中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题25费马点(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题25费马点(原卷版+解析)，共48页。

模型：如图，已知∆ABC中所有内角都小于120°，且其内部有一点P，连接PA、PB、PC，当PA+PB+PC的值最小时，求∠APC、∠APB、∠BPC
【思路】将PA、PB、PC三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间的线段最短找到符合条件的点P。
求解过程：
将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’B
则∆APB≌∆A’P’B ∴BP=BP’ AP=AP’ ∠A’P’B =∠APB
而∠P’BP=60° 则∆ P’BP为等边三角形
∴∠BPP’=∠P’BP=∠B P’P=60°
∵PA+PB+PC= P’A’+PP’+PC≤A’C
∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C
此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°
∠APB=∠A’P’B =180°-∠BP’ P=120°
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°
【进阶】已知∆ABC，如何作费马点？
①已知∠BAC<120°
作法：1）如图，分别以∆ABC中的AB、AC为边，作等边∆ADB、等边∆AEC
2）连接CD、BE，则∆ADC≌∆ABE(手拉手模型)
3）记CD、BE交点为P，点P为费马点。
4）以BC为边作等边∆BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD。
②已知∠BAC=120°
作法：在∆ABC外作∠BAD=120°,连接BD、CD
此时点A为∆BCD的费马点
则AB+AC+AD≤PB+PC+PD
即AB+AC≤PB+PC+PD-AD≤PA+PB+PC (只有当P、A重合时取等号)
③已知∠BAC>120°
作法：在∠BAC内部作∠BAE=120°,连接BE、CE
则AB+AE≤PA+PB+PE 而AC≤AE+EC
∴AB+AC≤PA+PB+PE+EC≤PA+PB+PC (只有当P、A重合时取等号)
【过关培优练】
1．（2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若，求PA+PB+PC的最小值______．
2．(2023·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB=AC=7,BC=23，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=_________；若AB=23,BC=2,AC=4，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC=_________．
3．(2023秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为_____．
4．(2023·四川成都·九年级专题练习）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat pint），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为2的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_____．
5．（2023春·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC=30°，AB=5，BC=6，P是△ABC内部的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为_____．
6．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为m，m，2m，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则∠APB的大小为______．
7．（2023春·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=32，点P为△ABC内一点，连接PA,PB,PC，则PC+PB+3PA的最小值为__________.
二、单选题
8．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，P为平面内的一点，连接，若，则4PA+2PB+23PC的最小值是（ ）
A．B．36C．D．
三、解答题
9．(2023秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）探究题
(1)知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
(2)知识迁移
我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用
①如图3所示的△ABC（其中∠A､∠B､∠C均小于120°），AB=3,BC=4,∠ABC=30°，现取一点P，使点P到A､B､C三点的距离之和最小，求最小值；
②如图4，若三个村庄A､B､C构成Rt△ABC，其中AC=6km,BC=43km,∠C=90°．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄A､B､C铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果）
10．(2023·四川成都·模拟预测）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连接PP'，此时△ACP'≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，∠DAE=∠PAC，求证：BE=PA+PB+PC．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出PA+PB+PC的值．
11．(2023秋·全国·九年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点P是△ABC内的一点，将绕点A逆时针旋转60°到△AP'C'，则可以构造出等边△APP'，得AP=PP'，CP=CP'，所以PA+PB+PC的值转化为PP'+PB+P'C'的值，当B，P，P'，C四点共线时，线段BC的长为所求的最小值，即点P为△ABC的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点P是等边△ABC内的一点，连接PA，PB，PC，将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'．
①若PA=3，则点P与点P'之间的距离是______；
②当PA=3，PB=5，PC=4时，求∠AP'C的大小；
(2)如图2，点P是△ABC内的一点，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．
12．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM,BM,CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，求此时∠AMB,∠BMC,∠CMA的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．
13．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC．（加权费马点）求：
（1）PA+PB+PC的最小值；
（2）PA+PB+2PC的最小值
（3）PA+PB+3PC的最小值；
（4）2PA+PB+3PC的最小值
（5）12PA+PB+32PC的最小值；
（6）2PA+4PB+23PC的最小值
（7）4PA+2PB+23PC的最小值；
（8）3PA+4PB+5PC的最小值
14．(2023·山东济南·统考三模）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；
（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
15．(2023·山西·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）横线处填写的条件是__________；
（2）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长.
16．(2023秋·浙江台州·九年级校考期中）(1) 知识储备
①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA．
②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC
的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．
(2)知识迁移
①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法：
如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC 的费马距离.
