人教版九年级数学上册精品专题22.2二次函数与一元二次方程(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题22.2二次函数与一元二次方程(原卷版+解析)，共47页。
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．(2023·全国·九年级课时练习）根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3.22＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
3．(2023·浙江杭州·九年级专题练习）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
4．(2023·广西百色·九年级期末）如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
5．(2023·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）二次函数y＝+1的图像与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（ ）
A．－4B．4C．5D．－5
7．(2023·全国·九年级课时练习）二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个同号的实数根D．有两个无法确定符号的实数根
8．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A．B．2C．D．
9．(2023·全国·九年级课时练习）点是二次函数的图象上的点，当（a为整数）时，点P到x轴的距离小于15，则a的值可以的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
10．(2023·江苏·九年级专题练习）已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______．
11．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线交轴于，两点，则长为______．
12．(2023·全国·九年级单元测试）抛物线y＝x2﹣2x+3的开口方向为_____，与y轴的交点坐标为_____．
13．(2023·全国·九年级课时练习）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为__________．
14．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）一次函数与二次函数的图象交于B（1，0）和D（，4）两点，当时，x的取值范围是________．
15．(2023·福建·福清西山学校九年级阶段练习）已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________
16．(2023·宁夏·石嘴山市星海中学（石嘴山市第三中学星海分校）九年级期末）二次函数的图象如图，则正确的结论是：________．
（1）abc＞0；（2）＜0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＝0；（5）若方程的两个根为，，则；（6）当x＞0时，y随x的增大而减小．
三、解答题
17．(2023·广东·九年级单元测试）已知抛物线的图象的顶点坐标为，且图象过点．
(1)求这个抛物线的关系式；
(2)直接写出抛物线与轴的交点坐标．
18．(2023·浙江温州·九年级期中）已知二次函数的图象过点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
19．(2023·安徽省安庆市外国语学校九年级开学考试）已知，抛物线y＝﹣（m﹣1）x﹣m．
(1)若图象经过原点，求m的值；
(2)若图象的对称轴是y轴，求m的值．
20．(2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．
21．(2023·全国·九年级课时练习）已知，如图，二次函数的图像与轴交于A，两点，与轴交于点，且经过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求的面积，写出时的取值范围．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知抛物线与轴交于点，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，且与轴交于、两点，其中，点的坐标为．若线段，那么的值为（ ）
A．B．或C．D．或
2．(2023·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）定义一种新函数，形如（a≠0且）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出函数的图象如图．并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3函数有最小值是0；
⑤当x＝1时函数的最大值是4．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．(2023·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
4．(2023·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（ ）
A．过点(3，0)B．顶点是(-2，2)
C．在轴上截得的线段的长是2D．与轴的交点是(0，3)
二、填空题
5．(2023·福建省长汀县第二中学九年级阶段练习）定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为___________.
6．(2023·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）若一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，则下列结论中：①；②方程，一定有两个不相等的实数根；③设t＝，当a＜0时，一定有；④若m、n（m＜n）是关于x的方程的两根，且p＜q．则q＞n＞m＞p一定正确的结论序号为 _____．
7．(2023·湖北·武汉市江夏区第一初级中学一模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m=－3时，函数图象的顶点坐标是；②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象必经过两定点．其中正确的结论有_________（填写序号）．
三、解答题
8．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）已知函数．
(1)当k=1时，求函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
(2)若当x≥0时，函数y随x的增大而减小，求k的取值范围．
9．(2023·浙江·九年级单元测试）如图，已知二次函数（a＜0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点A的直线y＝kx＋2k（k≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE＝EF．
(1)求点A，点B的坐标，并把c用a表示；
(2)若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式．
10．(2023·吉林吉林·九年级期末）某书店销售一批教辅书籍，每天可售出20套，每套可盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一套书每降价1元，每天可多售出2套．请解答下列问题：
(1)设每套降价x元，每天盈利y元（不计其他书籍），求y与x之间的函数关系式
(2)若书店每天想要在此教辅书上盈利1200元，每套应降价多少元？
(3)每套降价多少元时，书店每天销售这套教辅书的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
11．(2023·江苏·九年级专题练习）已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；
(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．
