人教版九年级数学上册精品专题22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(第2课时)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(第2课时)(原卷版+解析)，共68页。
一、填空题
1．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式______．
2．(2023·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．
3．(2023·江苏·九年级专题练习）已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则______．
4．(2023·福建·福州立志中学九年级开学考试）将一个抛物线沿x轴的正方向平移1个单位后能与抛物线重合，则这个抛物线的解析式是_________．
二、解答题
5．(2023·广东·湛江一中九年级课时练习）已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．
6．(2023·浙江丽水·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
7．(2023·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．
8．(2023·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．
(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当时，函数有最大值2．
(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．
9．(2023·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为（1，3），求b，c的值．
10．(2023·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的交点为(1，0)，与y轴交点为(0，-2)．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)若将该抛物线平移后经过原点，直接写出平移后的抛物线对应的函数关系式（至少写出2个对应的函数关系式）．
11．(2023·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴
12．(2023·吉林·南阳市第十九中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数 图像的顶点为 ，与 轴的交点为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知点，点 ．若原二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有公共点，结合函数图像，直接写出的取值范围．
13．(2023·广东惠州·九年级阶段练习）抛物线与的形状、开口方向都相同，且经过(0，3)．求：
(1)该抛物线的解析式；
(2)是由抛物线经过怎样的平移得到的？
14．(2023·内蒙古·敕勒川实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1）．
(1)求两个函数的解析式；
(2)点P在y轴上，且△ABP的面积是△ABO面积的2倍，求点P的坐标．
15．(2023·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点.
(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；
(2)点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标.
16．(2023·吉林省实验中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是抛物线在轴上方的一个动点．
(1)菱形的边长为______．
(2)求面积的最大值．
17．(2023·河北·育华中学三模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（0，n），n≠0．抛物线l的顶点是（1，0），并且经过点P，点A、点B、点C的坐标分别为（3，2），（2，﹣1），（3，﹣1）．
(1)当抛物线l过点A时，求此时抛物线l的函数关系式及点P的坐标；
(2)若存在一条新抛物线，它与抛物线l的形状完全相同，只是开口方向相反，并且经过点A和第（1）问中的点P，求新抛物线l′的函数关系式，并求出新抛物线的顶点坐标；
(3)若抛物线l经过△ABC区域（含边界），请求出n的取值范围．
18．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【能力提升】
一、解答题
1．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线y=x+1交于点A、C．且点A的坐标为（-1，0）．
(1)求点C的坐标；
(2)若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
(3)若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A，C，E，F为项点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
2．(2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线（）经过点（，0）．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．
3．(2023·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．
(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．
4．(2023·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴的交点坐标A(﹣4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)求出△ABD的面积；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理由．
5．(2023·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
(3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
6．(2023·福建·莆田二中九年级阶段练习）如图所示抛物线y＝a+bx+c由抛物线y＝﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C，直线y＝kx+b过B、C两点．
(1)写出平移后的新抛物线y＝a+bx+c的解析式；并写出a+bx+c＞kx+b时x的取值范围．
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POC，那么是否存在点P，使四边形POC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求此时点P的坐标和△PBC的最大面积．
7．(2023·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝﹣（x＋4）2，将此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．
(1)请写出平移后图像所对应的函数解析式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像；
(3)根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围．
8．(2023·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．
9．(2023·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点为，与轴交于点.
(1)求的值；
(2)若将该抛物线向右平移个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标.