②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图).
(3)知识应用
①判断题（正确的打√，错误的打×）：
ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（ ）；
ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（ ）.
②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为6+2，求正方形 ABCD 的
边长．

17．(2023·全国·九年级专题练习）若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为 ；
(2)如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB'连结BB'．求证：BB'过△ABC的费马点P，且BB'=PA+PB+PC．
18．(2023秋·广东河源·九年级校考期中）皓皓在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点连线的夹角相等，此时点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值最小，为了论证这个命题，皓皓做了以下探究：
(1)问题的转化：把绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP'+P'C'的最小值的问题了，请你利用图1，证明：PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'．
(2)问题的解决：当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，求∠APB和∠APC的度数．
(3)结论的应用：如图2是一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为23，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
费马，17世纪德国的业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理.费马得到过这样的结论：如图①，当三角形的三个角均小于120°时，在三角形内有一点P，使得∠APB=∠APC=∠BPC=120°，且该点到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点被称为费马点.
证明：如图②，把绕A点逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'，则∠PAP'=60°，
∵________，
∴△APP'为等边三角形.
∴AP=PP',P'C'=PC，
∴PA+PB+PC=PP'+PB+P'C'，
点C'可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC为定长，
∴当B、P、P'、C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小，
这时∠BPA=180°−∠APP'=180°−60°=120°，
∠APC=∠AP'C'=180°−∠AP'P=180°−60°=120°，
∠BPC=360°−∠BPA−∠APC=360°−120°−120°=120°.
专题25 费马点
费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点。
模型：如图，已知∆ABC中所有内角都小于120°，且其内部有一点P，连接PA、PB、PC，当PA+PB+PC的值最小时，求∠APC、∠APB、∠BPC
【思路】将PA、PB、PC三条分散的线段转化为连续的折线，然后借助两点之间的线段最短找到符合条件的点P。
求解过程：
将∆APB绕着点B逆时针旋转60°得到∆A’P’B
则∆APB≌∆A’P’B ∴BP=BP’ AP=AP’ ∠A’P’B =∠APB
而∠P’BP=60° 则∆ P’BP为等边三角形
∴∠BPP’=∠P’BP=∠B P’P=60°
∵PA+PB+PC= P’A’+PP’+PC≤A’C
∴当A’、P’、P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为A’C
此时∠BPC=180°-∠BPP’=120°
∠APB=∠A’P’B =180°-∠BP’ P=120°
∠APC=360°-∠APB-∠BPC=120°
【进阶】已知∆ABC，如何作费马点？
①已知∠BAC<120°
作法：1）如图，分别以∆ABC中的AB、AC为边，作等边∆ADB、等边∆AEC
2）连接CD、BE，则∆ADC≌∆ABE(手拉手模型)
3）记CD、BE交点为P，点P为费马点。
4）以BC为边作等边∆BCF，连接AF，必定经过点P，且BE=AF=CD。
②已知∠BAC=120°
作法：在∆ABC外作∠BAD=120°,连接BD、CD
此时点A为∆BCD的费马点
则AB+AC+AD≤PB+PC+PD
即AB+AC≤PB+PC+PD-AD≤PA+PB+PC (只有当P、A重合时取等号)
③已知∠BAC>120°
作法：在∠BAC内部作∠BAE=120°,连接BE、CE
则AB+AE≤PA+PB+PE 而AC≤AE+EC
∴AB+AC≤PA+PB+PE+EC≤PA+PB+PC (只有当P、A重合时取等号)
【过关培优练】
1．（2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等．
【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值______．
答案:
分析：将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点，首先证明，求出的值即可解决问题．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点，
在中，∵，，
∴，
由旋转的性质可知：，、是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴当共线时，的值最小，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，理由旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
2．(2023·辽宁丹东·统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则_________；若，P为的费马点，则_________．
答案: 5
分析：①作出图形，过分别作,勾股定理解直角三角形即可
②作出图形，将绕点逆时针旋转60，P为的费马点则四点共线，即，再用勾股定理求得即可
【详解】①如图,过作，垂足为,
过分别作, 则, P为的费马点
5
②如图：

.
