沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第18讲二次函数中的线段相等与和差倍半问题(考点讲与练)(原卷版+解析)

这是一份沪教版暑假新九年级数学考点讲与练第18讲二次函数中的线段相等与和差倍半问题(考点讲与练)(原卷版+解析)，共32页。
1．(2023•黄浦区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b经过点A，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；
（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD．当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．
2.(2023闵行区二模24）（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；
（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．
3．(2023春•徐汇区校级期中）如图，二次函数y=−13x2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C都不重合）．
（1）求抛物线解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2，试确定点P的横坐标．
4．如图，抛物线y=−43x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
【过关检测】
1.(2023杨浦一模24）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；
（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度．
2．(2023•杨浦区三模）在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y=12x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限内．
（1）如图1，当∠OAB＝90°时，求BPAP的值；
（2）当点A的坐标为（6，0），且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．
3．(2023秋•金山区期末）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠PAQ的度数；
（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线解析式．
4．(2023•闵行区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴的公共点为点C．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）点E为线段AC上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F．如果EFBF=14，求△BCE的面积．
5.(2023长宁二模）如图7，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点.
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移1个单位， 平移后的抛物线与x轴正半轴交于点，求的面积；
（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标.
图7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
O
x
y
6.(2023浦东二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长；
（3）点是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结、，交线段于点，当时，求点的坐标．
第18讲 二次函数中的线段相等与和差倍半问题（核心考点讲与练）
【考点剖析】
1．(2023•黄浦区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b经过点A，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；
（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD．当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．
分析：（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；
（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），对称轴为直线x＝3，
∴−m−2=3−25+5m+n=0，
∴m=6n=−5，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）把x＝3代入y＝﹣x2+6x﹣5得y＝4，
∴抛物线顶点B坐标为（3，4），
由△BOE的面积为3得12BE×3＝3，
∴BE＝2，
∵点E在线段BC上，
∴点E坐标为E（3，2），
把点E（3，2）和点A（5，0）代入y＝kx+b得，
5k+b=03k+b=2，
∴k=−1b=5，
∴直线的表达式为y＝﹣x+5；
（3）如图，①若BD∥OE，
∵BD＝EO，
∴四边形OEBD为平行四边形，
则点D坐标为（0，2），
连接DA，
∴ct∠DAO=OADO=52；
②若BD不平行OE，如图D′，
则四边形OEBD′为等腰梯形，
做BF⊥y轴于F，则D′F＝DF＝2，
∴点D′坐标为（0，6），
连接D′A，
∴ct∠D′AO=AOD'O=56，
综上所述，此时∠DAO的余切值为52或56．
【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．
2.(2023闵行区二模24）（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，0），顶点为点B，对称轴为直线x＝3，且对称轴与x轴交于点C．直线y＝kx+b，经过点A，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线y＝﹣x2+mx+n的表达式；
（2）联结BO、EO．当△BOE的面积为3时，求直线y＝kx+b的表达式；
（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结BD、AD，当BD＝EO时，求∠DAO的余切值．
分析：（1）利用待定系数法和抛物线对称轴公式即可求解；
（2）先求出顶点B坐标，根据△BOE的面积为3求出BE，进而求出点E坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）分BD∥OE和BD与OE不平行两种情况，分别求出D坐标，利用余切定义即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（5，3），