10．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知二次函数：与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点．
(1)写出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)二次函数：．
①写出二次函数与二次函数有关图象的两条相同的性质；
②若直线与抛物线交于，两点，问线段的长度是否发生变化 如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由．
11．(2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于，直线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
(3)如图2，为直线上方的抛物线上一点，y轴交于点，过点作于点．设，求的最大值；
12．(2023·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)．
(1)求出二次函数的表达式；
(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
(3)过y轴的正半轴上一点C(0，c)作AO的平行线交抛物线于点B，如果点B是整点，求证：OAB的面积是偶数．
13．(2023·全国·九年级课时练习）已知抛物线与x轴有公共点．
(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
(3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
14．(2023·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
15．(2023·福建·福州立志中学九年级开学考试）如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线，直线AD交抛物线于点D（2，m）
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重台），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，请求出M的坐标．
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时 ）（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、填空题
1．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）写出一个对称轴为y轴，且过的二次函数的解析式______．
答案:（答不唯一）
分析：对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）即常项数为-2，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，满足题意的二次函数解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解对称轴为y轴，则一次项系数为0，经过点（0，-2）即常项数为-2是解题的关键．
2．(2023·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．
答案:（答案不唯一）
分析：根据二次函数的图象开口向上，可得，再由顶点坐标为，即可求解
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴二次函数中，
∵顶点坐标为，
∴这个二次函数的解析式可以是
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
3．(2023·江苏·九年级专题练习）已知点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，则______．
答案:-12
分析：把点（3，a）代入解析式即可求得a的值．
【详解】解：∵点（3，a）在抛物线y=-2x2+2x上，
∴a=-2×32+2×3=-18+6=-12，
故答案为：-12．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
4．(2023·福建·福州立志中学九年级开学考试）将一个抛物线沿x轴的正方向平移1个单位后能与抛物线重合，则这个抛物线的解析式是_________．
答案:
分析：将一个抛物线沿x轴的正方向平移1个单位后能与抛物线重合，可理解为把抛物线沿x轴的负方向平移1个单位，从而可解决问题．
【详解】解：∵
∴把向左平移1个单位后对应的解析式为：
∴把向右平移1个单位后得到，
故答案为：
【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键．
二、解答题
5．(2023·广东·湛江一中九年级课时练习）已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．
答案:
分析：根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点(0，-2)代入，求出a的值，最后改为一般式即可．
【详解】∵抛物线经过点(3，0)，(-1，0)，
故可设该抛物线的解析式为：，
∵该抛物线又经过点(0，-2)，
∴
解得：
∴该抛物线的解析式为：
整理，得：．
【点睛】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键．
6．(2023·浙江丽水·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
答案:(1)
(2)①；②最小值为
分析：（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．
(1)
抛物线与x轴相交于点
解得
；
(2)
①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
7．(2023·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线图像恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．
答案:
分析：利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：
，
解得：，
所以该抛物线解析式为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的方法是解题的关键．
8．(2023·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．
(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当时，函数有最大值2．
(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．
答案:(1)
(2)
分析：（1）由二次函数当时，有最大值是2，得到二次函数的顶点坐标为（），设出二次函数的顶点式方程，将（）代入求出a的值，即可求出二次函数的解析式．
（2）已知抛物线的对称轴，可以设出函数的解析式为，把（），（）代入函数解析式即可求得函数解析式．
（1）
解：由二次函数当时，有最大值是2，得到顶点坐标为（），