将绕点逆时针旋转60
由旋转可得：
是等边三角形，
P为的费马点
即四点共线时候，
=
故答案为：①5，②
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转也可，但必须绕顶点旋转．
3．(2023秋·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为_____．
答案:7+2
分析：根据相似三角形的判定和性质，即可求解．
【详解】解：如图：
∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，
∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴△BPC∽△APB
∴
即PB2＝12
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质．
4．(2023·四川成都·九年级专题练习）已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点（Fermat pint），已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时，P就是△ABC的费马点，若P就是△ABC的费马点，若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF=_____．
答案:．
【详解】如图：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠MEP=∠MFP=30°，则EM=DM=1，故cs30°=，解得：PE=PF==，则PM=，故DP=1﹣，则PD+PE+PF=2×+1﹣=．故答案为．
5．（2023春·山东济宁·九年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，中，，，，是内部的任意一点，连接、、，则的最小值为_____．
答案:
分析：以为边作等边三角形，将绕点顺时针旋转，得到，连接，可得，，，，，则当点，点，点，点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，将绕点顺时针旋转，得到，连接A，
是等边三角形，
，，
将绕点顺时针旋转，
，，，
，
，
当点，点，点，点共线时，有最小值为，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键．
6．（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为m，m，，将线段BP以点B为旋转中心顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则的大小为______．
答案:
分析：由“”可证，可得，，由勾股定理的逆定理可得，．
【详解】解：将线段以点为旋转中心顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
又，，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2023春·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）如图，中，，，点P为内一点，连接，则的最小值为__________.
答案:
分析：作辅助线如详解图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得，于是所求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短可得的最小值即为线段的长，然后求出的长即可解决问题.
【详解】解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，过点E作交的延长线于点F，过点A作于点M，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即的最小值为的长（当点E、D、P、B四点共线时取最小值），
∵中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则在直角三角形中，，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质以及两点之间线段最短等知识，灵活运用旋转的方法将所求的最小值转化为求的最小值是解题的关键.
二、单选题
8．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．B．36C．D．
答案:A
分析：分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值．
【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，
∵取、中点，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∵等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时最小，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线．
三、解答题
9．(2023秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）探究题
(1)知识储备
①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．
②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．
(2)知识迁移
我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．
(3)知识应用
①如图3所示的△ABC（其中均小于），，现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；
②如图4，若三个村庄构成Rt△ABC，其中．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果）
答案:(1)证明见解析；
(2)AD
(3)5，．
分析：（1）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC；
（2）利用（1）中结论得出PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，再根据“两点之间线段最短”可得答案；
（3）①在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解；
②仿照①的方法可画出P的位置，利用勾股定理可求出输水管总长度的最小值，
（1）
解：①证明：在PA上截取PD=PC，连接CD，
∵AB=AC=BC，
所以，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
∴△ACD≌△BCP(SAS)，
∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，
∴PA=PB+PC；
（2）
如图2，根据（1）的结论得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，
∴当A、P、D共线时，PA+PB+PC的值最小，
∴线段AD的长度即为△ABC的费马距离，
故答案为：AD；
（3）
①如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，连接AD，则线段AD的长即为最短距离，
∵△BCD为等边三角形，BC=4，
∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，
∵AB=3，BD=4，
∴；
②以BC为边，在BC下方作等边△BCK，设等边△BCK外接圆为⊙O，连接AK交⊙O于P，则由①知此时PA+PB+PC最短，且最短距离等于AK的长度，过K作KT⊥AC交AC延长线于T，如图：
∵△BCK是等边三角形，
∴∠BCK=60°，CK=BC=，
∵∠CAB=90°，
∴．∠TCK=30°，
在Rt△CTK中，
∴
在Rt△AKT中，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的综合应用，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离，还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识，难度很大，理解新定义是本题的关键．
