人教版九年级数学上册精品专题22.1.3二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质(第3课时)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题22.1.3二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质(第3课时)(原卷版+解析)，共29页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．
2．(2023·浙江杭州·九年级期末）一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利．下列表达式中可以直接看出最大获利润和此时销售价格的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图，抛物线y＝(≠0）图像交x轴其中一点A坐标为（-3，0），则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线顶点坐标为（-1，）
B．+＞0
C．若抛物线上有两点（-4，）和（5，），则＜
D．关于的一元二次方程= - (≠0）的解为：1
4．(2023·广东·广州市第四中学一模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．已知直线a、b，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．若ac＝bc，则a＝b
C．若一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k＞﹣4
D．在抛物线y＝（x+1）2﹣2中，若1≤x≤3，则函数y有最小值是2
二、填空题
5．(2023·全国·九年级课时练习）二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
6．(2023·全国·九年级）二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式______．
三、解答题
7．(2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·广东·湛江一中九年级课时练习）已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ）
A．或4B．或C．或4D．或4
3．(2023·全国·九年级专题练习）关于二次函数y＝（x﹣2）2＋1的图像，下列结论中不正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝2B．抛物线的开口向上
C．与x轴没有交点D．与y轴交于点（0，1）
4．(2023·江西吉安·九年级期中）如图，抛物线G：（常数a为正数）．下列关于G的四个命题：
①G的最低点坐标为；
②b是任意实数，x=2+b时的函数值大于x=2－b时的函数值；
③当a=1时，G经过点（1，－1）；
④当G经过原点时，G与x轴围成的封闭区域（边界除外）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为1．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①④
5．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知点M为二次函数图象的顶点，直线分别交x轴，y轴于点A，B．点M在内，若点，都在二次函数图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·全国·九年级专题练习）已知抛物线，其对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
7．(2023·全国·九年级课时练习）已知二次函数y=﹣（x﹣k）2（k为常数），当自变量x的值满足1≤x≤6时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则k的值为（ ）
A．0或5B．5或7C．0或7D．2或5
8．(2023·全国·九年级课时练习）已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象与轴的交点坐标是
B．当时，的值随值的增大而减小
C．当取和时，所得到的的值相同
D．当时，有最大值是
9．(2023·全国·九年级课时练习）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，是大值是5D．当时，y随x的增大而增大
二、填空题
10．(2023·陕西安康·九年级期末）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为______．
11．(2023·浙江湖州·九年级期末）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连接AF． 在整个变化过程中，△AEF 面积的最大值是_______．
三、解答题
12．(2023·河南·新乡市第一中学九年级期中）已知关于的二次函数．
（1）求函数图象的顶点坐标；
（2）若函数满足：对于任意的实数，都有成立．
①求的值：
②直线与函数的图象交于，两点，与函数的图象交于，两点，若对于任意的，都有，结合函数图象，直接写出的取值范围．
13．(2023·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求a的值；
(3)若，请直接写出h的取值范围．
14．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
15．(2023·浙江·兰溪市实验中学一模）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
22.1.3二次函数y=a(x−h) ²+k的图象和性质（第3课时 ）
（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（ ）
A．0B．1C．0或1D．
答案:C
分析：由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果．
【详解】解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．
2．(2023·浙江杭州·九年级期末）一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利．下列表达式中可以直接看出最大获利润和此时销售价格的是（ ）
A．B．
C．D．
答案:A
分析：根据二次函数的性质求解即可求解．
【详解】解：根据题意，设一个月可以获利为，则
根据顶点式即可求得最大获利润和此时销售价格，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
3．(2023·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图，抛物线y＝(≠0）图像交x轴其中一点A坐标为（-3，0），则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线顶点坐标为（-1，）
B．+＞0
C．若抛物线上有两点（-4，）和（5，），则＜
D．关于的一元二次方程= - (≠0）的解为：1
答案:C
分析：根据二次函数的图像与性质依次判断即可．
【详解】解：A:由顶点式可直接判断顶点坐标 ，故选项正确，不符合题意；
B:抛物线交轴正半轴，把代入函数，则，故选项正确，不符合题意；
C:抛物线对称轴为直线，其对称轴左侧随增大而增大，与关于对称轴对称，，，故选项错误，符合题意；
D:关于的一元二次方程可化成 =0的形式。由对称轴直线，及可知抛物线与轴另一交点为，所以解为：，，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
4．(2023·广东·广州市第四中学一模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．已知直线a、b，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．若ac＝bc，则a＝b
C．若一元二次方程kx2+4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k＞﹣4
D．在抛物线y＝（x+1）2﹣2中，若1≤x≤3，则函数y有最小值是2
答案:D