设二次函数解析式为（a≠0），
将点（）代入得：，
解得：，
则二次函数解析式为．
（2）
设函数的解析式是，根据题意得：
，
解得：．
则函数的解析式是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据条件正确设出函数的解析式形式是解题的关键．
9．(2023·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）已知抛物线的顶点坐标为（1，3），求b，c的值．
答案:b=2，c=2
分析：根据顶点坐标和抛物线解析式将顶点式推出，再化简为一般式，即可求解
【详解】解：∵抛物线y=-x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），
∴顶点式为：，
∵y=，
∴b=2，c=2
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据顶点坐标为（1，3）求出顶点式．
10．(2023·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的交点为(1，0)，与y轴交点为(0，-2)．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)若将该抛物线平移后经过原点，直接写出平移后的抛物线对应的函数关系式（至少写出2个对应的函数关系式）．
答案:(1)
(2)；（答案不唯一）
分析：（1）根据题意运用待定系数法即可求出解析式；
（2）根据题意分类讨论经过原点的情况时即可．
（1）
∵抛物线与x轴的交点为(1，0)，与y轴交点为(0，-2)，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）
①当抛物线最高点与原点重合时，
将抛物线向左平移1个单位，则可得；
②当抛物线的左边一点与原点重合时，
将抛物线向上平移两个单位，则可得．
综上所述经过原点的解析式为：；（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数，解决本题的关键是当二次函数平移时要将式子变为顶点式，且熟知平移规则：沿x轴平移，左加右减；沿y轴平移，上加下减．
11．(2023·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x的二次函数的图象与x轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)写出它的开口方向、对称轴
答案:(1)
(2)开口向下，对称轴为直线
分析：（1）设这个二次函数的解析式为，然后把点(0，3)代入，即可求解；
（2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．
（1）
解：设这个二次函数的解析式为，
把点(0，3)代入得：，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）
解：∵，
∴二次函数开口向下，
∵，
∴二次函数的对称轴为直线．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
12．(2023·吉林·南阳市第十九中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数 图像的顶点为 ，与 轴的交点为 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知点，点 ．若原二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有公共点，结合函数图像，直接写出的取值范围．
答案:(1)
(2)
分析：（1）根据顶点坐标公式，以及交点坐标，利用根与系数的关系，即可求出答案；
（2）根据二次函数图像，顶点坐标，结合点 ，点 的坐标，即可求出答案．
（1）
解：二次函数 ，顶点坐标是（1，2），即横坐标是 ，顶点坐标的纵坐标是 ，且当 ， ，
∴ ，解方程得，
∴二次函数的表达式是： ，
故答案是：．
（2）
解：二次函数的表达式是，且顶点坐标是 ，直线 的表示为 ，
∴当二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有一个公共点时， ；
当二次函数图像向下平移 个单位，与线段 有两个公共点时，且恰好为点 ，点 ，
∴二次函数解析式为 ，将点 ，点 代入得， ，即 平移到 ，
∴二次函数向下平移 个单位，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与几何变换，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，分类讨论，判断取值范围，掌握二次函数性质是解题的关键．
13．(2023·广东惠州·九年级阶段练习）抛物线与的形状、开口方向都相同，且经过(0，3)．求：
(1)该抛物线的解析式；
(2)是由抛物线经过怎样的平移得到的？
答案:(1)
(2)向上平移3个单位长度得到的
分析：（1）根据抛物线与的形状、开口方向都相同，可得a＝-5．再把（0，3）代入，即可求解；
（2）根据抛物线平移的性质，即可求解．
（1）
解：∵抛物线与的形状、开口方向都相同，
∴a＝-5．
∵抛物线经过（0，3），
∴c＝3．
∴该抛物线的解析式为；
（2）
解：由（1）得：
是由抛物线向上平移3个单位长度得到的．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律是解题的关键．
14．(2023·内蒙古·敕勒川实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1）．
(1)求两个函数的解析式；
(2)点P在y轴上，且△ABP的面积是△ABO面积的2倍，求点P的坐标．
答案:(1)，y＝﹣x+2
(2)点P的坐标为（0，6）或（0，﹣2）
分析：（1）用待定系数法即可求解；
（2）△ABP的面积＝，△ABO面积＝，即可求解．
（1）
解：将点B的坐标代入抛物线表达式得，1＝a×1，解得：a＝1；
将点A、B的坐标代入直线表达式得，解得，
故两个函数的解析式分别为：；
（2）
设直线y＝﹣x+2交y轴于点H，
当x＝0时，y＝2，故点H（0，2），设点P（0，m），
△ABP的面积＝＝
＝××3＝；
同理△ABO面积＝ ＝，
∵△ABP的面积是△ABO面积的2倍，
∴＝6，解得：m＝6或﹣2，
故点P的坐标为（0，6）或（0，﹣2）．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、三角形面积的计算，用割补法确定△ABP的面积是解题的关键．
15．(2023·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点.
(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；
(2)点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成两部分，求点的坐标.
答案:(1)
(2)
分析：（1）设抛物线的表达式为，待定系数法求解析式即可求解；
（2）当BH=AB=2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，即点H的坐标为（2，0），则CH和抛物线的交点即为点P，进而求解；
（1）
∵抛物线经过点和点.
∴设抛物线的表达式为，，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）