∴，
∴，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2+6x﹣6；
（2）把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣5得y＝4，
∴抛物线顶点B坐标为（5，4），
由△BOE的面积为3得BE×3＝3，
∴BE＝2，
∵点E在线段BC上，
∴点E坐标为E（3，3），
把点E（3，2）和点A（8，
，
∴，
∴直线表达式为y＝﹣x+5；
（3）如图，①若BD∥OE，
则四边形OEBD1为平行四边形，
则点D4坐标为（0，2），
连接D5A，
∴ct∠D1AO＝＝，
综上所述，此时∠DAO的余切值为或．
【点评】本题为二次函数综合题，考查了二次函数性质，求一次函数解析式，余切定义等知识，熟练掌握各知识点是解题关键，解第（3）步时要注意分类讨论思想应用．
3．(2023春•徐汇区校级期中）如图，二次函数y=−13x2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C都不重合）．
（1）求抛物线解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）设直线PB与直线AC相交于点M，且存在这样的点P，使得PM：MB＝1：2，试确定点P的横坐标．
分析：（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）代入y＝0求出x值，可得出点B的坐标；
（3）（解法一）代入x＝0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，假设存在，设点M的坐标为（m，12m+2），分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况考虑，由点B、M的坐标结合PM：MB＝1：2即可得出点P的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论；
（解法二）代入x＝0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，由点B的坐标可得出BB′的值，结合相似三角形的性质可得出PP′的值，设点P的坐标为（x，−13x2−56x+2），则点P′的坐标为（x，12x+2），结合PP′的值可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论；
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，0）在二次函数y=−13x2+bx+2的图象上，
∴−163−4b+2＝0，
∴b=−56．
∴抛物线解析式为：y=−13x2−56x+2；
（2）由（1）得y=−13x2−56x+2，
当y＝0时，有−13x2+bx+2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2=32，
∴点B的坐标为（32，0）．
（2）（方法一）当x＝0时，y=−13x2−56x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：−4k+c=0c=2，解得：k=12c=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2．
假设存在，设点M的坐标为（m，12m+2）．
①当点P、B在直线AC的异侧时，点P的坐标为（32m−34，34m+3），
∵点P在抛物线y=−13x2−56x+2上，
∴34m+3=−13×（32m−34）2−56×（32m−34）+2，
整理，得：12m2+20m+9＝0．
∵Δ＝202﹣4×12×9＝﹣32＜0，
∴方程无解，即不存在符合题意得点P；
②当点P、B在直线AC的同侧时，点P的坐标为（12m+34，14m+1），
∵点P在抛物线y=−13x2−56x+2上，
∴14m+1=−13×（12m+34）2−56×（12m+34）+2，
整理，得：4m2+44m﹣9＝0，
解得：m1=−11+1302，m2=−11+1302，
∴点P的横坐标为﹣2−1304或﹣2+1304．
综上所述：存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2−1304或﹣2+1304．
（方法二）当x＝0时，y=−13x2−56x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A（﹣4，0）、C（0，2）代入y＝kx+c中，
得：−4k+c=0c=2，解得：k=12c=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2．
过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，如图1﹣1所示．
∵点B的坐标为（32，0），
∴点B′的坐标为（32，114），
∴BB′=114．
∵BB′∥PP′，
∴△PP′M∽△BB′M，
∴PP'BB'=PMBM=12，
∴PP′=118．
设点P的坐标为（x，−13x2−56x+2），则点P′的坐标为（x，12x+2），
∴PP′＝|−13x2−56x+2﹣（12x+2）|＝|13x2+43x|=118，
解得：x1＝﹣2−1304，x2＝﹣2+1304，
∴存在点P，使得PM：MB＝1：2，点P的横坐标为﹣2−1304或﹣2+1304．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（3）（解法一）分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标；（解法二）利用相似三角形的性质找出PP′=118．
4．如图，抛物线y=−43x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求直线和抛物线解析式；
（2）先表示出N（m，−43m2+103m+2），P（m，−23m+2），则计算出NP=−43m2+4m，PM=−23m+2，则利用NP＝PM得到−43m2+4m=−23m+2，然后解方程求出m即可得到N点坐标；
（3）利用两点间的距离公式计算出AB=13，BP=133m，NP=−43m2+4m，由于∠BPN＝∠ABO，利用相似三角形的判定方法，当PBOB=PNBA时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即133m：2＝（−43m2+4m）：13；当PBBA=PNOB时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即133m：13=（−43m2+4m）：2，然后分别解关于m的方程即可得到对应的M点的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，
把A（3，0），B（0，2）代入得3p+q=0q=2，解得p=−23q=2，
∴直线AB的解析式为y=−23x+2；
把A（3，0），B（0，2）代入y=−43x2+bx+c得−43×32+3b+c=0c=2，解得b=103c=2，
