沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第02讲相似三角形的判定与性质(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第02讲相似三角形的判定与性质(考点讲与练)(原卷版+解析)，共31页。
一：相似三角形判定定理1
1、相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”．

用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上．
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
2、相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则．
3、相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在与中，如果、，那么．
常见模型如下：
二：相似三角形判定定理2
1、相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
如图，在与中，，，那么．
三：相似三角形判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，在与中，如果，那么∽．
四：直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
如图，在和中，如果，，那么∽．
五：相似三角形的判定综合
1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．
2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．
4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
六：相似三角形性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
七：相似三角形性质定理2
相似三角形周长的比等于相似比．
八：相似三角形性质定理3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【考点剖析】
【考点1】相似三角形的判定
例题1 （闵行2020期末4）如图，在正三角形中，分别在，上，且，，则有（ ）
A. ; B. ; C. ; D.
例题2（普陀2020一模14）如图，在△与△中，，要使△与△相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个条件）
例题3（嘉定区2019期中14）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，点G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ．

例题4(2023进才北10月考18）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且，那么AD的长是_________________.
【考点2】相似三角形的性质
例题5（虹口2020一模14）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC=12，A1C1=8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为 ．
例题6（嘉定区2019期中9）已知△ABC∽△DEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3△ABC的周长为30cm，那么△DEF的周长为 cm．
例题7 (2023育才10月考16）如图所示，，AC、BD相交于点E，若面积为3，的面积为5，则梯形的面积为____________．
【过关检测】
一．选择题（共7小题）
1．(2023秋•奉贤区校级期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（ ）
A．DE∥BCB．∠AED＝∠BC．AEAD=ABACD．AEDE=ACBC
2．(2023秋•崇明区期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
3．(2023秋•普陀区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC＝2，如果△DEF与△ABC相似，且△DEF两条边的长分别为4和27，那么△DEF第三条边的长为（ ）
A．2B．7C．23D．211
4．(2023•宝山区二模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDCC．△BDAD．△AFD
5．(2023秋•金山区期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（ ）
A．6对B．5对C．4对D．3对
6．(2023秋•青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．EAAB=AFBCB．EAAB=FDAFC．AFBC=EACDD．EAEB=AFAD
7．(2023秋•杨浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（ ）
A．AEFC=OEOFB．AEDE=BFFCC．ADBC=OEOFD．ADDE=BCBF
二．填空题（共10小题）
8．(2023•青浦区二模）如图，已知△ABC中，点D是AC上一点，DB⊥BC，若∠ADB＝∠ABC，tanC=12，则ACAB= ．
9．(2023秋•嘉定区期末）如图，点D在△ABC的AB边上，当ADAC= 时，△ACD与△ABC相似．
10．(2023春•松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为 ．
11．(2023•徐汇区校级模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于 ．
12．(2023秋•徐汇区期末）如图，△ABC中，AB＝8，BC＝7，点D、E分别在边AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，则线段DE的长为 ．
13．(2023•长宁区二模）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么EFEC= ．
14．(2023春•徐汇区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么△DEG与△CFG的面积之比等于 ．
15．(2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝ ．
16．(2023秋•浦东新区校级期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是43，BE、B1E1分别是对应角的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝ ．
17．(2023•普陀区二模）如图，▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB：S四边形FEDC的值为 ．
三．解答题（共5小题）
18．(2023秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．
（1）求证：CA2＝CE•CB；
（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．
19．(2023秋•奉贤区校级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
20．(2023秋•金山区校级月考）已知，△ABC和△DEF中，ABDE=BCEF=ACDF=43，△ABC的周长为80厘米，求△DEF的周长．
21．(2023秋•文山市期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
22．(2023秋•金山区校级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证：△ADE∽△AEB．
第02讲 相似三角形的判定与性质（核心考点讲与练）
【基础知识】
一：相似三角形判定定理1
1、相似三角形的定义
如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于”．

用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上．
根据相似三角形的定义，可以得出：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．
（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
2、相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则．
3、相似三角形判定定理1
如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
如图，在与中，如果、，那么．
常见模型如下：
二：相似三角形判定定理2
1、相似三角形判定定理2
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
如图，在与中，，，那么．
三：相似三角形判定定理3
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
如图，在与中，如果，那么∽．
四：直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
如图，在和中，如果，，那么∽．
五：相似三角形的判定综合
1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．
2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．
4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．
六：相似三角形性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
七：相似三角形性质定理2
相似三角形周长的比等于相似比．
八：相似三角形性质定理3
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【考点剖析】
【考点1】相似三角形的判定
例题1 （闵行2020期末4）如图，在正三角形中，分别在，上，且，，则有（ ）
A. ; B. ; C. ; D.
答案:B；
解析：解：由已知在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，，AE＝BE，易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；故选B．
例题2（普陀2020一模14）如图，在△与△中，，要使△与△相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需填一个条件）
答案:（等）；
解析：解：根据相似三角形的判定定理2，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似，可知添加的条件是；如果根据相似三角形判定定理3，则三边对应成比例，两三角形相似，可添加条件.
