作于，如图②，求的长；
②点从点运动到点，则点所经过路径长为___________（直接写出结果）.
26．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB=50，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=30cm．
(1)若EC=36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
(2)当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
27．2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，点A在直线l上，线段AB在直线l的左侧，△ABC与关于直线l对称，连接，线段（或的延长线）交直线l于点D（）．
(1)如图1，当∠BAC=40°，∠ABD=30°时，∠ADB= °．当∠BAC=40°，∠ABD=35°时，∠ADB= °．
(2)如图1，线段AC在直线l的左侧，设∠BAC=x°，求∠ADB的度数（用含x的代数式表示）．
(3)如图2，线段AC在直线l的右侧，∠BAC=90°，BD=2，连接，求的长．
【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（苏科版）
【期中满分直达】高频考点突破卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
本卷试题共三个大题，选择题8小题，填空题10小题，简答题10小题；试卷满分120分，应试时间120分钟。
考试范围：苏科版八年级数学上册第1章~第3章
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．以下四组图形中，与如下图形全等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有B中的图形可以由题干中已给的图形旋转得到，其它三个形状与题干中已给的图形不一致．
【详解】解：由全等形的概念结合图形可知：A、C、D中图形形状与题干中已给的图形不一致，故不符合题意；B中的图形可以由题干中已给的图形顺时针或逆时针旋转得到．
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角都相等 B．全等三角形的面积相等
C．对应角相等的两个三角形是全等三角形 D．全等三角形的对应边都相等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质与判定逐一判断即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应角都相等，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的面积相等，是真命题，不符合题意；
C、对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，是假命题，符合题意；
D、全等三角形的对应边都相等，是真命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
3．习主席说：“生态环境保护就是为民造福的百年大计”．以下环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．在中，、、的对边分别为、、．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．，，
C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题．
【详解】解：A．∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
此时，是直角三角形，故选项A不符合题意；
B．∵，，，，
∴不是直角三角形，故选项B符合题意；
C．∵，
∴．
∴是直角三角形，故选项C不符合题意．
D．∵，，
∴．
∴是直角三角形，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键．
5．如图，点，在线段上，与全等，点A与点，点与点是对应顶点，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角形全等的性质和对应点即可得出答案．
【详解】∵与全等，点A与点，点与点是对应顶点，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的性质．找准对应点是解题关键．
6．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，
同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，
∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．如图，长方体的高为，底面是正方形，边长为，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意画出长方体的侧面展开图，分两种情况讨论，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：第一种情况如图所示，将长方体正面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）；
第二种情况如图所示，将长方体上面和右面展开，
连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，
由勾股定理知：（cm）．
，
苍蝇所经过的最短距离为5cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理的应用，利用了两点之间线段最短的性质，将长方体展开成平面图，分类讨论是解题的关键．
8．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可．
【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分）
9．下列4个图形中，属于全等的2个图形是_________.（填序号）
【答案】①③
【分析】先求出的度数，然后分析求解即可.
【详解】解：在③中，，
∴与①中的相等，并且两夹边对应相等，
∴属于全等的2个图形是①③
故答案为①③.
【点睛】本题考查了三角形全等的条件，熟悉全等三角形的判定定理是解题的关键.