由点A、B的坐标知，OB=2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图，设交轴于点
∵，
当BH=AB=2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
∴，
∴
∴点H的坐标为（2，0），
由可得,
设过点C、H的直线解析式为，
∴，
解得，
直线CH的表达式为，
联立，
解得：或（舍去），
故点P的坐标为（6，-8）．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和与几何图形结合的综合，数形结合是解题的关键．
16．(2023·吉林省实验中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是抛物线在轴上方的一个动点．
(1)菱形的边长为______．
(2)求面积的最大值．
答案:(1)5
(2)15
分析：（1）根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质即可得出BC．
（2）由（1）得出BC，然后根据三角形面积公式得出，根据二次函数的性质即可求的最大值．
（1）
∵顶点的坐标为，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
（2）
∵D是抛物线上一点，
∴设，
∵由（1）可得，BC∥x轴 ，
∴，
∵，
∴面积的最大值为15．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，菱形的性质，三角形的面积的最值问题．
17．(2023·河北·育华中学三模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（0，n），n≠0．抛物线l的顶点是（1，0），并且经过点P，点A、点B、点C的坐标分别为（3，2），（2，﹣1），（3，﹣1）．
(1)当抛物线l过点A时，求此时抛物线l的函数关系式及点P的坐标；
(2)若存在一条新抛物线，它与抛物线l的形状完全相同，只是开口方向相反，并且经过点A和第（1）问中的点P，求新抛物线l′的函数关系式，并求出新抛物线的顶点坐标；
(3)若抛物线l经过△ABC区域（含边界），请求出n的取值范围．
答案:(1)，
(2)，
(3)且n≠0
分析：（1）设抛物线l解析式为，把点A（3，2）代入，求出a的值，即可求解；
（2）根据题意可设新抛物线的解析式为，把点A和第（1）问中的点P代入，求出b，c，即可求解；
（3）根据题意，求出抛物线l过点A和点B时解析式，即可求解．
（1）
解：设抛物线解析式为，
把点A（3，2）代入得：，
解得：，
∴此时抛物线l的函数关系式为，
当x=0时，，
∴点P的坐标为；
（2）
解：∵新抛物线与抛物线l的形状完全相同，只是开口方向相反，
∴可设新抛物线的解析式为，
∵并且经过点A和第（1）问中的点P，
∴，解得：，
∴新抛物线l′的函数关系式为，
∴新抛物线的顶点坐标为
（3）
解：设抛物线解析式为，
由（1）得：当时，抛物线l过点A，
当抛物线l过点B（2，﹣1）时，，
解得：a=-1，
此时抛物线l解析式为，
当x=0时，y=-1，
∴此时点P（0，-1），
∴此时n=-1，
∴ 当且n≠0时，抛物线l经过△ABC区域（含边界）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
18．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案:(1)y＝x2﹣x﹣2；对称轴为x＝
(2)存在，P的坐标为（，﹣）
分析：（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）连接PB，由抛物线的对称性得：PA＝PB，可得
（1）
解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵该抛物线过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），代入，得：

解得：
∴此抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2＝﹣
∴抛物线的对称轴为x＝ ．
（2）
解：存在，理由如下：
连接PB
由抛物线的对称性得：PA＝PB
∴△PAC的周长PA+PC+AC＝PB+PC+AC，
∴当B、P、C三点共线时，PB+PC最小，
即当B、P、C三点共线时，△PAC的周长最小，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
将点B（4，0），点C（0，﹣2）代入，
得，解得：，
即直线BC的解析式为y＝x﹣2．
令x＝，则有y＝﹣2＝﹣，
即点P的坐标为（，﹣）．
∴在此抛物线的对称轴上存在点P，使△PAC的周长最小，此时点P的坐标为（，﹣）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
19．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称轴与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
答案:(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：或或或
分析：（1）抛物线经过点，，根据待定系数法即可求解；
（2）先把抛物线解析式配方成顶点式得对称轴为直线和点，再由对称性求得，即可求得的长；
（3）设点，由，解得：，即可求解．
（1）
解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是．
（2）
∵，
∴抛物线的对称轴为：，顶点，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）
存在，理由如下：
设，则点的纵坐标为，
∵，，
∴，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
①当时，解得，；
②当时，解得，．
∴存在点使的面积等于6．点的坐标为：或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，解—元二次方程，其中第（3）问要注意分类求解，避免遗漏．
【能力提升】
一、解答题
1．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线y=x+1交于点A、C．且点A的坐标为（-1，0）．
(1)求点C的坐标；
(2)若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
(3)若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A，C，E，F为项点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
答案:(1)（4，5）
(2)
(3)存在，点E的坐标为（2，-3）或（6，21）或（-4，21）
分析：（1）把点A的坐标代入，求出c的值，联立直线y=x+1即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴交AC于点M，当最大时，点P到直线AC的距离最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y=x+5，设P（m，）（-1＜m＜5），则M（m，m+1），求得PM，再根据二次函数的性质可得的最大值，根据勾股定理求出AC，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AF为平行四边形的对角线时，③当AE为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可．
