中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题31相似三角形模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)专题31相似三角形模型(原卷版+解析)，共75页。

判定定理一：平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。
判定定理二：三边成比例的两个三角形相似，即：
若ABA'B'=BCB'C'=ACA'C'=k，则△ABC∽△A'B'C'
判定定理三：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似。
即：若ACA'C'=BCB'C'=k，且∠C＝∠C' 则△ABC∽△A'B'C'
判定定理四：两个角分别相等的两个三角形相似。
即：若∠C=∠C'，∠B=∠B',则△ABC∽△A'B'C'
判定定理五：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似。
即：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
若ABA'B'=ACA'C'=k或ABA'B'=BCB'C'=k,
则Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比。
4）相似三角形面积比等于相似比的平方。
【总结】
三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。
口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。
【专项练习】
【A字模型】
1．（四川省遂宁市2020年中考数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．12B．C．D．34
2．(2023年陕西省宝鸡市金台区中考一模数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（ ）
A．B．12C．D．34
3．（江苏省南通市2020年中考数学试题）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
4．(2023年浙江省金华市、丽水市中考数学试题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
5．如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高．求证：△ACB∽△AED．
6（辽宁省丹东市东港市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的29；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
7．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长．（结果精确到0.1m)．
【8字模型】
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE＝__________．
2．（山西省2021年中考数学真题）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接，若，且CD=62，则AB的长为__________．
3．（广东省2020年中考数学试题）如图，点B是反比例函数y=8x（x>0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，BG．
（1）填空：k=_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
4．（安徽省2020年中考数学试题）如图1．已知四边形ABCD是矩形．点E在BA的延长线上．AE=AD. EC与BD相交于点G，与AD相交于点F,AF=AB.
1求证：BD⊥EC；
2若AB=1，求AE的长；
3如图2，连接AG，求证：EG−DG=2AG．
5．（辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF/​/AM交直线AN于点F，在AM上取点E，使∠AEB=∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当tanα=43，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．
6．（四川省广元市2021年中考数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
【母子型】（含射影定理）
1．（安徽省阜阳市阜阳实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设CEEB=λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．
2．（江苏省南京市联合体2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
3．（上海市金山初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且ABAC=ADCE，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
4（辽宁省葫芦岛市连山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图：ΔABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，∠CBF=12∠BAC．
（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若FC=2，BF=6，求CE的长．
5．（江苏省苏州工业园区星海实验中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【一线三等角】
1．(2023年湖北省襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟（一模）数学试题）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD=3，将△ADE沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且BF=4CF时，DE⋅AF的值为______．
2．（江苏省宿迁市2020年中考数学试题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：AEEB=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且EFEG=AEEB，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且AEEB=DEEC，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B=∠ADE=∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