10．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是_______°．
【答案】66
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1=∠2．
【详解】根据三角形内角和可得∠2=180°-54°-60°=66°，
因为两个全等三角形，
所以∠1=∠2=66°，
故答案为66．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
11．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE=____________

【答案】8
【分析】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．
【详解】解：∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
在Rt△ADB和Rt△CEA中，
∵AB=AC，BD=AE，
∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL），
∵BD=3，CE=5，
∴AE=BD=3，AD=CE=5，
∴DE= AD+ AE=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键．
12．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°，DE垂直平分AB于D，交BC于E点，则CE与DE的数量关系是____________ ．
【答案】CE=4DE
【分析】连接AE，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠C=∠B=30°，根据线段垂直平分线求出BE=AE，求出∠EAC=90°，根据含30度角的直角三角形性质求出CE=2AE即可．
【详解】解：CE=4DE．
连接AE，
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE，BE=2DE，
∴AE=2DE，
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠EAC=120°-30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CE=2AE，
∵AE=2DE，
∴CE=4DE．
故答案为：CE=4DE．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
13．如图，在△ABC中，∠A=58°，∠ACB的平分线交AB于点D，分别以点B，C为圆心，大于C的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F的直线交AB于点G，若∠DCG=10°，则∠B的度数是______．
【答案】##度
【分析】设，根据作图可知是的垂直平分线，可得，根据等边对等角可得，根据角平分线的意义可得，结合已知条件，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设，根据作图可知是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是∠ACB的平分线，
∴，
∵∠A=58°，∠DCG=10°，
∴，
，∠A=58°，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．
14．如图，已知，，，，若，则的度数为____________．
【答案】##5度
【分析】由等腰三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质可得，进而同理可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形外角的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
15．如图，已知长方体的长，宽，高分别为3cm，4cm，12cm，在其中放入一根细棒，则细棒的最大长度可以是_______cm．
【答案】13
【分析】首先根据勾股定理计算底面的对角线的长是5．再根据勾股定理计算由底面的对角线、高、长方体相对两个角的连线组成的直角三角形的斜边即长方体中最长的线段：
【详解】底面的对角线的长=
长方体相对两个角的连线=
即细棒的最大长度可以是13cm．
故答案为：13．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构建直角三角形是解题关键．
16．如图，在网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是__________个．
【答案】8
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：如图所示：
点的位置如，
其中，，AB=2，
由勾股定理得：，
为直角三角形，
同理：为直角三角形，
网格中其他点C如图所示，
所以格点C的个数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
17．圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P的初始位置在AB上，，点P由此出发，沿着圆柱的侧面移动到CD的中点S，点P与点S之间的最短距离是______．（π取3）
【答案】
【分析】先求出底边半径的长，再把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出PS的长即可．
【详解】解：如图所示，
∵圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，
∴AD=2π=6，
∵S是CD的中点，
∴SD=2，
∴PS=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，根据勾股定理求解即可．
18．如图，在中，，点D、E是线段AC上两动点，且，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．当时，___________．
【答案】
【分析】过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，根据全等三角形的判定和性质得出∆BAD≅∆ACP，AD=CP，∠CEN=∠P，继续证明∆CPN≅∆CEN，得出∠DEF=∠EDF=60°，然后结合图形利用勾股定理解直角三角形，最后求比值即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，
∵Rt∆ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN，
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
在∆BAD与∆ACP中，
，
∴∆BAD≅∆ACP，
∴AD=CP，∠CEN=∠P，
∴AD=EC，
∴CE=CP，
∵CN=CN，
∴∆CPN≅∆CEN，
∴∠P=∠NEC，
∴∠EDF=∠DEF，
∵∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵∠DEF=∠EDF=60°，
∴EF=DE，∠P=60°，
∴CP=CE=，
∴AE=AC-CE=
∵AD=，
∴CD=AC-CD=
∴EF=AC-AE-CD=，
∵BC=，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形等，作出辅助线构造出全等三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共66分；第19-24每小题5分，第25-26每小题6分，第27小题10分，第28小题14分）
19．如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，连接 PQ．
(1)求证：是等边三角形；
(2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时，的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)见解析
(2)（2＋）cm．
【分析】（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；
（2）利用平行四边形的性质证得△BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ的周长为2+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；
【详解】（1）证明：∵绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，
∴△PCE≌△QCB，
∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，
∴△CPQ是等腰三角形，
∵∠BCD=120°，CE平分∠BCD，
∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝60°，
∴∠PCQ=∠PCE＋∠ECQ＝∠BCQ＋∠ECQ＝∠BCE＝∠BCD＝60°，
即∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形.