（1）
解：∵点A（-1，0）在抛物线的图象上，
∴0=1+2+c，
∴c=-3，
∴抛物线为，
联立直线y=x+1得，
解得或，
∴点C的坐标为（4，5）；
（2）
解：过点P作PM⊥x轴交AC于点M，如图：
设P（m，）（-1＜m＜5），则M（m，m+1），
∴，
∴，
∴当m=时，最大为，
∵点A（-1，0），点C（4，5），
∴AC=，
设点P到直线AC的距离为h，
∴，
∴h=，
∴点P到直线AC距离的最大值为；
（3）
解：存在，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设点F的坐标为（1，n），点E的坐标为（x，），
分三种情况：
①当AC为平行四边形的对角线时，
-1+4=1+x，
解得x=2，
∴点E的坐标为（2，-3）；
②当AF为平行四边形的对角线时，
-1+1=x+4，
解得x=-4，
∴点E的坐标为（-4，21）；
③当AE为平行四边形的对角线时，
-1+x=4+1，
解得x=6，
∴点E的坐标为（6，21）；
综上，点E的坐标为（2，-3）或（-4，21）或（6，21）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
2．(2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线（）经过点（，0）．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)直线l交抛物线于点A（，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），求出点P纵坐标的取值范围．
答案:(1)，顶点坐标为
(2)
分析：（1）将点（-2，0）代入求解；
（2）分别求出点A、B坐标，根据图像开口方向及顶点坐标求解．
（1）
解：把（-2，0）代入，
可得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为；
（2）
把代入，
可得，
∴，
把代入函数解析式得，
解得或，
∴或，
∵n为正数，
∴，
∴点A坐标为，点B坐标为，
∵抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴抛物线顶点在下方，
∴，．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式．
3．(2023·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A（-2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，求AD+CD的最小值．
(3)点P是直线BC上方的点，连接CP，BP，若△BCP的面积等于3，求点P的坐标．
答案:(1)
(2)
(3)或
分析：（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接BD，根据二次函数的的对称性可得AD=BD，可得到当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，利用勾股定理求出BC，即可求解；
（3）过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，先求出直线BC的解析式，设点，则点，可得，再根据△BCP的面积等于3，列出方程，即可求解．
（1）
解：把点A（-2，0），点B（4，0），点C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）
如图，连接BD，
∵点D在抛物线的对称轴上，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD≥BC，
∴当点B，D，C三点共线时，AD+CD的值最小，最小值等于BC的长，
∵点B（4，0），点C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴；
（3）
解：如图，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，
设直线BC的解析式为，
把点B（4，0），点C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则点，
∴，
∵△BCP的面积等于3，
∴，
解得：m=1或3，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
4．(2023·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线与x轴的交点坐标A(﹣4，0)，B(2，0)，并过点C(﹣2，﹣2)，与y轴交于点D．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)求出△ABD的面积；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使BE+DE的值最小，如果有，写出点E的坐标；如果没有，说明理由．
答案:(1)y＝
(2)△ABD的面积为6
(3)存在，点E的坐标为(﹣1，﹣)
分析：（1）利用待定系数法将A，B，C三点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可求得结论；
（2）利用抛物线解析式求得点D坐标，利用点的坐标表示出线段OA，OB，OD的长度，根据三角形的面积公式即可求得结论；
（3）连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小；分别求得对称轴方程和直线AD的解析式，联立后解方程组即可求得点E坐标．
（1）
∵物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝．
（2）
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2）．
∴OD＝2．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝OA+OB＝6．
∴AB•AD＝×6×2＝6．
∴△ABD的面积为6．
（3）
在抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，理由：
∵y＝＝＝，
∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝﹣1．
连接AD交对称轴于点E，则此时BD+BE最小，如图，
设直线AD的解析式为y＝kx+m，由题意得：
，
解得：．
∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2．
∴．
解得：．
∴E（﹣1，﹣）．
∴抛物线对称轴上存在一点E，使BE+DE的值最小，点E的坐标为（﹣1，﹣）
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，轴对称的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
5．(2023·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
(3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
