浙教版八年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.32 反比例函数（存在性问题）（基础篇）（含答案）

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请直接写出不等式的解集．
若直线与轴交于点轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由．
2．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．点在反比例函数的图像上的一点，轴，垂足为，与交于点，．
(1) 求，的值；
(2) 若点为轴上的一点，求当最小时，点的坐标；
(3) 是平面内一点，是否存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由．
4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（x>0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 求△AOB的面积；
(3) 在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP=3S △AOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知反比例函数y图象过第二象限内的点A（﹣2，2），若直线y＝ax+b经过点A，并且经过反比例函数y的图象上另一点B（m，﹣1），与x轴交于点M．
(1) 求反比例函数的解析式和直线y＝ax+b解析式．
(2) 若点C的坐标是（0，﹣2），求△CAB的面积．
(3) 在x轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
6．一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y（k≠0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是﹣2，
(1) 求反比例函数解析式；
(2) 若x轴上存在点D，使得BC＝CD，直接写出点D的坐标．
7．如图，点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C，DC=5．
(1) 求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
(2) 连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点，轴于点，的面积为2．若直线经过点，并且经过反比例函数的图象上另一点．
（1）求直线的解析式；
（2）设直线与轴交于点，求的长；
（3）在双曲线上是否存在点，使得的面积为8？若存在请求点坐标；若不存在请说明理由．
9．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数的图象y＝mx+n的图象交于点A（﹣2，1），点B（1，a）．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）若在x轴上存在一点P，使得S△PAB＝3，直接写出点P的坐标．
10．如图，直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．延长CA交y轴于点D，AD＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小，若存在，直接写出此时△PAB的周长；若不存在，说明理由．
11．如图，反比例函数 y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；
（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.
12．如图，点A是反比例函数上一点，作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2，点A坐标为(-1，m)．
(1) 求k和m的值．
(2) 若直线经过点A，交另一支双曲线于点C，求△AOC的面积．
(3) 指出x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出结果．
(4) 在y轴上是否存在点P，使得△PAC的面积为6，如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知反比例函数图象过第二象限内的点A（-2，m）AB⊥x轴于B， Rt△AOB面积为3, 若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，—），
（1）反比例函数的解析式为 ，m= ，n= ；
（2）求直线y=ax+b的解析式；
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，说明理由．
14．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，B两点．
(1) 求一次函数的解析式及B点的坐标；
(2) 在网格中画出一次函数的图像，并根据函数图象，直接写出不等式的解集；
(3) 若在x轴上存在点P使得，求P的坐标．
15．如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于．
求线段的长度；
在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 求的面积；
(3) 在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1) 直接写出关于的不等式的解集；
(2) 在轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，反比例函数与的图象交于，两点，轴，直线与轴、轴分别交于，两点，若，．
求反比例与一次函数的表达式；
当时，求的取值范围；
在反比例的图象上（除点外）还存在到点的距离等于线段的点吗？若不存在，请说明理由，若存在，直接写出该点的坐标．
19．如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为．
(1) 求反比例函数解析式；
(2) 若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标；
(3) 在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于N点．
(1) 求一次函数的表达式：
(2) 求的面积；
(3) 在直线AB上是否存在点P，使得，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．(1)，；(2)或；(3)存在，或
分析：（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把点代入得到一次函数的解析式为：；
（2）当时，得到，设，根据三角形的面积公式即可得到结论．
（1）解：把点代入得，，
，
∴反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点代入得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式的解集，即的解集为：或
（3）解：轴上存在一点，使；
当时，，
解得：，
，
设，
或，
或．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
2．(1)，；(2)点的坐标；(3)存在，点的坐标为，，