（2）存在
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=，
∵在平行四边形ABCD 中，
∴ABCD，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CB=2cm，∠CBE＝60°，
∵绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到，
∴△PCE≌△QCB，
∴EP=BQ，
∴△PBQ的周长＝PB＋BQ＋PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=2+CP，
∴CP⊥AB时，△PBQ周长最小，
当CP⊥AB时，∠CPB＝90°，
∴∠BCP＝180°－∠CPB－∠CBE＝30°，
∴PB＝BC＝1cm，
∴CP＝cm，
∴△PBQ周长最小为（2＋）cm．
【点睛】此题主要考查了旋转图形变化的应用、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
20．如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
(1)求证:BF = CE；
(2)若△ACE的面积为3，△CED的面积为2，求△ABF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂线的性质得到∠CED＝∠BFD＝90°，根据中线的性质得到BD＝CD，从而利用全等三角形的判定定理推出，进而根据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）根据三角形中线的性质得到，再由全等三角形的性质得到，从而结合图形利用三角形面积之间的关系求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，
∴∠CED＝∠BFD＝90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△CED和△BFD中，
，
∴，
∴BF＝CE；
（2）
∵AD是△ABC的中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，应熟练掌握全等三角形的判定定理及其相关性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找等量关系，与此同时结合三角形中线的性质进行求解．
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．
（2）在直线上找一点，使得的周长最小．
【答案】见解析
【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）如图所示： 即为所求；
（2）如图所示：点P即为所求的点．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．
(1)利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；
(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；
(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ ．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案解析
(3)3
【分析】（1）利用网格特点，作AD的垂直平分线即可；
（2）连接CD，与直线l的交点即为所求；
（3）利用割补法求解可得．
【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求．
（2）解：如图所示，点P即为所求；
根据两点之间线段最短即可证明PA+PC最小；
（3）解：△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D．PE⊥AC于E．
(1)求证:BD = CE；
(2)求证:AC = AB + 2AD．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解；
【分析】（1）根据角平分线定理和垂直平分线定理得到对应边相等，然后证明两个三角形全等即可；
（2）由（1）的结论进行等量代换即可得到答案；
【详解】（1）证明：如图，连接PB，
∵PQ是BC的垂直平分线
∴PB=PC
∵AP是∠DAE的角平分线，PD⊥AB，PE⊥AC
∴PD=PE，∠PDB=∠PEC=90°
在
∴
∴BD=CE
（2）证明：由（1）知：
BD=CE=AB+AD，
在
∴
∴
∴AC=CE+AE=BD+AE=AB+2AD
【点睛】本题考查了角平分线和垂直平分线的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
24．2021年，继10月8日遭受台风“狮子山”带来的强风劲雨后，台风“圆规”又汹汹来袭，华南地区13日再度迎来大范围风雨.如图，13日早上8：00，一艘轮船以15海里小时的速度由南向北航行，在A处测得台风中心P在北偏西15°方向上，到中午12：00，轮船在B处测得台风中心P在北偏西30°方向上．
(1)求轮船在B处时与台风中心P的距离；
(2)以台风中心P周围28海里内为受影响区域，若轮船继续向前航行，会受到台风的影响吗?为什么?
【答案】(1)60海里
(2)不会受到影响，见解析
【分析】（1）先证明∠PAB=∠BPA，进而可得AB=PB=15×(12-8)=60海里；
（2）过点P作PD⊥AB，垂足为D，根据30°角的性质，确定PD=海里．比较PD与台风的半径的大小，判断即可．
【详解】（1）解：∵∠PAB=15°，
∴∠BPA=30°-15°=15°，
∴∠PAB=∠BPA，
∴AB=PB=15×(12-8)=60（海里）．
答：轮船在B处时与台风中心P的距离是60海里；
（2）不会受到影响，理由如下：
如图，过点P作PD⊥AB，垂足为D，
由（1）得：PB=60海里，
∵∠PBD=30°，
∴PD=（海里）．
∵台风中心P周围28海里内为受影响区域，28＜30，
∴不会受到影响．
【点睛】本题考查了方位角的计算，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的判定和三角形外角性质是解题的关键．
25．已知：在中，，，点为上一动点，以为边，在的右侧作等边.