10．(2023·四川成都·模拟预测）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时，的值最小．
(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到处，连接，此时，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使，，求证：．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，，，，点P为直角三角形ABC的费马点，连接AP，BP，CP，请直接写出的值．
答案:(1)150°
(2)见解析
(3)
分析：（1）由全等三角形的性质得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根据旋转性质，证明△APP′为等边三角形，△PP′C为直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；
（2）由费马点的性质得到，，再证明 (ASA)，由全等三角形对应边相等的性质解得，最后根据线段的和差解答；
（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，由勾股定理解得，由旋转的性质，可证明△BPP′是等边三角形，再证明C、P、A′、P′四点共线，最后由勾股定理解答．
【详解】（1）解：∵，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′＝60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，
由旋转的性质可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，
∵32+42=52
∴△PP′C为直角三角形，且∠PP′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）证明：∵点P为△ABC的费马点，
∴，
∴，
又∵，
∴APD为等边三角形
∴，，
∴，
∴，
在△APC和△ADE中，
∴ (ASA)；
∴，
∵，
∴BE＝PA＋PB＋PC；
（3）解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴，
把△APB绕点B顺时针方向旋转60°得到△A′P′B，
∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，
∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，
∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，
∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，
∴C、P、A′、P′四点共线，
在Rt△A′BC中，，
∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．
11．(2023秋·全国·九年级专题练习）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费马点”．
如图，点是内的一点，将绕点逆时针旋转60°到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当，，，四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”．
(1)【拓展应用】
如图1，点是等边内的一点，连接，，，将绕点逆时针旋转60°得到．
①若，则点与点之间的距离是______；
②当，，时，求的大小；
(2)如图2，点是内的一点，且，，，求的最小值．
答案:(1)①3；②150°；
(2)
分析：（1）①根据旋转的性质即可求出的值；
②先证△ABP≌，利用全等的性子求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小；
（2）将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，先求出，然后证明为等边三角形，当B、P、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可．
【详解】（1）①如图，将绕A逆时针旋转60°，
则，，
∴为等边三角形，
；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵是等边三角形，
∴∠PAC+=60°，
∴∠BAP=，
在△ABP与中，，
∴△ABP≌（SAS），
∴
∴，，
，
又∵旋转，∴；
（2）如图，将△APC绕C点顺时针旋转60°得到，
则，
在中，，
，
，
又∵，
，，
过作⊥BC交BC的延长线于点D，
则，
，
（30°所对的直角边等于斜边的一半），
，
，为等边三角形，
当B、P、、四点共线时，和最小，
在中，，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形解决问题．
12．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，点M为锐角三角形内任意一点，连接．以为一边向外作等边三角形，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
（1）求证：；
（2）若的值最小，则称点M为的费马点．若点M为的费马点，求此时的度数；
（3）受以上启发，你能想出作锐角三角形的费马点的一个方法吗？请利用图2画出草图，并说明作法以及理由．
答案:（1）见解析；（2）：；；（3）见解析
分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB
（2）连接MN，由（1）的结论证明ΔBMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度数；
（3）根据（2）中费马点的定义，又△ABC的费马点在线段EC上，同理也在线段BF上，因此线段EC和BF的交点即为△ABC的费马点．
【详解】解：（1）证明：∵为等边三角形，
∴．
而，
∴．
在与中，
∴．
（2）连接．由（1）知，．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∴．
∴当E、N、M、C四点共线时，的值最小．
此时，：；．
（3）如图2，分别以的，为一边向外作等边和等边，连接，相交于M，则点M即为的费马点，由（2）知，的费马点在线段上，同理也在线段上．因此线段与的交点即为的费马点．
（方法不唯一，正确即可）
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
13．(2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，在内部有一点P，连接、、．（加权费马点）求：
（1）的最小值；
（2）的最小值
（3）的最小值；
（4）的最小值
（5）的最小值；
（6）的最小值
（7）的最小值；
（8）的最小值
答案:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）
分析：（1）将绕点B顺时针旋转得到，则，，，可以推出为等边三角形，得到，则，即可得到A、P、、四点共线时，最小，最小值为，然后证明，由此利用勾股定理求解即可；
（2）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，从而得到，则当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（3）将绕点C逆时针旋转得到，则可证明，则，故当A、P、、四点共线时最小，最小值为，过点A再作的垂线，垂足为E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；
（4）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接，先证明，则可以得到，故当，，，共线时最小，最小为，然后证明，即可利用勾股定理求解；
（5）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，然后证明，由此求解即可；
（6）由可由（5）得：的最小值为26；
（7）由可由（4）得的最小值为；
（8）将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．在中，，，过点作交BC延长线于E，然后求出，的长，由此即可求解．