12．(2023·吉林省实验中学九年级阶段练习）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，，顶点为，根据图象回答下列问题：
(1)顶点的坐标为______，______．
(2)利用抛物线的对称性在所给平面直角坐标系中补全函数的图象．
(3)若以点为顶点且经过点的抛物线为，则使的自变量的取值范围是______．
13．(2023·福建·福清西山学校九年级阶段练习）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝+bx+c经过（﹣1， +2m+1）、（0， +2m+2）两点，其中m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝+bx+c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设（a，）、（a+2，）是抛物线y＝+bx+c上的两点，请比较﹣与0的大小，并说明理由．
14．(2023·福建·福清西山学校九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2+ax+a﹣2，求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
15．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数y＝（a≠0，a，b，c为常数）的的图像如图所示．
（1）方程＝0的解是____________；
（2）当函数值y＜0时，x的取值范围是_______．
16．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
①； ②； ③；
(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．
17．(2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系xy中，抛物线y=a（x-m）（x-n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y=h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）．
(1)若a=-1，m=1，n=3，
①求线段AB的长；
②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
(2)若点A在直线BC的上方，
①求m 的取值范围；
②令h=m²，一定存在一个a的值，对于任何符合（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2-x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
22.2 二次函数与一元二次方程（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案:D
分析：先运用根判别式判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，由此解答即可．
【详解】解：在中，
令y=0，则，
∵△=22-4×（-3）3=15＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵x=0时，y=-3，
∴抛物线与y轴的交点为（0，-3），
∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数为3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．注意仔细审题，不要忽略了抛物线与y轴交点．
2．(2023·全国·九年级课时练习）根据下面表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）A．3.22＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
答案:C
分析：根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；
x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
3．(2023·浙江杭州·九年级专题练习）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
答案:C
分析：观察函数图象在y=-1上和上方部分的x的取值范围便可．
【详解】解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
4．(2023·广西百色·九年级期末）如图是二次函数的部分图象,由图象可知不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
答案:C
分析：根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，分别求出与x轴交点坐标即可解决问题.
【详解】根据二次函数图像性质，可知的解集位于x轴的上方，有图像可知，对称轴为x=2，抛物线与x轴的交点为（5,0），由此可知抛物线与x轴另一个交点为（-1,0），所以的解集是.
故答案是C.
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标.
5．(2023·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）二次函数y＝+1的图像与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案:A
分析：转化为一元二次方程根的判别式问题求解即可．
【详解】∵y＝+1，
∴令y=0，则+1=0，
∵﹣4ac＝0﹣4×1＝﹣4＜0，
∴二次函数y＝+1的图像与x轴有0个交点；
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，熟练转化一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
6．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（ ）
A．－4B．4C．5D．－5
答案:D
分析：根据抛物线对称轴的定义以及抛物线图象来求该抛物线与x轴的两个交点的横坐标．
【详解】解：由图象可知对称轴为，与x轴的一个交点横坐标是5，
∵交点到对称轴的距离是3个单位，
∴另外一个交点的横坐标是﹣1，
∴.
故选：D.
【点睛】此题考查了抛物线与x轴交点，抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称是解题关键．
7．(2023·全国·九年级课时练习）二次函数的图像如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个异号的实数根
C．有两个同号的实数根D．有两个无法确定符号的实数根
答案:B
分析：根据二次函数的图像判断与x轴有两个交点，且在原点两侧，故关于x的一元二次方程有两个异号的实数根．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴有两个交点，且在原点两侧，
∴关于x的一元二次方程有两个异号的实数根，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与一元二次方程根的关系，掌握二次函数的图像与x轴有交点的横坐标即为关一元二次方程的根是解答本题的关键．
8．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线在轴上截得的线段长度是（ ）
A．B．2C．D．
答案:A
分析：令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可．
【详解】由解得，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．
9．(2023·全国·九年级课时练习）点是二次函数的图象上的点，当（a为整数）时，点P到x轴的距离小于15，则a的值可以的是（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案:A
分析：先求得抛物线的开口向下，顶点为（4，16），然后根据图象上点的坐标特征即可得到结论．
【详解】解：∵y=-x（x-8）=-（x-4）2+16，
∴图象开口向下，顶点为（4，16），
把y=15代入y=-x（x-8）得15=-x2+8x，
解得x=3或5，
∴当1≤x＜3时，点P到x轴的距离小于15，