4．（吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易证△DAP∽△PBC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．若PD=4，，BC=6，求AP的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长．
5．（山东省泰安市东平县2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与B,C重合)．连接AE,过点E作EF⊥AE,交DC于点F．
1求证：△ABE∼△ECF；
2连接，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．
【旋转模型】
1．（河南省2019年中考数学试题）在ΔABC，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．
2．（广东省深圳市2021年中考数学真题）在正方形ABCD中，等腰直角△AEF，∠AFE=90°，连接CE，H为CE中点，连接BH、、HF，发现BFBH和∠HBF为定值．
（1）①BFBH=__________；
②∠HBF=__________；
③小明为了证明①②，连接AC交BD于O，连接，证明了OHAF和BABO的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，BDAD=EAFA=k，∠BDA=∠EAF=θ（0°<θ<90°）求：
①FDHD=__________（用k的代数式表示）
②FHHD=__________（用k、θ的代数式表示）
3．（山东省威海市2020年中考数学试题）发现规律：
（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD,CE交于点F．直线BD，AC交于点．求∠BFC的度数
（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点F．直线BD，AC交于点．若∠ABC=∠ADE=α，∠ACB=∠AED=β，求∠BFC的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)，点M的坐标为(3,0)，N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60∘得到线段MK，连接NK，OK，求线段OK长度的最小值
4．（河南省周口市西华县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）观察猜想
(1)如图1，在等边△ABC中，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，则∠ABC与∠ACN的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是边BC上任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连按CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【三角形内接矩形模型】
1．（人教版九年级27.7相似三角形的应用举例）如图，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=ℎcm，要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=________．
2．（【区级联考】吉林省长春市南关区2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
3．已知∠BAC的余切值为2，AB=25，点D是线段AB上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，连接BG，并延长BG交射线AC于点P．

(1)连接AG，求证：ct∠GAF=3；
(2)如图1，当点P在线段EF上时，如果∠GPF的正切值为2，求线段BD的长；
(3)连接AG，当△AGP为等腰三角形时，求线段BD的长．
模型
图形
结论
证明过程（思路）
A字模型
①∆ADE~∆ABC
②ADAB=AEAC=DEBC
1)已知DE∥BC 则∠ADE=∠ABC
而∠A=∠A 所以∆ADE~∆ABC
2) 已知∠1=∠2 ∠A=∠A
所以∆ADE~∆ABC
共边反A字模型
①∆ABC~∆ACD ②ABAC=ACAD=BCCD
③AC2=AB•AD
剪刀反A字模型
①∆ABC~∆ADE ②ABAD=ACAE=BCDE
证明过程参照按照2）
8字模型
正8字模型
①∆AOB~∆COD ②AOCO=BODO=ABCD
反8字模型
①∆AOB~∆DOC ②AODO=BOCO=ABCD
3)已知AB∥DC 则∠A=∠C
而∠AOB=∠DOC 所以∆AOB~∆COD
4) 已知∠1=∠2 ∠AOB=∠DOC
所以∆AOB~∆DOC
射影定理
①∆ABC~∆ADB~∆BDC
②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积）
③AB•BC=BD•AC（面积法）
5)已知∠ABC=∠ADB=90°
∠ABD=∠C ∠A= ∠DBC
∴∆ABC~∆ADB~∆BDC
一线三垂直
①∆ABC~∆CDE
②ABCD=BCDE=ACCE
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
6)∵∠B=∠D=∠ACE=90°
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°
则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE
7)∵ ∆ABC~∆CDE
∴ABCD=ACCE而点C为BD中点
则ABBC=ACCE 又∵∠B=∠ACE=90°
∴∆ABC~∆ACE 则∆ABC~∆CDE~∆ACE
一线三等角
①∆ABC~∆CDE
②ABCD=BCDE=ACCE
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
8）∵∠B=∠D=∠ACE=α
∴∠ACD=∠1+∠B=∠1+α
而∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠3+α
则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE
结论③证明过程参照7）
线束模型
(一)
①DFEF=BGCG （左图）
②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）
9）∵DE∥BC
∴∆ADF~∆ABG，∆AFE~∆AGC
∴DFBG=AFAG，AFAG=EFCG
∴DFBG=EFCG 则DFEF=BGCG
同理右图结论DF:FG:EG=BH:HI:CI
线束模型
(二)
①AEBE=DFCF（左图）
②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）
10）∵AB∥CD
∴∆AOE~∆DOF，∆BOE~∆COF
∴AEDF=OEOF，OEOF=BECF
∴AEDF=BECF 则AEBE=DFCF
同理右图结论AE:EF:BF=DH:HG:CG
三角形内接矩形
①∆ABC~∆ADG
②ADAB=AGAC=DGBC= AMAN
③若四边形DEFG为正方形
即DGBC= AMAN 若假设DG=x
则xBC= AN−xAN 若已知BC、AN长，即可求出x的值
11)∵四边形DEFG为矩形