例题3（嘉定区2019期中14）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，点G是的重心，GH⊥BC，垂足是H，则GH的长为 ．

答案:；
解析：解：连接BG并延长交AC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，∴BG＝2GD，CD＝AD=，∵HG⊥BC，∠C＝90°，∴GH∥CD，∴△BHG∽△BDC，∴，即，∴GH＝．
例题4(2023进才北10月考18）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且，那么AD的长是_________________.
答案:；
解析：解：如图，在和中，，，，，，设，则， ， ，，， ，，，，，，即，解得，AD的长为.
【考点2】相似三角形的性质
例题5（虹口2020一模14）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC=12，A1C1=8，△ABC的高AD为6，那么△A1B1C1的高A1D1长为 ．
答案:4；
解析：解：因为相似三角形的对应高的比等于相似比，故，所以.
例题6（嘉定区2019期中9）已知△ABC∽△DEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，△ABC的周长为30cm，那么△DEF的周长为 cm．
答案:45；
解析：解：∵△ABC∽△DEF，点A、B、C分别与点D、E、F对应，如果AB：DE＝2：3，∴，∵△ABC的周长为30cm，∴△DEF的周长为：45cm.
例题7 (2023育才10月考16）如图所示，，AC、BD相交于点E，若面积为3，的面积为5，则梯形的面积为____________．
答案:；
解析：解：∵面积为3，的面积为5，∴ ，又∵，AC、BD相交于点E，∴△DCE∽△BAE，，∴，又∵，∴,∴梯形的面积=，故答案为：．
【过关检测】
一．选择题（共7小题）
1．(2023秋•奉贤区校级期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（ ）
A．DE∥BCB．∠AED＝∠BC．AEAD=ABACD．AEDE=ACBC
分析：根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：如图，
A、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
B、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；
C、∵AE：AD＝AB：AC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，故C不符合题意；
D、AE：DE＝AC：BC，不能使△ADE和△ABC相似，故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
2．(2023秋•崇明区期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
分析：根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：因为两个相似三角形的周长比等于相似比，两个相似三角形的对应中线的比也等于相似比，
所以：如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
3．(2023秋•普陀区期末）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC＝2，如果△DEF与△ABC相似，且△DEF两条边的长分别为4和27，那么△DEF第三条边的长为（ ）
A．2B．7C．23D．211
分析：根据勾股定理得到AB=AC2+BC2=7，根据相似三角形的性质健康得到结论．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC＝2，
∴AB=AC2+BC2=7，
∵△DEF与△ABC相似，
∴ABDE=ABEF=ACDF，
∴24=727=3DF，
∴DF＝23，
则△DEF第三条边的长为23，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4．(2023•宝山区二模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（ ）
A．△BFEB．△BDCC．△BDAD．△AFD
分析：根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
5．(2023秋•金山区期末）如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（ ）
A．6对B．5对C．4对D．3对
分析：由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，AB∥CD，从而得到△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，则△AME∽△FDA，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC，
∴△ABD∽△CDB，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△EMB，△EFC≌△AFD，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，
∴△AME∽△FDA，
∴相似三角形共有6对，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定，注意相似的传递性是解题的关键．
6．(2023秋•青浦区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．EAAB=AFBCB．EAAB=FDAFC．AFBC=EACDD．EAEB=AFAD
分析：由四边形ABCD是平行四边形，推得AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，得△EAF∽△EAB，△AEF∽△CDF，推比例线段即可判断是否符合题意．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴EAEB=AFBC，AFBC=EAEB，
∴A、C不符合题意；
D符合题意；
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AECD=AFFD，
∵AB＝CD，
∴AEAB=AFFD，
∴B不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例，掌握由平行推相似的方法，等量代换是解题关键．
7．(2023秋•杨浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过对角线交点O的直线与两底分别交于点E、F，下列结论中，错误的是（ ）
A．AEFC=OEOFB．AEDE=BFFCC．ADBC=OEOFD．ADDE=BCBF
分析：根据相似三角形的判定得出△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后根据比例的性质得出即可．
【解答】解：A．∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COF，
∴AEFC=OEOF，故本选项不符合题意；
B．∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COF，△DEO∽△BFO，