答案:(1)
(2)
(3)
分析：（1）直接利用待定系数法，将B、C两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知，D点在线段BC的垂直平分线与对称轴的交点上，根据B、C坐标求出BC所在直线解析式为：，E点坐标为：，进而求得DE所在直线解析式为：，将x=1代入解析式，即可求得D点坐标；
（3）由于Q点在直线BC上，所以设Q点坐标为（m，m-3），由此可以表示出OC=3，，，根据等腰三角形的性质，分三种情况进行讨论，即可求得Q点坐标．
（1）
解：由题意得，将B、C两点坐标代入解析式得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）
∵∠DCB＝∠CBD，
∴D点在线段BC的垂直平分线与对称轴的交点上，垂直平分线交BC于点E，如图所示，连接DB、DC，
则E点坐标为，
设BC所在直线解析式为：，
将B、C两点坐标代入解析式得：，
解得：，
∴BC所在直线解析式为：，
则，设DE所在直线解析式：，
将E点坐标代入得：n=0，
∴DE所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=1，
∴x=1时，，
∴D点坐标为：；
（3）
设Q点坐标为（m，m-3）,
∵O（0,0），C（0，-3），
∴OC=3，，，
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC=QC时，，
解得：，
此时Q点的坐标为；
②当OC=QO时，，
解得：m=3或m=0（舍去），
此时点Q的坐标为（3,0）；
③当QC=QO时，有，
解得：，
此时点Q的坐标为，
综上所述，Q点的坐标为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象的综合运用，数形结合是解本题的主要思想，注意等腰三角形求解时需要进行多种情况讨论．
6．(2023·福建·莆田二中九年级阶段练习）如图所示抛物线y＝a+bx+c由抛物线y＝﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C，直线y＝kx+b过B、C两点．
(1)写出平移后的新抛物线y＝a+bx+c的解析式；并写出a+bx+c＞kx+b时x的取值范围．
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POC，那么是否存在点P，使四边形POC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求此时点P的坐标和△PBC的最大面积．
答案:(1)y=-x-2
(2)存在，点P的坐标为(，-1)
(3)P点的坐标为(1，-2)，△PBC的最大面积为1
分析：（1）由图象平移的性质即可求解；
（2）当四边形POC为菱形，则点P在OC的中垂线上，进而求解．
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点D，设P(x，-x-2)，先求出B、C的坐标，根据列出x的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出满足条件的P点坐标以及面积最大值．
（1）
解：由图象平移的性质得：y=-x+1-3=-x-2；
（2）
解：存在，理由：如图，
对于y=-x-2，令x=0，则y=2，
故点C的坐标为(0，-2)，即OC=2，
当四边形POC为菱形，则点P在OC的中垂线上，
则点P的纵坐标为-×OC=-1，
当y=-1时，即y=-x-2=-1，解得x=或x=(不符合题意，舍去)，
则点P的坐标为(，-1)．
（3）
解：过点P作y轴的平行线与BC交于点D，
设P(x，-x-2)，
∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，
∴PD=-+x+2，
对于抛物线y=-x-2，
当y=0时，-x-2=0，
解得：， ，
∴B(2，0)，
由(2)知：C(0，-2)，
∴
=
=-+2x
=
当x=1时，△PBC的面积最大，最大面积为1，
把x=1代入抛物线解析式，得y=-2，
此时P点的坐标为(1，-2)．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到抛物线的图象和性质，菱形的性质、中垂线的性质、平移的性质等，有一定的综合性，难度不大．
7．(2023·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝﹣（x＋4）2，将此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．
(1)请写出平移后图像所对应的函数解析式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像；
(3)根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围．
答案:(1)抛物线y＝﹣（x+4）2的顶点坐标是（﹣4，0）
(2)见解析
(3)x＞1或x＜﹣3
分析：（1）求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标减，向上平移纵坐标加平移后求出顶点坐标，然后写出抛物线解析式即可；
（2）把原抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得；
（3）根据函数图像即可得．
（1）
解：抛物线的顶点坐标是（﹣4，0），
此函数的图像向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣1，2），
则平移后抛物线的解析式为；
（2）
解：平移后的抛物线如图所示：
（3）
解：由（2）中的图示知，当y＜0时，x＞1或x＜﹣3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图像，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质．
8．(2023·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．
答案:(1)
(2)
分析：（1）先求出，代入抛物线的解析式可得，从而可得，再利用一元二次方程根的判别式可得，据此求出的值，由此即可得；
（2）先求出，再判断出，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，将其代入抛物线的解析式即可得．
（1）
解：，
，
将代入得：，解得，
，
方程恰好有两个相等的实数根，
这个方程根的判别式，即，
解得或（不符题意，舍去），
则抛物线的解析式为．
（2）
解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，
，
，
恰好为等腰直角三角形，
只能是，
如图，过点作于点，
，
，
将点代入抛物线得：，
解得或（不符题意，舍去），
即的值为2．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、一元二次方程根的判别式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
9．(2023·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点为，与轴交于点.
(1)求的值；
(2)若将该抛物线向右平移个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标.