∴DG∥BC 而AN⊥BC
∴∆ABC~∆ADG ∠AMG=∠ANC=90°
∴ADAB=AGAC=DGBC= AMAN
三平行模型
①1AB+1CD=1EF
②1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
12)∵AB∥EF∥CD
∴∆ABC~∆EFC，∆BEF~∆BDC
∴EFAB=FCBC①，EFCD=BFBC②
①+②得EFAB+EFCD=FCBC+BFBC=BCBC=1
两边同除EF得, 1AB+1CD=1EF
13)作AM⊥BC于点M,EN⊥BC于点N,DP⊥BC于点P
同理可得1AM+1DP=1EN
则1AM•112BC+1DP•112BC=1EN•112BC
∴1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
旋转相似模型
①∆ABD~∆ACE
∵∆ADE~∆ABC
∴∠BAC=∠DAE ADAB=AEAC
而∠1+∠DAC=∠BAC ∠2+∠DAC=∠DAE
∴∠1=∠2
∴∆ABD~∆ACE
专题31 相似三角形模型
相似三角形的判定方法：
判定定理一：平行于三角形一边的直线和其两边相交（或其两边的延长线相交），所构成的三角形和原三角形相似。
判定定理二：三边成比例的两个三角形相似，即：
若，则∽
判定定理三：两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似。
即：若，且∠C＝ 则∽
判定定理四：两个角分别相等的两个三角形相似。
即：若，,则∽
判定定理五：斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似。
即：在中，
若或,
则
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比。
3）相似三角形周长的比等于相似比。
4）相似三角形面积比等于相似比的平方。
【总结】
三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。
口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。
【专项练习】
【A字模型】
1．（四川省遂宁市2020年中考数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
2．(2023年陕西省宝鸡市金台区中考一模数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝
∵△ABE∽△DFE，
∴＝，
∵AE＝2ED，
∴AB＝2DF，
∴＝，
∴＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．
3．（江苏省南通市2020年中考数学试题）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
答案:（1）；（2）BF＝3．
分析：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4-x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得（3x）2+（4+x）2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠C＝90°，
由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，
在Rt△EPD中，∵EM＝MD，
∴PM＝EM＝DM，
∴∠3＝∠MPD，
∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，
∵∠ADP＝2∠3，
∴∠1＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DPC，
∴∠1＝∠DPC，
∵∠MOP＝∠C＝90°，
∴△POM∽△DCP，
∴，
∴．
（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴，
∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，
∴（3x）2+（4+x）2＝122，
解得：x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴，
∴，
∴BF＝3．
【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．(2023年浙江省金华市、丽水市中考数学试题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
答案:（1）4;（2）①90°；②
分析：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE ，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．
答案:见详解
分析：先证明，即有，再结合，即可证明．
【详解】∵、分别是、边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．
6（辽宁省丹东市东港市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
答案:（1），；（2）t＝3或
分析：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36，
∵△AMN的面积是△ABD面积的，
∴6t﹣t2＝，
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t1＝4，t2＝2，
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的；
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
则有，即，
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
则有，即，
解得t＝，
答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．
7．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点处时，张龙测得李明直立时身高与影子长正好相等；接着李明沿方向继续向前走，走到点处时，李明直立时身高的影子恰好是线段，并测得，已知李明直立时的身高为，求路灯的高的长．（结果精确到．
答案:路灯的高CD的长约为6.1m
分析：根据，，，得到，从而得到，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【详解】解：设长为m，
，，，，
，
m，
，
，即，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
路灯高的长约为6.1m
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
【8字模型】
1．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．
答案:2
分析：过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．