∴AEFC=OEOF，DEBF=OEOF，
∴AEFC=DEBF，
∴AEDE=FCBF，故本选项符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COF，△AOD∽△COB，
∴AOCO=OEOF，ADBC=AOCO，
∴ADBC=OEOF，故本选项不符合题意；
D．∵AD∥BC，
∴△DEO∽△BFO，△AOD∽△COB，
∴DEBF=DOBO，ADBC=DOBO，
∴ADBC=DEBF，
∴ADDE=BCBF，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理和比例的性质等知识点，能熟记相似三角形的性质定理和判定定理是解此题的关键．
二．填空题（共10小题）
8．(2023•青浦区二模）如图，已知△ABC中，点D是AC上一点，DB⊥BC，若∠ADB＝∠ABC，tanC=12，则ACAB= 2 ．
分析：先说明△ADB与△ABC的关系，得到ACAB与BCDB的关系，再在Rt△DBC中利用直角三角形的边角间关系求出BCDB即可．
【解答】解：∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC．
∴ACAB=BCDB．
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°．
在Rt△DBC中，
tanC=BDBC=12，
∴ACAB=2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了三角形相似，掌握三角形相似的判定方法和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9．(2023秋•嘉定区期末）如图，点D在△ABC的AB边上，当ADAC= ACAB 时，△ACD与△ABC相似．
分析：根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝∠A，
∴当ADAC=ACAB时，△ACD与△ABC相似，
故答案为：ACAB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
10．(2023春•松江区校级期中）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为 3：2 ．
分析：相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，
∴相似比是3：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：3：2，
故答案为：3：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
11．(2023•徐汇区校级模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于 1：4 ．
分析：由平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，可得O是BD中点，已知条件中有E是CD的中点，则OE是△BCD的中位线，所以OE∥BC，OE=12BC，则△DEO∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出△DEO与△BCD的面积的比．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点，
∵E是CD的中点，
∴OE∥BC，OE=12BC，
∴OEBC=12，
∵△DEO∽△BCD，
∴S△DEOS△BCD=(OEBC)2=(12)2=14，
∴△DEO与△BCD的面积的比等于1：4，
故答案为：1：4．
【点评】此题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据三角形中位线定理证明OE∥BC是解题的关键．
12．(2023秋•徐汇区期末）如图，△ABC中，AB＝8，BC＝7，点D、E分别在边AB、AC上，已知AE＝4，∠AED＝∠B，则线段DE的长为 72 ．
分析：由△AED∽△ABC，得出比例式求解即可．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴DEBC=AEAB，
∴DE7=48，
∴DE=72，
故答案为：72
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．(2023•长宁区二模）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么EFEC= 13 ．
分析：根据三角形的重心的概念得到EGEA=13，根据平行线分线段成比例定理得到EFEB=EGEA=13，根据三角形的中线的概念计算即可．
【解答】解：∵点G是△ABC的重心，
∴EGEA=13，
∵GF∥AB，
∴EFEB=EGEA=13，
∵AE是BC边上的中线，
∴EB＝EC，
∴EFEC=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、平行线分线段成比例定理，掌握重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
14．(2023春•徐汇区校级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点F在BC的延长线上，AF与BD相交于点E，与CD边相交于点G．如果AD＝2CF，那么△DEG与△CFG的面积之比等于 16：7 ．
分析：根据△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根据相似三角形对应边比值相等和相似三角形面积比为相似比的平方即可解题．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△FCG，
∴ADFC=AGFG=2，
∴△ADG与△CFG的面积比是4：1，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴ADBF=AEEF=25，
令GF＝a，则AG＝2a，
设AE＝x，EG＝2a﹣x，
则x：（a+2a﹣x）＝2：5，
∴x=67a，
∴AE=67a，EG=87a，
∴AE：EG＝3：4，
∴△DEG与△ADE的面积比是4：3，
∴△DEG与△CFG的面积比是16：7．
故答案为：16：7．
【点评】本题考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了相似三角形面积比为相似比的平方的性质．关键在证明三角形相似．
15．(2023秋•黄浦区期末）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D、E分别是边BC、AC上的点，∠ADE＝60°，如果BD＝1，那么CE＝ 23 ．
分析：根据等边三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，再证明∠CDE＝∠BAD，然后可判断△CDE∽△BAD，从而利用相似比可求出CE．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝3﹣1＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
即∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，
而∠B＝∠D，
∴△CDE∽△BAD，
∴CEBD=CDAB，即CE1=23，