【详解】解：（1）如图3-2，将绕点B顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴A、P、、四点共线时，最小，最小值为
同理可证为等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为；
（2）如图3-4，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，
∴∠CAE=30°，
∴
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（3）如图3-6，将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，，，，
∴，
过点C作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当A、P、、四点共线时，最小，最小值为
∵∠ACB=30°，
∴
∴，
过点A再作的垂线，垂足为E，
∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，
∴
∴，
∴
∴，
∴的最小值为；
（4）如图3-8，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心放大2倍，得到，连接
由旋转的性质得，，，，
∴，，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，，，共线时最小，最小为，
∵，
∴，
∴的最小值为；
（5）如图3-10，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小2倍，得到，
同（4）原理可证得当，，，共线时最小，最小为，
∵，在中，，
，
最小为；
（6）∵
∴由（5）得：的最小值为26；
（7）∵
∴由（4）得的最小值为；
（8）如图3-12，将绕点C顺时针旋转，得到，再将以点C为位似中心缩小倍，得到，
同理可以证得当A、P、、，共线时的值最小．
在中，，，
过点作交BC延长线于E，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够作出辅助线，找到P点在什么位置时，线段的和最小．
14．(2023·山东济南·统考三模）如图（1），P为ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做ABC的费马点．
（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P （填是或不是）该三角形的费马点．
（2）如果点P为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：ABP∽BCP；
（3）已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为ABC的费马点．
答案:（1）是；（2）见解析；（3）①60°，②见解析
分析：（1）由等边三角形的性质证明 可得 同法可得： 从而可得结论；
（2）由为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°，证明∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC＝120°，从而可得△ABP∽△BCP；
（3）①如图2所示：由△ABE与△ACD都为等边三角形，证明△ACE≌△ADB（SAS），利用全等三角形的性质可得∠CPD＝∠6＝∠5＝60°； ② 先证明△ADF∽△PCF，可得 再证明△AFP∽△DFC．可得∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，再证明∠BPC＝120°，从而可得结论．
【详解】解：（1）如图1所示：
∵AB＝BC，BM是AC的中线，
∴MB平分∠ABC．
同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．
∴∠APB＝120°．
同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．
∴P是△ABC的费马点．
故答案为：是．
（2）为锐角ABC的费马点，且∠ABC＝60°．
∠APB＝∠BPC＝120°，
∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC，
∴△ABP∽△BCP．
（3）如图2所示：
①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
∴△ACE≌△ADB（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；
②证明：
△ADF∽△PCF，

∵∠AFP＝∠CFD，
∴△AFP∽△DFC．
∴∠APF＝∠ACD＝60°，
∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，

∴∠BPC＝120°，
∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，
∴P点为△ABC的费马点．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，确定图中隐含的全等三角形与相似三角形是解题的关键．
15．(2023·山西·九年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）横线处填写的条件是__________；
（2）已知正方形内一动点到三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长.
答案:（1）；（2）2.
分析：(1)根据旋转的性质得到;
(2)根据旋转的性质得到,都是等边三角形,再利用正方形性质和勾股定理表示出,根据题意得到求出a的值即可.
【详解】解：（1）；
（2）如解图①，连接，把绕点顺时针旋转，得到，
连接EF,BG,AG，可知,都是等边三角形，则.
又，
.
点、点为定点（点为点绕点顺时针旋转所得），
线段即为点到A,B,C三点的距离之和的最小值，
此时E,F两点都在上（如解图②）.
设正方形的边长为，
，
在中，
，
，
点到A,B,C三点的距离之和的最小值为，
，解得，
此正方形的边长为2.
【点睛】本题考查了图形旋转的性质,正方形的性质,勾股定理的应用,中等难度,掌握正方形的性质是解题关键,主要失分原因是: （1）未掌握图形旋转的性质；（2）不能够将题目探究过程中的发现进行推广应用.
16．(2023秋·浙江台州·九年级校考期中）(1) 知识储备
①如图 1，已知点 P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA．
②定义：在△ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 P 为△ABC
的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．
(2)知识迁移
①我们有如下探寻△ABC (其中∠A，∠B，∠C 均小于 120°)的费马点和费马距离的方法：
如图 2，在△ABC 的外部以 BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC 的费马距离.
②在图 3 中，用不同于图 2 的方法作出△ABC 的费马点 P(要求尺规作图).
(3)知识应用
①判断题（正确的打√，错误的打×）：
ⅰ.任意三角形的费马点有且只有一个（ ）；
ⅱ.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（ ）.
②已知正方形 ABCD，P 是正方形内部一点，且 PA+PB+PC 的最小值为，求正方形 ABCD 的
边长．

答案:（1）见解析；（2）①AD,②见解析；（3）①ⅰ：√，ⅱ：×；②2
分析：（1）根据已知首先能得到△PCE为等边三角形，进而得出△ACE≌△BPC，即可得证；
（2）①仔细阅读新知的概念，结合图形特点，直接有结论判断即可；
②根据尺规作图，作等边三角形即可求得费马点；
（3）①ⅰ.根据作图可知费马点有且只有一个，ⅱ.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部；
②将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1，过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P，根据等边三角形的判定与性质，得到△P1PB是正三角形，进而得出∠A1BH=30°，然后由正方形的性质和30°角直角三角形的性质，根据勾股定理求出正方形的边长.