分析：根据在平面内，垂直于同一条直线的两条线平行，即可判断A；根据等式的基本性质，即可判断B；根据一元二次方程的定义和其根的判别式，即可判断C；根据二次函数的性质，即可判断D．
【详解】已知直线a、b，若a⊥b，b⊥c，则，故A为假命题，不符合题意；
当c=0时，则ac＝bc，此时a不一定等于b，故B为假命题，不符合题意；
若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，
解得：，
又∵是一元二次方程，
∴，
故C为假命题，不符合题意；
∵抛物线中，a=1>0，对称轴为，
∴抛物线开口向上．
∴当时，y随x的增大而增大，
∴此时，故D为真命题，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定，等式的性质，一元二次方程的定义和其根的判别式，二次函数的性质．熟练掌握各知识点是解题关键．
二、填空题
5．(2023·全国·九年级课时练习）二次函数：
①；②；③；④；⑤；⑥．
（1）以上二次函数的图象的对称轴为直线x=－1的是__________(只填序号)；
（2）以上二次函数有最大值的是_______________(只填序号)﹔
（3）以上二次函数的图象中关于x轴对称的是________________(只填序号)．
答案: ②③ ①③⑤ ⑤⑥
分析：因为二次函数的解析式均已确定﹐所以可结合二次函数解析式的特征对其性质作出判断．
【详解】（1）二次函数的图象的对称轴为直线x=-1，也就是在顶点式中h=-1，故满足条件的函数有②③．
（2）二次函数有最大值，也就是其函数图象是开口向下的，即a0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，最小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
二、填空题
10．(2023·陕西安康·九年级期末）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为______．
答案:
分析：二次函数开口向上，对称轴是直线，在对称轴两侧时，则、、的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
【详解】解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴是直线，
点，，在二次函数的图象上，且，
、、的大小关系为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
11．(2023·浙江湖州·九年级期末）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作 FH⊥AD，垂足为H，连接AF． 在整个变化过程中，△AEF 面积的最大值是_______．
答案:
分析：证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
【详解】解：四边形CEFG为正方形，
,
∠FEH+∠CED＝90°，
FH⊥AD，
，
∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE•FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+ ，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质．
三、解答题
12．(2023·河南·新乡市第一中学九年级期中）已知关于的二次函数．
（1）求函数图象的顶点坐标；
（2）若函数满足：对于任意的实数，都有成立．
①求的值：
②直线与函数的图象交于，两点，与函数的图象交于，两点，若对于任意的，都有，结合函数图象，直接写出的取值范围．
答案:（1）；（2）①；②
分析：（1）把函数解析式化为顶点式，从而可得答案；
（2）①分别求解与的最值，再分三种情况讨论：当 逐一分析对于任意的实数，是否都有成立，从而可得答案；②分别求解当时，的顶点坐标，再确定直线过定点 从而可得当时，的图象关于对称，从而证明 再结合抛物线的图象的性质可得答案.
【详解】解：（1）

函数的顶点坐标为：
（2）
当时，函数取得最大值
，
当时，函数取得最小值
当时，有
对于任意的实数，不成立．
当时，最大值为
的最小值为
此时
此时：
即：对于任意的实数，都有成立．
当时，有
此时：对于任意的实数，不成立．
综上：
②当时，，，
顶点坐标分别为：
过定点，
如图，
关于成中心对称，
当时，与关于成中心对称，


对于抛物线，越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大，
当的开口宽度比大时，总有
所以当 则
综上：对于任意的，都有时，
【点睛】本题考查的二次函数的性质，顶点坐标，二次函数的最值，二次函数的图象，灵活运用二次函数的知识是解本题的关键.
13．(2023·安徽芜湖·模拟预测）已知抛物线经过点，，．连接AB，BC．令．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求a的值；
(3)若，请直接写出h的取值范围．
答案:(1)1
(2)
(3)
分析：（1）把点A，B，C三点横坐标代入可求出，再根据两点间距离公式可求出，从而可求出的值；
（2）方法同（1）得，即，求出a的值即可；
（3）方法同（1）得出，从而可判断出h的取值范围．
（1）
当，时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，
当时，；
当时，；
∴
∴，
∴，
∴的值为1；
（2）
当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，
当时，；
当时，；
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴的值为；
（3）
由（1）可知，当时，有，
∵，
∴，
∴，
∴点离抛物线的对称轴最远，
∴h的取值范围是
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
答案:(1)
(2)图见解析，和
(3)或
分析：（1）把点代入即可求解．
（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．
（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
（1）
解：当时，，
∴．
（2）
平移后的图象如图所示：
由题意得：，
解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
（3）
由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
15．(2023·浙江·兰溪市实验中学一模）已知二次函数交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点，设抛物线的对称轴为直线，且≥．
(1)用含的代数式表示出点A、点B的坐标；
(2)若抛物线上存在点P使得（点P与点C不重合），且这样的点P恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；
(3)我们将平面直角坐标系中横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点． 当点A、点B都在轴正半轴上，且内部存在2个整点（不包括边），试写出1个符合题意的实数的值，并直接写出的取值规律．
答案:(1)，
(2)或
(3)（n为正整数），m的值可以为3．
分析：由抛物线对称轴为直线x=m及AB=3求解．
分类讨抛物线开口向上，向下两种情况．设抛物线顶点式求解．
设直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，由可得DE长度为定值，令两整数点在线段DE上，列不等式求解．
（1）
∵点A，B关于对称轴直线x=m对称，AB=3且点A在点B左侧，
∴，
（2）
①m＞0时，由题意得抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入得，
解得
把代入得，
解得或（舍），
∴；
②当m=0时，抛物线开口向下，顶点为C（0，2），
∴，
将代入得，
解得，
∴，
综上，或；
（3）
如图，直线AC，BC与直线y=1交点为D，E，
则DE为△ABC的中位线，
∴，点D坐标为，点E坐标为，
由题意得D，E两点之间含有2个整点，设两个整点坐标为，，
则，，
解得（n为正整数）．
∴m的值可以为3．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，掌握三角形中位线的性质．