分析：（1）把点代入一次函数，可求出的值，在把求出的点的值代入反比例函数（），可求出的值；
（2）根据题意，求出点的坐标，如图所示（见详解），作点关于轴的对称点，连接交轴于点，，即求的最小值时点的坐标，即直线与轴的交点，用待定系数求出直线解析式即可求解；
（3）根据一次函数图像，反比例函数图像的性质分别求出，，的值，分别以，边平行四边形的两边作图，以为平行四边形的对角线作图，以为平行四边形的对角线作图，图形结合即可求解．
（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
∴，即，
∴，代入反比例函数得，，即，则反比例函数为
∴，．
（2）解：一次函数与轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∵轴，垂足为，且点在反比例函数的图像上的一点，
∴点的横坐标为，
∴，且，
如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
∴，即求的最小值时点的坐标，
∵，设直线的解析式为，
∴，解方程组得，，
∴直线的解析式为，
∴令时，，即点，
∴当最小时，点的坐标．
（3）解：，，，
如图所示，过点作轴于，作于，连接，
∴，，即，，，
∴在中，；在中，；在中，，
①如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，
∴四边形为平行线四边形，
∴，，则以为直角边，为斜边的直角三角形中，
∴，
∴点在轴的正半轴上，
∴点的坐标为；
②如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，
∴四边形为平行线四边形，，
由①可知，是关于点的对称点，，，过点作轴于，且为等腰直角三角形，
∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为，则，
∴，
∴点的坐标为；
③如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，
∴四边形为平行线四边形，，
如图所示，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，
同理，，，
∴点的坐标为，
综上所示，点的坐标为，，．
【点拨】本题主要考查一次函数，反比例函数，几何变换的综合，掌握一次函数，反比例函数的性质，几何图形的性质，图形结合是解题的关键．
3．(1)；(2)，
分析：（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解；
（2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解．
（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数，
∴，解方程得，，
∴，设反比例函数解析式为，
∴，解方程得，，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：设，设点到距离为，
∵，，
∴，
∴，，
∴，即，解方程得，，，
∴，．
【点拨】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键．
4．(1)y＝－2x＋6；(2)3；(3)点P的坐标为（0，6）或（6，－6）
分析：（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）将△AOB的面积转化为的面积即可；
（3）设，结合，，求出y值，进而求出点P坐标；
（1）解：∵点A在反比例函数上，
∴，解得m＝1，
∴点A的坐标为，
又∵点B也在反比例函数上，
∴，解得n＝2．
∴点B的坐标为，
又∵点A、B在的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为；
直线与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为，
∴；
设，由（2）知，则，
∵ON＝3，
∴，
∴，则或，将代入中，得，
解得，
将代入中，得，
解得，
故点P的坐标为或．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
5．(1)；；(2)9；(3)存在，P点坐标为或或或
分析：（1）将代入得，进而可得反比例函数解析式；将代入，得，可得点坐标，然后将坐标代入中求出的值，进而可得的解析式；
（2）如图，将代入中求解，可得点坐标，根据，计算求解即可；
（3）设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解： ①当时，即，求解满足要求的解即可；②当时，，，进而可得点坐标；③当时，即，求解满足要求的解即可．
（1）解：∵反比例函数过点A
∴将代入得
∴反比例函数解析式为；
将代入，得
∴
将，代入得
解得
∴直线y＝ax+b解析式为．
（2）解：如图
将代入得
∴
∴
∴的面积为9．
（3）解：存在．
设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解：
①当时，即
解得，（不合题意，舍去）
∴；
②当时，
∵
∴
∴的坐标为，；
③当时，即
解得
∴；
综上所述，在x轴上存在一点P，使△PAO为等腰三角形，P点坐标为或 或 或 ．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形，反比例函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．(1)y；(2)D（﹣22，0）或（22，0）
分析：（1）把C的坐标代入y＝ax﹣1求得a的值，进而求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据等腰三角形的性质即可求得．
（1）解：∵一次函数y＝ax﹣1的图象与x轴交于点C（2，0），
∴2a﹣1＝0，解得a，
∴一次函数为yx﹣1，
把x＝﹣2代入得，y1＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
∵点B在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴反比例函数解析式为y；
（2）∵B（﹣2，﹣2），C（2，0），
∴BC2，
∴D（﹣22，0）或（22，0）．
【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质，求得B的坐标是解题的关键．
7．(1)；(2)存在，
分析：（1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）设，根据△PAB的面积等于四边形的面积减去和，建立方程，解方程求解即可
解：(1)点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，DC=5．
依题意，
解得
设反比例函数的解析式为，则
反比例函数的解析式为
(2)存在，，理由如下，
如图，连接，设
，
，
，
解得
【点拨】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例数的性质是解题的关键．
8．（1）；（2）；（3）存在(−，8)或(，-8)．
分析：（1）根据△ABO的面积即可求出k的值，将A（-1，m），C（n，-2）分别代入解析式求A（-1，4），C（2，-2），代入y=ax+b即可求出a、b的值，从而得到直线解析式；
（2）先求得点M的坐标，利用勾股定理即可求解；
（3）利用三角形面积公式求得点P的纵坐标，代入求解即可．
解：（1）∵ΔAOB的面积为2，
∴=2，
又∵函数图象在二、四象限，
∴k