【详解】（1）①证明：在PA上取一点E，使PE=PC，连接CE，
∵正三角形ABC
∴∠APC=∠ABC=60°
又∵PE=PC，∴△PEC是正三角形
∴CE=CP，∠ACB=∠ECP=60°
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4，BC=AC
∴△ACE≌△BCP (ASA)
∴AE=BP
即：BP+CP=AP.
（2）①线段 AD 的长度即为△ABC的费马距离．
②过AB和AC分别向外作等边三角形，连接CD，BE，
交点即为P0．
（3）①ⅰ.根据作图可知费马点有且只有一个；
ⅱ.由图1和图2，可知任意三角形的费马点不一定都在三角形的内部；
②解：将△ABP沿点B逆时针旋转60°到△A1BP1，
过A1作A1H⊥BC，交CB的延长线于H，连接P1P，
易得：A1B=AB，PB=P1B，PA=P1 A1，∠P1BP=∠A1BA=60°
∵PB=P1B ∠P1BP=60°
∴△P1PB是正三角形
∴PP1=PB
∵PA+PB+PC的最小值为
∴P1A1+PP1+PC的最小值为
∴A1，P1，P，C在同一直线上，即A1C=
设正方形的边长为2x
∵∠A1BA=60° ∠CBA=90°
∴∠1=30°
在Rt△A1HB中，A1B=AB=2x，∠1=30°
得：A1H=x，BH=
在Rt△A1HC中，由勾股定理得：，
解得：x1=1，x2=−1（舍去）
∴正方形ABCD的边长为2．
【点睛】此题是一个阅读理解形的题目，关键是认真读题，确定题目中新概念的意义，利用新概念求解进行解题，注意方程思想在解题中的应用，有一定的难度，是新型中考题.
17．(2023·全国·九年级专题练习）若P为△ABC所在平面上一点，且，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为 ；
(2)如图，在锐角△ABC外侧作等边连结．求证：过△ABC的费马点P，且．
答案:(1)
(2)证明见解析
分析：（1）由题意可得△ABP∽△BCP，所以，即PB=2；
（2）在上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在上截取PE=PC，连接CE．由此可以证明△PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE，∠PCE=60°，，而为正三角形，由此也可以得到，，现在根据已知的条件可以证明，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论．
【详解】（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，
∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴PB=；
（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．
∠BPC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE为正三角形，
∴PC=CE，∠PCE=60°，．
∵为正三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，
∴P为△ABC的费马点．
∴过△ABC的费马点P，且．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
18．(2023秋·广东河源·九年级校考期中）皓皓在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：内总存在一点与三个顶点连线的夹角相等，此时点到的三顶点的距离之和的值最小，为了论证这个命题，皓皓做了以下探究：
(1)问题的转化：把绕点A逆时针旋转得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了，请你利用图1，证明：．
(2)问题的解决：当点到锐角的三顶点的距离之和的值为最小时，求和的度数．
(3)结论的应用：如图2是一个锐角为的直角三角形，如果斜边为，点是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
答案:(1)见解析
(2)
(3)
分析：（1）根据旋转的性质证明是等边三角形，则，可得结论；
（2）运用类比的思想，把绕点逆时针旋转60度得到，连接，由“问题的转化”可知：当、、、在同一直线上时，的值为最小，确定当：时，满足三点共线；
（3）作辅助线，构建直角，利用勾股定理求的长，即是点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【详解】（1）解：由旋转得：，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，
由“问题的转化”可知：当B、P、、在同一直线上时，的值为最小，
当时，
，
∴，
∴B、P、在同一直线上，
由旋转得：，
∵，
∴，
∴P、、在同一直线上，
∴B、P、、在同一直线上，
∴此时的值为最小，
∴；
（3）如图，中，，，
，，
把绕点逆时针旋转60度得到，连接，
当、、、在同一直线上时，的值为最小，
由旋转得：，，，，
是等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
则点到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
费马，17世纪德国的业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，他独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理.费马得到过这样的结论：如图①，当三角形的三个角均小于时，在三角形内有一点，使得，且该点到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点被称为费马点.
证明：如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接，则，
________，
为等边三角形.
，
，
点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长，
当四点在同一直线上时，最小，
这时，
，
.