∴CE=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．灵活运用相似三角形的性质进行几何运算．也考查了等边三角形的性质．
16．(2023秋•浦东新区校级期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是43，BE、B1E1分别是对应角的角平分线，且BE＝12，则B1E1＝ 9 ．
分析：根据相似三角形的性质周长比等于相似比等于对应角的角平分线的比求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是43，
∴相似比为43，
∴BEB1E1=43，
∵BE＝12，
∴B1E1＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
17．(2023•普陀区二模）如图，▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB：S四边形FEDC的值为 2：5 ．
分析：证明AFCF=EFBF=AEBC=12，推出S△BCF＝2S△ABF＝2S△AEF，设S△AEF＝m，则S△ABF＝2m，S△CBF＝4m，求出四边形FEDC的面积，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝DE，
∴AFCF=EFBF=AEBC=12，
∴S△BCF＝2S△ABF＝2S△AEF，
设S△AEF＝m，则S△ABF＝2m，S△CBF＝4m，
∴S△ACB＝S△ADC＝6m，
∴S四边形FEDC＝6m﹣m＝5m，
∴S△AFB：S四边形FEDC＝2：5；
故答案为：2：5．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
18．(2023秋•浦东新区期末）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，DE⊥AB．
（1）求证：CA2＝CE•CB；
（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．
分析：（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得DCBC=CECD，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，
∴∠A＝∠DEB，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DEB，
∴∠CDB＝∠CED，
又∵∠DCE＝∠DCB，
∴△DCE∽△BCD，
∴DCBC=CECD，
∴CD2＝CE•CB，
∴CA2＝CE•CB；
（2）如图，
∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，
∴AM＝ME＝CM，
∴∠MCE＝∠MEC，
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，
∴点A，点C，点E，点D四点共圆，
∴∠AEC＝∠ADC，
∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，
又∵∠MCE+∠ACH＝90°，
∴∠CAD+∠ACH＝90°，
∴CH⊥AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
19．(2023秋•奉贤区校级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
分析：（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；
（2）先利用AD2＝AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1＝∠F，再根据平行线的性质得∠F＝∠4，∠2＝∠3，所以∠3＝∠4，加上∠NMC＝∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD＝CN：CD，然后利用CD＝AB和比例的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
而BE＝AB，
∴BE＝CD，
而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴BD∥CE，
∵CM∥DB，
∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2＝AB•AF，
∴AD：AB＝AF：AD，
而∠DAB＝∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠1＝∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
而∠NMC＝∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，
∴MC：MD＝CN：CD，
∴MC•CD＝MD•CN，
而CD＝AB，
∴CM•AB＝DM•CN．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．
20．(2023秋•金山区校级月考）已知，△ABC和△DEF中，ABDE=BCEF=ACDF=43，△ABC的周长为80厘米，求△DEF的周长．
分析：由已知可得AB+BC+AC=43（DE+EF+DF），再根据△ABC的周长为80厘米，即可得到答案．
【解答】解：∵ABDE=BCEF=ACDF=43，
∴AB=43DE，BC=43EF，AC=43DF，
∴AB+BC+AC=43（DE+EF+DF），
∵△ABC的周长为80厘米，
∴80=43（DE+EF+DF），
∴DE+EF+DF＝60，即△DEF的周长为60厘米．
【点评】本题考查相似三角形的周长，由已知得到AB+BC+AC=43（DE+EF+DF）是解题的关键．
21．(2023秋•文山市期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．
分析：根据两边成比例夹角相等即可证明．
【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝4，
∵AC＝8，CE＝5，
∴AE＝3，
∴AEAB=36=12，ADAC=48=12，
∴AEAB=ADAC，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△AED∽△ABC．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．
22．(2023秋•金山区校级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证：△ADE∽△AEB．
分析：（1）先由平行线分线段成比例定理得AEEC=ADBD，再证ADBD=AFFE，即可得出结论；
（2）先证AEAB=ADAE，从而可证△ADE∽△AEB．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴AEEC=ADBD，
∵AFFE=AEEC，
∴ADBD=AFFE，
∴DF∥BE；
（2）∵AF＝2，EF＝4，
∴AE＝AF+EF＝6，ADBD=AFFE=12，
∴ADAB=13，
∴AD=13AB＝23，BD＝2AD＝43，
∴AEAB=663=33，
∵ADAE=236=33，
∴AEAB=ADAE，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△AEB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．