答案:(1)
(2)平移所得抛物线是，交点坐标为
分析：（1）根据抛物线过点，代入即可求出答案；
（2）抛物线向右平移个单位，根据抛物线水平方向移动规律“左加右减，上加下减”即可求出平移所得抛物线，两条抛物线联立方程即可求出交点坐标．
（1）
解：根据题意得，，
故．
（2）
解：抛物线解析式是，将该抛物线向右平移个单位，
∴平移后抛物线解析式是，
故平移后抛物线解析式是，
两条抛物线的交点得，
∴，解方程组得，，
故交点坐标是．
【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，理解和掌握函数待定系数法求解析式，函数平移规律是解题的关键．
10．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知二次函数：与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点．
(1)写出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)二次函数：．
①写出二次函数与二次函数有关图象的两条相同的性质；
②若直线与抛物线交于，两点，问线段的长度是否发生变化 如果不会，请求出的长度；如果会，请说明理由．
答案:(1)答案见解析
(2)①对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；都经过A(1，0)，B(3，0)两点（答案不唯一）；②线段EF的长度不会发生变化，值为6．
分析：（1）将：x变为顶点式即可判断；
（2）①根据二次函数与有关图象的两条相同的性质求解即可；
②根据已知条件列式，求出定值即可证明．
（1）
∵：x=，
∴二次函数开口向上，对称轴为x=2，顶点为(2，-1)；
（2）
①二次函数与有关图象的两条相同的性质：
（I）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；
（II）都经过A(1，0)，B(3，0)两点；
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线交于E、F两点，
∴，
∵k≠0，
∴，
∴，
∴EF=，
∴线段EF的长度不会发生变化．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数的性质求解是关键．
11．(2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于，直线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点M在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点，AC为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标．
(3)如图2，为直线上方的抛物线上一点，y轴交于点，过点作于点．设，求的最大值；
答案:(1)
(2)（，）或（，）
(3)
分析：（1）利用直线经过、两点，先求出点、的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）分AN为平行四边形的边和对角线讨论即可得出答案
（3）根据表达式，设出点坐标，，用含的代数式分别表达出线段、，转化成关于的二次函数，再求的最大值及点坐标；
（1）
解：当时，；
当时，，；
，，
点，在抛物线上，
，解得：，
；
（2）
当以AC为边时，点N的坐标为（，）；当以AC为对角线时，点N的坐标为（，）；
∵抛物先线的函数表达式：，
∴抛物线的对称轴为：x=，
当y=0时，，解得：x=-3或x=4，
∴点A（-3，0），
设点N（，n），点M（m，），
①当AN为平行四边形的边时，AM和CN为对角线，
，解得：，
∴N（，）
②当AM为平行四边形的边时，AN和CM为对角线，
，解得：
∴N（，），
综上：点N的坐标为：（，）或（，）．
（3）
如图1，连接，延长交轴于，
轴，
轴，
设，，
，
，且，，，
，
，
，
∵，
∴，
当时，有最大值是，
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
12．(2023·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)．
(1)求出二次函数的表达式；
(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
(3)过y轴的正半轴上一点C(0，c)作AO的平行线交抛物线于点B，如果点B是整点，求证：OAB的面积是偶数．
答案:(1)
(2)，其中n为整数
(3)见解析
分析：（1）可设抛物线的解析式为，然后只需把点A的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；
（2）由抛物线的解析式可知，要使y是整数，只需x是偶数，故x可用2n表示（n为整数），由此就可解决问题；
（3）运用待定系数法求出直线OA的解析式，然后根据两直线平行一次项的系数相同，可得到直线BC的函数表达式；由于点B是整点，点B的坐标可表示为，代入直线BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根据平行等积法可得，由于与是相邻整数，必然一奇一偶，因而是偶数，问题得以解决．
（1）
解：∵二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2，1)，
设抛物线的解析式为，将点代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）
解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线上整点坐标可表示为，其中n为整数
（3）
证明：设直线OA的解析式为把点A（2，1）代入y=kx,得
1=2k,
解得k=，
∴直线OA的解析式为,
∴过点C（0，c）与直线OA平行的直线的解析式为；
∵点B是整点，
∴点B的坐标可表示为，其中n为整数，
把B代入,得
∴．
∵，
∴，
∵为整数，
∴与一奇一偶，
∴是偶数，
即△OAB的面积是偶数．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求直线与抛物线的解析式、两直线平行问题、直线上点的坐标特征、平行等积法、奇数与偶数等知识，运用平行等积法是解决第（3）小题的关键．
13．(2023·全国·九年级课时练习）已知抛物线与x轴有公共点．
(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(2)将抛物线先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线（如图所示），抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
(3)D为抛物线的顶点，过点C作抛物线的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
答案:(1)
(2)n＝2
(3)见解析
分析：（1）根据抛物线与轴由公共点，可得，从而而求出的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得到结果；
（2）根据图像平移的特征可求出平移后抛物线的解析式，根据和分别得出点和的坐标，根据列出方程，进而求的结果；
（3）从而得出点、点的坐标，由抛物线的解析式可得出点的坐标和点的坐标，进而求得的解析式，从而得出点的坐标，进而得出，进一步得出结论．
（1）
解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴
∴∴．
∴，
∴，
∵，
∴当时，y随着x的增大而增大．
（2）
解：由题意，得，
当y＝0时，，
解得：或，
∵点A在点B的右侧，
∴点A的坐标为（1+n，0），点B的坐标为（－3+n，0）．
∵点C的坐标为（0，－n2 +2n+3），
∴n+1＝－n2+2n+3．
解得：n＝2或n＝－1（舍去）．
故n的值为2.