∴抛物线解析式为y=−43x2+103x+2；
（2）∵M（m，0），MN⊥x轴，
∴N（m，−43m2+103m+2），P（m，−23m+2），
∴NP=−43m2+4m，PM=−23m+2，
而NP＝PM，
∴−43m2+4m=−23m+2，解得m1＝3（舍去），m2=12，
∴N点坐标为（12，103）；
（3）∵A（3，0），B（0，2），P（m，−23m+2），
∴AB=32+22=13，BP=m2+(−23m+2−2)2=133m，
而NP=−43m2+4m，
∵MN∥OB，
∴∠BPN＝∠ABO，
当PBOB=PNBA时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即133m：2＝（−43m2+4m）：13，
整理得8m2﹣11m＝0，解得m1＝0（舍去），m2=118，
此时M点的坐标为（118，0）；
当PBBA=PNOB时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即133m：13=（−43m2+4m）：2，
整理得2m2﹣5m＝0，解得m1＝0（舍去），m2=52，
此时M点的坐标为（52，0）；
综上所述，点M的坐标为（118，0）或（52，0）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
【过关检测】
1.(2023杨浦一模24）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；
（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）∵y＝﹣x2+x+2，
∴对称轴为直线x＝，
令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
∴E（，），
设直线AE的解析式为y＝k'x+n，
∴，
∴，
∴y＝x+，
联立，
∴x＝3或x＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴P（3，2）；
（3）解法一：设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），
∴PH＝﹣t2+2t，
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝x+，
联立，
∴x＝，
∴F（，），
直线AP与y轴交点E（0，），
∴CE＝2﹣＝，
∵PF＝PH，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵PG∥y轴，
∴∠ECF＝∠PHF，
∵∠CFE＝∠PFH，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝EF，
∴（）2＝（）2+（﹣）2，
∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，
∴t＝，
∴PH＝﹣t2+2t＝．
2．(2023•杨浦区三模）在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在直线y=12x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限内．
（1）如图1，当∠OAB＝90°时，求BPAP的值；
（2）当点A的坐标为（6，0），且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．
分析：（1）设点A横坐标为a，由于∠OAB＝90°，即AB⊥x轴，所以P、B横坐标也是a，分别代入直线解析式求P、B纵坐标，相减即能得到用a表示的BP、AP的值．
（2）分别过点P、B作x轴垂线，垂足分别为D、C，根据平行线分线段定理可得CDDA=BPPA=2．设直线AB解析式为y＝kx+b，把A坐标代入得y＝kx﹣6k．把直线AB解析式分别与直线OP、OB解析式联立方程组，求得点P、B的横坐标（用k表示）即点D、C横坐标，进而得到用k表示CD、DA的式子．根据CD＝2AD为等量关系列方程即求得k的值，即得到点B坐标．把点A代入原抛物线解析式求m，由于上下平移，故可在原抛物线解析式后+n以表示平移后的抛物线，把点B代入即求得n的值．n为负数时即表示向下平移．
【解答】解：（1）设点A坐标为（a，0）（a＞0）
∵∠OAB＝90°，点B在直线y＝3x上，点P在直线y=12x上
∴B（a，3a），P（a，12a）
∴BP＝3a−12a=52a，AP=12a
∴BPAP=52a12a=5
（2）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D
∴BC∥PD
∵BP＝2AP
∴CDDA=BPPA=2
∴CD＝2DA
设直线AB解析式为：y＝kx+b
∵A（6，0）
∴6k+b＝0，得b＝﹣6k
∴直线AB解析式为y＝kx﹣6k
当12x＝kx﹣6k时，解得：x=12k2k−1
∴xD＝xP=12k2k−1
当3x＝kx﹣6k时，解得：x=6kk−3
∴xC＝xB=6kk−3
∴CD＝xD﹣xC=12k2k−1−6kk−3，AD＝6﹣xD＝6−12k2k−1
∴12k2k−1−6kk−3=2（6−12k2k−1）
解得：k＝﹣2
∴xB=6×(−2)−2−3=125，yB＝3xB=365，即B（125，365）
∵抛物线y＝﹣x2+mx过点A
∴﹣36+6m＝0，解得：m＝6
设平移后过点B的抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+n
∴﹣（125）2+6×125+n=365
解得：n=−3625
∴抛物线向下平移了3625个单位长度．
【点评】本题考查了平行线分线段定理，一次函数的图象与性质，一元一次方程、分式方程的解法，二次函数的图象与性质．平面直角坐标系中不平行于坐标轴的线段的比可通过作坐标轴的垂直线构造平行线，再利用平行线分线段定理转换．函数图象上下平移的规律即函数值上加下减一个常数．
3．(2023秋•金山区期末）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠PAQ的度数；
（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线解析式．
分析：（1）先将点A和点B代入抛物线解析式，求得b与c的值，然后得到抛物线的解析式；
（2）先求得顶点P的坐标，然后求得点Q的坐标，最后得到∠PAQ的度数；
（3）分情况讨论，①向上平移，②向下平移，然后利用两点间的距离公式求得PC和BQ的长度，然后列出方程求得平移的距离，最后求得到平移后的解析式．
【解答】解：（1）将点A（0，1）和点B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，
c=1−1+b+c=4，解得：b=4c=1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+1．
（2）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴顶点P的坐标是（2，5），对称轴为直线x＝2，
∴点Q的坐标为（2，0），
∵A（0，1），
