中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题17相交线与平行线(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题17相交线与平行线(原卷版+解析)，共39页。


【知识要点】
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
考查题型一 垂线定义的理解
题型1．(2023·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26°B．36°C．44°D．54°
题型1-1．(2023·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
题型1-2．(2023·湖北荆州·中考真题）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
考查题型二 理解垂线段最短
题型2．(2023·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
题型2-1．(2023·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（ ）
A．B．C．D．
题型2-2．(2023·吉林·中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
【注意事项】1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
题型3-3．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
题型3-4．(2023·湖北黄冈·中考真题）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝54°，则∠3＝________度．
考查题型四 利用邻补角互补求角度
题型4．(2023·湖南娄底·中考真题）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型4-1．(2023·河南·中考真题）如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型4-2．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，已知，，则为______度．
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
考查题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别
题型5．(2023·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
题型5-1．(2023·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
题型5-2．(2023·广西贺州·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
题型5-3．(2023·广西百色·中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
知识点三 平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线a与直线互相平行，记作a∥，读作a平行于b。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
a
几何描述 ：∵∥a，∥a
∴∥
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
考查题型三 理解对顶角的性质
题型3．(2023·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
题型3-1．(2023·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
题型3-2．(2023·陕西·中考真题）如图，．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
考查题型六 利用同位角判定平行线
题型6．(2023·浙江台州·中考真题）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型6-1．(2023·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行
题型6-2．(2023·江苏泰州·中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
考查题型七 利用内错角判定平行线
题型7．(2023·新疆·中考真题）如图．AB与CD相交于点O，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型7-1．(2023·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
考查题型八 利用同旁内角判定平行线
题型8．(2023·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A．B．C．D．
题型8-1．(2023·湖南郴州·中考真题）如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
考查题型九 利用平行线的性质求解
题型9．(2023·广东·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=40°，则∠2等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
题型9-1．(2023·云南·中考真题）如图，已知直线c与直线a、b都相交．若ab，∠1=85°，则∠2=（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
题型9-2．(2023·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余B．互补C．同位角D．同旁内角
题型9-3．(2023·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，直线，截线c，d相交成30°角，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
题型9-4．(2023·浙江杭州·中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
题型9-5．(2023·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．75°
题型9-6．(2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）
A．57°B．63°
C．67°D．73°
题型9-7．(2023·重庆·中考真题）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型9-8．(2023·山东滨州·中考真题）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
题型9-9．(2023·山东济宁·中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．
考查题型十 平行线性质的实际应用
题型10．(2023·湖南长沙·中考真题）如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型10-1．(2023·湖北恩施·中考真题）已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
题型10-2．(2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型10-3．(2023·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为．
（1）点F的高度为______m．
（2）设，则与的数量关系是_______．
如图：已知直线，，求证：．
证明：①∵（已知）∴（垂直的定义）
②又∵（已知）③∴（同位角相等，两直线平行）
∴（等量代换）
④∴（垂直的定义）．
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
1
2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
4
3
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°
专题17 相交线与平行线
【考查题型】
【知识要点】
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
考查题型一 垂线定义的理解
题型1．(2023·河南·中考真题）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26°B．36°C．44°D．54°
答案:B
分析：根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．
【详解】解： EO⊥CD，
，
，
．
故选：B ．
【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．
题型1-1．(2023·北京·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
答案:A
分析：由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
题型1-2．(2023·湖北荆州·中考真题）阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
答案:C
分析：根据垂直的定义和平行线的性质进行判断即可
【详解】解：证明：①∵（已知）
∴（垂直的定义）
②又∵（已知）
③∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）
④∴（垂直的定义）．所以错在③
故选：C
【点睛】本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
考查题型二 理解垂线段最短
题型2．(2023·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
答案:A
分析：根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
题型2-1．(2023·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据垂线段距离最短可以判断得出答案．
【详解】解：根据点是直线外一点，，垂足为点，
是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点与点重合时有，
综上所述：，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．