(1)过作于，如图①，求证：为的中点；
(2)若，
①当为的中点时，过作于，如图②，求的长；
②点从点运动到点，则点所经过路径长为___________（直接写出结果）.
【答案】(1)见解析
(2)①，②
【分析】（1）根据是等边三角形，得到，，根据中，，，得到，推出，根据，得到，推出，得到，根据，得到，得到为的中点；
（2）①过点作于点，连接，根据（1）问中为的中点，得到，根据，得到，根据中，，，，得到，当为的中点时，得到，得到，根据勾股定理，中，，得到，得到中，；
②根据EF=BD，当点D从点B运动到点C时，BD=BC=,得到EF=．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即为的中点；
（2）
解：①如解图①，过点作于点，连接，
由（1）知，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵中，，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，；
②∵EF=BD，
∴当点D从点B运动到点C时，BD=BC=,
∴EF=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30°的直角三角形，等边三角形，全等三角形，线段的垂直平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握含30°的直角三角形的边的关系，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线判定和性质，三线合一，勾股定理解直角三角形．
26．如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿DE、箱长BC拉杆AB的长度都相等，即DE=BC=AB=50，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF=30cm．
(1)若EC=36cm时，B，D相距48cm，试判定BD与DE的位置关系，并说明理由；
(2)当∠DCF＝45°，CF＝AC时，求CD的长．
【答案】(1)；
(2)（cm）.
【分析】（1）根据题意求得的长，勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可求解；
（2）过点作于，是等腰直角三角形，求得，在中，勾股定理求得，根据求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下，
如图，连接，
DE=BC=AB=50，DF=30cm．EC=36cm，
，
在中，，
，
，
，
是直角三角形，是斜边，
；
（2）
解：如图，
过点作于，
∠DCF＝45°，
是等腰直角三角形，
BC=AB=50，CF＝AC，
，
，
支杆DF=30cm．
在中，，
，
所以（cm）.
【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．
27．2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
【答案】90cm
【分析】首先观察题目，作辅助线构造一个直角三角形，如图，连接DE；已知彩旗为长方形，由题意可知，无风的天气里，彩旗自然下垂时，彩旗最低处到旗杆顶部的长度正好是长方形彩旗完全展开时的对角线的长度，根据勾股定理可求出它的长度；然后用旗杆顶部到地面高度减去这个数值，即可求得答案．
【详解】彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝＝＝150．
h＝240－150＝90(cm)．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为90 cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，点A在直线l上，线段AB在直线l的左侧，△ABC与关于直线l对称，连接，线段（或的延长线）交直线l于点D（）．
(1)如图1，当∠BAC=40°，∠ABD=30°时，∠ADB= °．当∠BAC=40°，∠ABD=35°时，∠ADB= °．
(2)如图1，线段AC在直线l的左侧，设∠BAC=x°，求∠ADB的度数（用含x的代数式表示）．
(3)如图2，线段AC在直线l的右侧，∠BAC=90°，BD=2，连接，求的长．
【答案】(1)70，70
(2)
(3)
【分析】（1）当∠ABD=30°或∠ABD=35°时，由对称的性质可知，，则有，根据三角形内角和定理，在中计算的值，进而计算的值，然后在中计算∠ADB的值即可；
（2）设，则有， 易得，进而可知，然后由三角形内角和定理得出∠ADB的度数即可；
（3）结合（2）可知，由对称的性质可知，，，证明为等腰直角三角形，由勾股定理可计算，然后由计算的长．
【详解】（1）解：①当∠BAC=40°，∠ABD=30°时，
∵与关于直线l对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当∠BAC=40°，∠ABD=35°时，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：70，70；
（2）
解：设，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（3）
解：由（2）可知，，
由对称的性质可知，，，
设交直线l于点E，如下图，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
由勾股定理可知，
又∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
即的长为．
【点睛】本题主要考查了对称的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练运用相关性质或定理是解题关键．