【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴在等腰直角三角形中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
2．（山西省2021年中考数学真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________．
答案:．
分析：延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，．
【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，
∵，，
∴，，为等腰．
由题意可得E为CD的中点，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，

∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．
3．（广东省2020年中考数学试题）如图，点是反比例函数（）图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，，反比例函数（）的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，点与点关于点对称，连接，．
（1）填空：_________；
（2）求的面积；
（3）求证：四边形为平行四边形．
答案:（1）2 （2）3 （3）见解析
分析：（1）根据题意设点B的坐标为（x，），得出点M的坐标为（，），代入反比例函数（），即可得出k；
（2）连接，根据反比例函数系数k的性质可得，，可得，根据，可得点到的距离等于点到距离，由此可得出答案；
（3）设，，可得，，根据，可得，同理，可得，，证明，可得，根据，得出，根据，关于对称，可得，，，可得，再根据，即可证明是平行四边形．
【详解】解：（1）∵点B在上，
∴设点B的坐标为（x，），
∴OB中点M的坐标为（，），
∵点M在反比例函数（），
∴k=·=2，
故答案为：2；
（2）连接，则，
，
∵，
∴，
∵，
∴点到的距离等于点到距离，
∴；
（3）设，，
，，
又∵，
∴，
同理，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，关于对称，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，灵活运用知识点是解题关键．
4．（安徽省2020年中考数学试题）如图1．已知四边形是矩形．点在的延长线上．与相交于点，与相交于点
求证：；
若，求的长；
如图2，连接，求证：．
答案:（1）见解析；（2）；（3）见解析
分析：（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；
（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有，进而得到x的方程，解之即可；
（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC，
在△EAF和△DAB，
，
∴△EAF≌△DAB(SAS)，
∴∠E=∠BDA，
∵∠BDA+∠ABD=90º，
∴∠E+∠ABD=90º，
∴∠EGB=90º，
∴BG⊥EC；
（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，
∵AF∥BC，∠E=∠E，
∴△EAF∽△EBC，
∴，又AF=AB=1，
∴即，
解得：，（舍去）
即AE=；
（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，
在△EAH和△DAG，
，
∴△EAH≌△DAG(SAS)，
∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，
∵∠EAH+∠DAH=90º，
∴∠DAG+∠DAH=90º，
∴∠HAG=90º，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴即，
∴GH=AG，
∵GH=EG-EH=EG-DG，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
5．（辽宁省鞍山市2021年中考真题数学试卷）如图，在中，，，过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转得到AN，过点C作交直线AN于点F，在AM上取点E，使．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
②如图2，当时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
（2）当，时，若是直角三角形，直接写出AF的长．
答案:（1）①；②，理由见解析；（2）或
分析：（1）①结论：．如图1中，作交AM于T．想办法证明，，可得结论．
②结论：．过点C作于Q．想办法证明，，可得结论．
（2）分两种情形：如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明，可得结论．如图3－2中，当时，，解直角三角形求出AK，可得结论．
【详解】解：（1）①结论：．
理由：如图1中，作交AM于T．
，，
是等边三角形，
，，
，，
四边形AFCT是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
②如图2中，结论：．
理由：过点C作于Q．
，
，
，
，
，
四边形AFCQ是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图3－1中，当时，过点B作于J，过点F作于K．
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形CDKF是平行四边形，
，
四边形CDKF是矩形，
，
，
，
，
．
如图3－2中，当时，同理可得：
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的AF的值为或．
【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解题的关键．
6．（四川省广元市2021年中考数学试题）如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．
（1）求证：；
（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．
答案:（1）证明见解析；（2）24．
分析：（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证；
（2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点E为DC的中点，
∴，
在和中

∴，
∴，
∴；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵的面积为2，
∴，即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【母子型】（含射影定理）
1．（安徽省阜阳市阜阳实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．
答案:
分析：（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【详解】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1；
故答案为：﹣1；
（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
设CD＝2a，则CG＝a，
CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝；
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答．
2．（江苏省南京市联合体2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
答案:（1）见解析；（2）
分析：（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
3．（上海市金山初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
答案:（1）证明见解析；（2）
分析：（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
AD是△ABC的中线，
，
，即：，
∴．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键．
4（辽宁省葫芦岛市连山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图：中，，以为直径作交于点，交于点，点在的延长线上，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
答案:（1）见解析；（2）
分析：（1）连接AD，根据直角所对圆周角是直角可得∠BAD与ABD的和是90°，再根据等腰三角形的性质可得∠BAD是∠BAC的一半，结合已知条件即可得到结论；
（2）连接BE，设AC=m，在Rt△ABF中由勾股定理即可得到AB和AC的长，再证，得到AE的长，即可得到CE的长；
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）设，则，
在中，
∵，
∴，解得，
∴，，
连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似，由勾股定理得出方程是解题的关键．
5．（江苏省苏州工业园区星海实验中学2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；
(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．
答案:(1)为的理想点,理由见解析
(2)或
分析：（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；
（2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上．
（1）
解：点是的“理想点”，理由如下：
是中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是的“理想点”；
（2）
①在上时，如图：
是的“理想点”，
或，
当时，
，
，
，即是边上的高，
当时，同理可证，即是边上的高，
在中，，，，
，
，
，
②，，
有，
“理想点” 不可能在边上，
③在边上时，如图：
是的“理想点”，
，
又，
，
，即，
，
综上所述，点是的“理想点”， 的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
【一线三等角】
1．(2023年湖北省襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟（一模）数学试题）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．
答案:
分析：根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，
根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
∴ ，
即 ，
设CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
∴，
∵，
∴，，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∴
解得：x=2，
∴CF=4，
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
∴AL=ABsin60°=10×=5，
∴S△ABC=，
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
∴DH=BDsin60°=，
∴S△BDF=，
∵△BDF∽△CFE，
∴，
∵S△BDF=，
∴S△CEF=，
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，
∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF
=，
∴．
故答案为:．
【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．
2．（江苏省宿迁市2020年中考数学试题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
答案:（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
分析：（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴；
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．
答案:(1)理由见详解；（2）或，理由见详解．
分析：（1）根据题目已知条件易得：，，所以得到，问题得证．
（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．
【详解】解：（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
4．（吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．
【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．
答案:【探究】3；【拓展】4或．
分析：探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探究：证明：∵是的外角，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时，△ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，
∴AP=AB-PB=128=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴，
即，
解得：，
∴AP=ABPB=，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
5．（山东省泰安市东平县2019-2020学年八年级下学期期末数学试题）如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点．