题型2-2．(2023·吉林·中考真题）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
答案:垂线段最短
分析：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
【注意事项】1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键
题型3-3．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
答案:3
分析：根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
题型3-4．(2023·湖北黄冈·中考真题）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝54°，则∠3＝________度．
答案:54
分析：根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．
【详解】因为a∥b，
所以，
因为是对顶角，
所以，
所以，
因为，
所以，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键．
考查题型四 利用邻补角互补求角度
题型4．(2023·湖南娄底·中考真题）一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：如图，由平行线的性质可得 从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得： ，


故选C
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．
题型4-1．(2023·河南·中考真题）如图，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先利用“两直线平行，同位角相等”求出∠3，再利用邻补角互补求出∠2．
【详解】解：如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3=60°，
∴∠2=180°-∠3=120°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基础，考查了学生的基本功．
题型4-2．(2023·湖南湘潭·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，已知，，则为______度．
答案:50
分析：先根据平行线的性质得出∠3=130°，再由邻补角得到∠2=50°．
【详解】解：如图，
∵，，
∴∠3=130°，
又∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-130°=50°．
故答案为：50．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及邻补角，熟练掌握它们的性质是解答此题的关键．
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
考查题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别
题型5．(2023·青海·中考真题）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角
B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角
D．同位角、内错角、同旁内角
答案:D
分析：两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
题型5-1．(2023·广西贺州·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
答案:B
分析：两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角，据此作答即可．
【详解】解：∠1与∠2是对顶角，选项A不符合题意；
∠1与∠3是同位角，选项B符合题意；
∠2与∠3是内错角，选项C不符合题意；
∠3与∠4是邻补角，选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．
题型5-2．(2023·广西贺州·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
答案:B
分析：根据同旁内角的概念求解即可．
【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角，
∠1与∠2是内错角，
∠4与∠2是同位角，
故选：B．
【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键．
题型5-3．(2023·广西百色·中考真题）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
答案:C
分析：根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角，解答即可．
【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．
知识点三 平行线
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，
如：直线a与直线互相平行，记作a∥，读作a平行于b。
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合
平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
a
几何描述 ：∵∥a，∥a
∴∥
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
性质2：两直线平行，内错角相等；
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
几何符号语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
考查题型三 理解对顶角的性质
题型3．(2023·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案:A
分析：利用对顶角相等求解．
【详解】解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，．
故选A．
【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
题型3-1．(2023·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25°B．30°C．40°D．50°
答案:D
分析：根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出．
【详解】解：由题可知，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．
题型3-2．(2023·陕西·中考真题）如图，．若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解．
【详解】解：设CD与EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
考查题型六 利用同位角判定平行线
题型6．(2023·浙江台州·中考真题）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
题型6-1．(2023·吉林·中考真题）如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等D．同位角相等，两直线平行
答案:D
分析：根据“同位角相等，两直线平行”即可得．
【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是，
所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
题型6-2．(2023·江苏泰州·中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
答案:20
分析：根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，
∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，
∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，
∴至少要旋转20°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
考查题型七 利用内错角判定平行线
题型7．(2023·新疆·中考真题）如图．AB与CD相交于点O，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：先由内错角相等可证得ACBD，再由两直线平行，内错角相等得∠D=∠C，即可求解．
【详解】解：∵∠A=∠B，
∴ACBD，
∴∠D=∠C=50°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
题型7-1．(2023·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
答案: 内错角相等，两直线平行
分析：根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
【详解】解：一副三角板如图摆放，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
考查题型八 利用同旁内角判定平行线
题型8．(2023·湖南郴州·中考真题）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当时，；故A不符合题意；
B、当时，；故B不符合题意；
C、当时，；故C符合题意；
D、∵，则，
∵，则，
∴；故D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
题型8-1．(2023·湖南郴州·中考真题）如图，直线被直线所截，下列条件能判定的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:D
分析：直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【详解】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
考查题型九 利用平行线的性质求解
题型9．(2023·广东·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=40°，则∠2等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
答案:B
分析：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.即：两直线平行，同位角相等.