∴PA=25，QA=5，PQ＝5，
∴PA2+QA2＝PQ2，
∴∠PAQ＝90°．
（3）∵B（1，4），Q（2，0），
∴BQ=17，
①当点B向上平移a个单位时，C′（1，4+a），
∵P（2，5），
∴PC′=1+(a−1)2=17，
解得：a＝5或a＝﹣3（舍），
∴抛物线向上平移5个单位，
∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6；
②当点B向下平移a个单位时，C′′（1，4﹣a），
∵P（2，5），
∴PC′′=1+(1+a)2=17，
解得：a＝3或a＝﹣5（舍），
∴抛物线向下平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x﹣2；
综上所述，平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6或y＝﹣x2+4x﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的解析式、抛物线的顶点式、勾股定理，解题的关键是会用两点间的距离公式求得线段BQ和CP的长度．
4．(2023•闵行区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴的公共点为点C．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）点E为线段AC上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F．如果EFBF=14，求△BCE的面积．
分析：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，即可求解；
（2）BC=(3−0)2+(0−3)2=32，cs∠ABH=HBAB=OBBC=22，则BH=2，则AH=2，CH＝22，即可求解；
（3）由S△BCE=12CB×EF，即可求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
则点C的坐标为（0，﹣3）；
（2）联结AC、BC．过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
BC=(3−0)2+(0−3)2=32，
在Rt△BOC和Rt△BHA中，∠AHB＝∠COB＝90°．
∴cs∠ABH=HBAB=OBBC=22，∴BH=2，
则AH=2，CH＝22，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，
∴tan∠ACB=AHCH=12；
（3）联结BE．设EF＝a．
由EFBF=14得：得 BF＝4a，
又∵tan∠ACB=EFCF=12，
∴CF＝2a，
∴BC＝BF+FC＝6a，
∴6a＝32，
解得：a=122，
即：EF=122，
∴S△BCE=12CB×EF=12×122×32=32．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、面积的计算等知识，综合性强，但难度不大．
5.(2023长宁二模）如图7，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为点，抛物线与轴交于点.
（1）求抛物线的表达式和点的坐标；
（2）将上述抛物线向下平移1个单位， 平移后的抛物线与x轴正半轴交于点，求的面积；
（3）如果点在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结交线段于点，，求点的坐标.
图7
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
O
x
y
解：（1） 抛物线经过点，对称轴是直线
∴，解得 （2分）
∴抛物线的解析式为，顶点B的坐标是 （2分）
（2）抛物线与轴交于点
平移后的抛物线表达式为： ，点D的坐标是 （2分）
过点做轴，垂足为点
∴ （2分）
（3）∵直线经过点、，∴直线的表达式为：
设对称轴与直线相交于点，则 ∵ ∴ （1分）
过点作，交直线于点
设点，则 ∴ （1分）
∵ ∴ ∴
∴ ∴ （舍去）或 （1分）
∴ （1分）
6.(2023浦东二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长；
（3）点是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结、，交线段于点，当时，求点的坐标．
【整体分析】
（1）根据抛物线与轴交于点可得出c的值，然后由对称轴是直线可得出b的值，从而可求出抛物线的解析式；
（2）令y=0得出关于x的一元二次方程，求出x，可得出点A、B的坐标，从而得到AB的长，再求出MN的长，根据抛物线的对称性求出点M的横坐标，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，再根据点的对称可求出OE的长；
（3）过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，先证明△EGF∽△EQP，可得，设点F的坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P点的坐标，根据P在抛物线的图象上，可得关于a的方程，把a的值代入P点坐标，可得答案．
【满分解答】
解：（1）将点C（0，3）代入得c=3，
又抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-=1，解得b=2，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；
（2）如图，
令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴点A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，
∵，∴MN=×4=3，
根据二次函数的对称性，点M的横坐标为，
代入二次函数表达式得，y=，
∴点M的坐标为，
又点C的坐标为（0，3），点C与点E关于直线MN对称，
∴CE=2×（3-）=，
∴OE=OC-CE=；
（3）如图，过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设点F坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG=-a+3-=-a+．
∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，
∴．
∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．
∴，
∴EQ=EG=a，PQ=FG=（-a+）=-a+，
∴xP=a，yP=-a++=-a+，即点P的坐标为（a，-a+），
又点P在抛物线y=-x2+2x+3上，
∴-a+=-a2+3a+3，化简得9a2-18a+5=0，
解得a=或a=，符合题意，
∴点P的坐标为（，）或（，)．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及解一元二次方程等知识，综合运用相关性质是解题的关键．