求证：；
连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论．
答案:（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析．
分析：（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得．
【详解】（1）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）点在中点位置时，，证明如下：
如图，连接，延长于的延长线相交于点H，
为中点，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点在中点位置时，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．
【旋转模型】
1．（河南省2019年中考数学试题）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
答案:（1）1，（2）45°（3），
分析：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．（广东省深圳市2021年中考数学真题）在正方形中，等腰直角，，连接，H为中点，连接、、，发现和为定值．
（1）①__________；
②__________；
③小明为了证明①②，连接交于O，连接，证明了和的关系，请你按他的思路证明①②．
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，，（）求：
①__________（用k的代数式表示）
②__________（用k、的代数式表示）
答案:（1）①；②45°；③见解析；（2）①；②
分析：（1）①通过中位线得出，再通过等腰直角三角形斜边与直角边的关系得出,则，在等腰Rt△OBA中得出，再结合中位线OH和正方形的性质证明∠BOH=∠BAF，即可证明出，即可得出比值；②利用相似三角形的性质，对应角相等，代换角即可求出；
（2）①用与（1）相似的方法可以证明出，即可得出比值；②通过添加辅助线，构造两个直角三角形，用锐角三角函数和勾股定理表示出两边，即可求出比值．
【详解】（1）；②45°
③证明：如图所示：
由正方形性质得：，O为的中点
又∵H为的中点，则，
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴，
又∵
∴
又
∴，
又∵
∴
∴，
∴
（2）① ②
理由如下：
①如图，连接，与交于O点，连接
由题可知四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC和BD的中点，
又∵H为CE中点，
∴， ,
又∵,
∴ ,即，
,即，
∵OH是△ACE的中位线，
∴OH∥AE，
∴,
又∵是△AOD的外角，
∴,
又∵ ,
∴ ,
∴ ,
又∵，
∴
∴
②：
由得：
，则
在中，，
不妨令，，如图作
则：，
则
由勾股定理解得：
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，涉及知识点较多，难度较大，能够通过已知条件找出判定相似三角形的条件是解题关键．
3．（山东省威海市2020年中考数学试题）发现规律：
（1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数
（2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数
应用结论：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值
答案:（1）的度数为；（2）的度数为；（3）线段长度的最小值为
分析：（1）通过证明可得，再由三角形内角和定理进行求解即可；
（2）通过证明可得，，可证，可得，由外角性质可得，再有三角形内角和定理进行求解即可；
（3）由旋转的性质可得是等边三角形，可得，，如图③将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ，可得，OK=NQ，MO=MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵与是等边三角形
∴AB=AC，AD=AE，
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴；
（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MK
∴，
∴是等边三角形
∴，
如下图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ
∴，
∴OK=NQ，MO=MQ
∴是等边三角形
∴
∴
∵OK=NQ
∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值
∵点的坐标为
∴
∵轴，
∴
∴线段OK长度的最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．
4．（河南省周口市西华县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题）观察猜想
(1)如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，则与的数量关系是______．
(2)类比探究
如图2，在等边中，点M是延长线上任意一点（不含端点C），（1）中其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，在等腰中，，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等腰，使顶角．连按．试探究与的数量关系，并说明理由．
答案:(1)
(2)成立
(3)
分析：（1）利用可证明，继而得出结论；
（2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论．
【详解】（1）证明：、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：结论仍成立；
理由如下：、是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：；
理由如下：，，
∴，
又∵，
，
∴，
，
又，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．
【三角形内接矩形模型】
1．（人教版九年级27.7相似三角形的应用举例）如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________．
答案:
分析：设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：如图，设高AM交GF于H点，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴，
设正方形的边长为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的基本性质是解题关键．
2．（【区级联考】吉林省长春市南关区2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
答案:（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或