【详解】，，
.
故选.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等.
题型9-1．(2023·云南·中考真题）如图，已知直线c与直线a、b都相交．若ab，∠1=85°，则∠2=（ ）
A．110°B．105°C．100°D．95°
答案:D
分析：利用平角的定义，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案．
【详解】解：如下图，
∵∠1=85°，
∴∠3=180°-85°=95°，
∵ab，∠3=95°，
∴∠2=∠3=95°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平角的定义和平行线的性质，解题的关键是正确掌握平行线的性质．
题型9-2．(2023·江苏盐城·中考真题）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ）
A．互余B．互补C．同位角D．同旁内角
答案:A
分析：利用平行线的性质可得出答案．
【详解】解：如图，过点作平行于，则，
，，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
题型9-3．(2023·内蒙古内蒙古·中考真题）如图，直线，截线c，d相交成30°角，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得，利用三角形的外角性质即可求∠2．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
题型9-4．(2023·浙江杭州·中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
答案:C
分析：根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
题型9-5．(2023·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．75°
答案:C
分析：根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
ACEF，
故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
题型9-6．(2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）
A．57°B．63°
C．67°D．73°
答案:D
分析：根据等腰三角形的性质可求出，可得出，再根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：∵AC=BC，
∴是等腰三角形，
∵
∴
∴
∵a∥b，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出是解答本题的关键．
题型9-7．(2023·重庆·中考真题）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
【详解】解：∵，
∴∠1+∠C=180°，
∵，
∴∠1=130°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
题型9-8．(2023·山东滨州·中考真题）如图，在弯形管道中，若，拐角，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而计算即可．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型9-9．(2023·山东济宁·中考真题）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1l2，l2l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是___________．
答案:
分析：根据平行线的性质得，根据等量等量代换得，进而根据邻补角性质即可求解．
【详解】解：如图
l1l2，l2l3，
，，
，
∠1＝，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了邻补角，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
考查题型十 平行线性质的实际应用
题型10．(2023·湖南长沙·中考真题）如图，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据平行线的性质即可求解．
【详解】如图，设交于点，
，，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
题型10-1．(2023·湖北恩施·中考真题）已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ）
A．120°B．130°C．140°D．150°
答案:D
分析：根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠5=30°，
∵，
∴∠3=∠1=120°，
∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，
∴∠2=120°+30°=150°．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质是解题的关键．
题型10-2．(2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，
∴∠OBC=35°，
∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
题型10-3．(2023·浙江金华·中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，为吸热塔，在地平线上的点B，处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知，在点A观测点F的仰角为．
（1）点F的高度为______m．
（2）设，则与的数量关系是_______．
答案: 9
分析：（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG是矩形，解直角三角形AFG，确定FG，EG的长度即可．
（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解即可．
【详解】（1）过点A作AG⊥EF，垂足为G．
∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，
∵∠AFG=45°，
∴FG=AG=EB=8m，
∴EF=FG+EG=9(m)．
故答案为：9；
（2）．理由如下：
∵∠E=∠EG=∠EG=90°，
∴四边形EG是矩形，
∴EG==1m，G=E=，
∴tan∠FG=，
∴∠FG=60°，∠FG=30°，
根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠FM=2n，
∵ 光线是平行的，
∴AN∥M，
∴∠GAN=∠GM，
∴45°+2m=30°+2n，
解得n-m=7.5°，
根据光路图，得，
∴，
故，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值，光的反射原理，熟练掌握解直角三角形，灵活运用光的反射原理是解题的关键．
如图：已知直线，，求证：．
证明：①∵（已知）
∴（垂直的定义）
②又∵（已知）
③∴（同位角相等，两直线平行）
∴（等量代换）
④∴（垂直的定义）．
种类
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
（∠1与∠2）
1
2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
∠1=∠2
邻补角
（∠3与∠4）
4
3
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.
∠3+∠4=180°