（3）
解：由（2）可知：抛物线C2的解析式为y＝－（x－1）2+4．
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（－1，0）
点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4），
抛物线C2的对称轴是直线x＝1，
∵点E与点C关于直线x＝1对称，
∴点E的坐标为（2，3）．
∴点G的坐标为（1，3）．
设直线BE解析式为y＝kx+b，
∴
解得：
∴y＝x+1．
当x＝1时，y＝1+1＝2．点F的坐标为（1，2）．
∴FG＝EG＝DG＝CG＝1．
∴四边形CDEF为矩形．
又∵CE⊥DF，
∴四边形CDEF为正方形．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，平移图像的特征，正方形的判定，解决问题的关键是平移前后抛物线解析式之间的关系．
14．(2023·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
答案:(1)；
(2)点M的坐标为或；
(3)（3）抛物线顶点横坐标t的取值范围为-3≤t＜0或 ．
分析：（1）根据抛物线关于轴对称，，得，，用待定系数法即得抛物线的解析式是；
（2）当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，根据，，可推得，得到，设直线为，待定系数法得直线为，从而解得，；当在下方时，过作交直线于，过作KG//x轴，过作于，过作于，同理可得，；
（3）由平移后顶点在直线上，设平移后的抛物线为，把代入得：，解得或，结合函数图象可得，把代入得：，解得或，结合函数图象可得：．
(1)
解：抛物线关于轴对称，，
，，
把代入得：，
，
抛物线的解析式是；
(2)
当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，，，
，，
，
设直线为，
，
解得，
直线为，
由得：（点横坐标，舍去），，
当时，，
，；
当在下方时，过作交直线于，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，
，，
，
设直线为，将，代入得：
，解得，
直线为，
由得（舍去）或，
，；
综上所述，点的坐标为，或，；
(3)
平移后顶点在直线上，
设平移后的抛物线顶点为，则平移后的抛物线为，
把代入得：，解得或，如图：
结合函数图象可得，
把代入得：，解得或，如图：
结合函数图象可得：，
综上所述，抛物线顶点横坐标的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形全等的判定与性质等知识，还考查了数形结合、分类等数学思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
15．(2023·福建·福州立志中学九年级开学考试）如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线，直线AD交抛物线于点D（2，m）
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重台），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，请求出M的坐标．
答案:(1)
(2)
(3)
分析：（1）根据对称轴和点A的坐标为（-2，0），得到B点坐标为（4，0），将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式即可；
（2）如图1，作EF⊥x轴于F，求出AD解析式，可得到PE解析式为，设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入得2t-8=-t+f，即f=3t-8，PE解析式为y=-x+3t-8，求出P点坐标为（3t-8，0），列出即可求解；
（3）如图2，由点A与点B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于M，则此时△MAC的周长最小，求得直线BC 的解析式为y=x-4，把x=1代入y=x-4得y=-3，于是得到结论．
（1）
解：∵点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线x=1，B点坐标为（4，0），
将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式得，
解得 ．
二次函数解析式为．
（2）
如图1，作EF⊥x轴于F，将点D（2，m）代入得，，
则D点坐标为（2，-4），
设AD解析式为y=kx+b， 把A（-2，0），D（2，-4）分别代入解析式得，
解得，， 则函数AD解析式为．
∵，
∴设PE解析式为．
设BD解析式为y=mx+n， 把B（4，0），D（2，）分别代入解析式得，
解得， ，
函数BD解析式为y=2x-8．
则可设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入得2t-8=-t+f，即f=3t-8，
∴PE解析式为，
当y=0时，x=3t-8，则P点坐标为（3t-8，0），
当时 ，的面积最大，
此时，3t-8=3×3-8=1， 得P（1，0）．
（3）
存在， 如图2，
∵点A与点B关于对称轴对称，
∴连接BC交对称轴于M， 则此时△MAC的周长最小，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴直线BC 的解析式为y=x-4，
∵点M在抛物线的对称轴上，
∴把x=1代入y=x-4得，
∴M（1，-3）．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式，二次函数求最值、轴对称最短路径问题，难度较大，值得关注．