分析：（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；
（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．
【详解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t＝；
（3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
即S＝DP2＝4t2，
当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，
∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述，S与t之间的函数关系式为.
（4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴，
∴，
∴t＝，
如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或.
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例和重叠部分的面积等知识.先求特殊位置时对应的t值，做到不重不漏，再利用数形结合的思想，确定重叠部分图形的形状是解题的关键．
3．已知的余切值为2，，点D是线段上一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，连接，并延长交射线于点P．

(1)连接，求证：；
(2)如图1，当点P在线段上时，如果的正切值为2，求线段的长；
(3)连接，当为等腰三角形时，求线段的长．
答案:(1)见解析
(2)
(3)或或
分析：（1）连接，根据余切的定义，设，则，，再根据余切的定义即可得证；
（2）设，则，，先根据正切的定义可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质即可得；
（3）设正方形的边长为，则，分三种情况：、、，先根据余切的定义求出的值，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵的余切值为2，
∴，
设，则，
∴，
，
∴．
（2）解：由（1）可知，设，则，
∴，
∵的正切值为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
，
∴，
，即，
解得．
（3）解：设正方形的边长为，则，
由题意，分三种情况：
①如图，当时，为等腰三角形，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，即，
解得；
②如图，当时，为等腰三角形，

∴，
，
，
，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
，即，
解得；
③如图，当时，为等腰三角形，

设，则，
在中，由勾股定理得：，即，
解得，
，
∴，
，即，
解得，
综上，当为等腰三角形时，线段的长为或或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、正切、余切，正确求出与正方形边长的关系是解题关键．模型
图形
结论
证明过程（思路）
A字模型
①∆ADE~∆ABC
②ADAB=AEAC=DEBC
1)已知DE∥BC 则∠ADE=∠ABC
而∠A=∠A 所以∆ADE~∆ABC
2) 已知∠1=∠2 ∠A=∠A
所以∆ADE~∆ABC
共边反A字模型
①∆ABC~∆ACD ②ABAC=ACAD=BCCD
③AC2=AB•AD
剪刀反A字模型
①∆ABC~∆ADE ②ABAD=ACAE=BCDE
证明过程参照按照2）
8字模型
正8字模型
①∆AOB~∆COD ②AOCO=BODO=ABCD
反8字模型
①∆AOB~∆DOC ②AODO=BOCO=ABCD
3)已知AB∥DC 则∠A=∠C
而∠AOB=∠DOC 所以∆AOB~∆COD
4) 已知∠1=∠2 ∠AOB=∠DOC
所以∆AOB~∆DOC
射影定理
①∆ABC~∆ADB~∆BDC
②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD （口诀：公共边的平方=共线边的乘积）
③AB•BC=BD•AC（面积法）
5)已知∠ABC=∠ADB=90°
∠ABD=∠C ∠A= ∠DBC
∴∆ABC~∆ADB~∆BDC
一线三垂直
①∆ABC~∆CDE
②ABCD=BCDE=ACCE
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
6)∵∠B=∠D=∠ACE=90°
∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°
则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE
7)∵ ∆ABC~∆CDE
∴ABCD=ACCE而点C为BD中点
则ABBC=ACCE 又∵∠B=∠ACE=90°
∴∆ABC~∆ACE 则∆ABC~∆CDE~∆ACE
一线三等角
①∆ABC~∆CDE
②ABCD=BCDE=ACCE
③当点C为BD中点时，
∆ABC~∆CDE~∆ACE
8）∵∠B=∠D=∠ACE=α
∴∠ACD=∠1+∠B=∠1+α
而∠ACD=∠ACE+∠DCE=∠3+α
则∠1=∠3 由此可得∆ABC~∆CDE
结论③证明过程参照7）
线束模型
(一)
①DFEF=BGCG （左图）
②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）
9）∵DE∥BC
∴∆ADF~∆ABG，∆AFE~∆AGC
∴DFBG=AFAG，AFAG=EFCG
∴DFBG=EFCG 则DFEF=BGCG
同理右图结论DF:FG:EG=BH:HI:CI
线束模型
(二)
①AEBE=DFCF（左图）
②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）
10）∵AB∥CD
∴∆AOE~∆DOF，∆BOE~∆COF
∴AEDF=OEOF，OEOF=BECF
∴AEDF=BECF 则AEBE=DFCF
同理右图结论AE:EF:BF=DH:HG:CG
三角形内接矩形
①∆ABC~∆ADG
②ADAB=AGAC=DGBC= AMAN
③若四边形DEFG为正方形
即DGBC= AMAN 若假设DG=x
则xBC= AN−xAN 若已知BC、AN长，即可求出x的值
11)∵四边形DEFG为矩形
∴DG∥BC 而AN⊥BC
∴∆ABC~∆ADG ∠AMG=∠ANC=90°
∴ADAB=AGAC=DGBC= AMAN
三平行模型
①1AB+1CD=1EF
②1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
12)∵AB∥EF∥CD
∴∆ABC~∆EFC，∆BEF~∆BDC
∴EFAB=FCBC①，EFCD=BFBC②
①+②得EFAB+EFCD=FCBC+BFBC=BCBC=1
两边同除EF得, 1AB+1CD=1EF
13)作AM⊥BC于点M,EN⊥BC于点N,DP⊥BC于点P
同理可得1AM+1DP=1EN
则1AM•112BC+1DP•112BC=1EN•112BC
∴1S∆ABC+1S∆BCD=1S∆BEC
旋转相似模型
①∆ABD~∆ACE
∵∆ADE~∆ABC
∴∠BAC=∠DAE ADAB=AEAC
而∠1+∠DAC=∠BAC ∠2+∠DAC=∠DAE
∴∠1=∠2
∴∆ABD~∆ACE