∴a可以是3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得函数值为15时的x值是解题的关键．
二、填空题
10．(2023·江苏·九年级专题练习）已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______．
答案:6
分析：令y=0，可得，解出即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点坐标是，
令y=0，则，
解得：，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
11．(2023·全国·九年级课时练习）抛物线交轴于，两点，则长为______．
答案:6
分析：根据抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，可以令y=0求得点A、B的坐标，从而可以求得AB的长．
【详解】解：∵y=x2-4x-5，
∴y=0时，x2-4x-5=0，
解得，x1=-1，x2=5．
∵抛物线y=x2-4x-5与x轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(5，0)，
∴AB的长为：5-(-1)=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，y=0．
12．(2023·全国·九年级单元测试）抛物线y＝x2﹣2x+3的开口方向为_____，与y轴的交点坐标为_____．
答案: 向上 （0，3）
分析：利用a决定抛物线的开口方向，c为二次函数图像与y轴交点的纵坐标，即可解题．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x+3中二次项系数为1，大于0，
∴开口向上；
把x＝0代入抛物线y＝x2﹣2x+3中，
解得：y＝3，
则抛物线y＝x2﹣2x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．
故答案为：向上，（0，3）．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质．a决定抛物线的开口方向，c为二次函数图像与y轴交点的纵坐标．
13．(2023·全国·九年级课时练习）若二次函数的对称轴是，则关于的方程的解为__________．
答案:3或
分析：先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x的值即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，
∴=1，
解得m=-2，
∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0，
解得x1=-1，x2=3．
故答案为：3或-1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键．
14．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）一次函数与二次函数的图象交于B（1，0）和D（，4）两点，当时，x的取值范围是________．
答案:
分析：根据图像，当时，的图像在图像的上方，即在交点D、B之间，即可得到答案
【详解】由图可知，当时，
故答案是：
【点睛】此题考查二次函数图像的运用，确定不等式的解集利用相交图像的交点两侧得到答案．
15．(2023·福建·福清西山学校九年级阶段练习）已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________
答案:或
分析：根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解．
【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．
16．(2023·宁夏·石嘴山市星海中学（石嘴山市第三中学星海分校）九年级期末）二次函数的图象如图，则正确的结论是：________．
（1）abc＞0；（2）＜0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＝0；（5）若方程的两个根为，，则；（6）当x＞0时，y随x的增大而减小．
答案:（3）（4）（5）
分析：首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定的取值范围，根据x=-1时的函数值确定a-b+c的符号，根据=1确定的值，根据函数图像确定增减性．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故（1）错误；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴＞0，故（2）错误；
根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c＞0，故（3）正确；
∵对称轴为直线x==1，
∴b=-2a，即2a+b=0，故（4）正确；
∵对称轴为直线x==1，
∴，即=2，故（5）正确；
由图像可知：当x＜1时，y随x的增大而减小，故（6）错误；
∴正确的结论是：（3）（4）（5），
故答案为：（3）（4）（5）．
【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．
三、解答题
17．(2023·广东·九年级单元测试）已知抛物线的图象的顶点坐标为，且图象过点．
(1)求这个抛物线的关系式；
(2)直接写出抛物线与轴的交点坐标．
答案:(1)抛物线的解析式为
(2)抛物线与轴的交点坐标为（1，0），（3，0）
分析：（1）设顶点式，再把代入求出，从而得到抛物线解析式；
（2）通过解方程得到抛物线与轴的交点坐标．
（1）
设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）
当时，，
解得，
抛物线与轴的交点坐标为，．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式．
18．(2023·浙江温州·九年级期中）已知二次函数的图象过点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
答案:(1)
(2)，
分析：（1）把点代入函数解析式，求出k的值即可得到函数表达式；
（2）取y＝0，得到，求出x的值，即可得到答案．
（1）
解：把代入得：，
解得：，
∴该二次函数的表达式是；
（2）
当时，，
解得：或，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标是，．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的表达式、二次函数图象与x轴的交点等知识，熟练掌握方法是解题的关键．
19．(2023·安徽省安庆市外国语学校九年级开学考试）已知，抛物线y＝﹣（m﹣1）x﹣m．
(1)若图象经过原点，求m的值；
(2)若图象的对称轴是y轴，求m的值．
答案:(1)0
(2)1
分析：（1）图象过原点意味着解析式中的c＝0；
（2）对称轴为直线x＝﹣＝0，求出m的值即可．
（1）
解：∵抛物线y＝﹣（m﹣1）x﹣m，
∴a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m，
若图象经过原点，则c＝0，
∴﹣m＝0，
∴m＝0
（2）
解：∵抛物线y＝﹣（m﹣1）x﹣m，
∴a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m，
若图象的对称轴是y轴，即x＝0，
∴x＝﹣＝0，
∴＝0，
∴m＝1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点；②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
20．(2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．
答案:(1)见解析
(2)
分析：（1）令 则 计算判别式即可得出结论．
（2）根据题意求得抛物线的对称轴，进而根据自变量的取值范围求得最小值与最大值即可求解．
（1）
解：令 则



＞0
方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；
（2）
函数的图象与y轴交于点（0，3）．


抛物线的解析式为：

抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为
当时，
当时，
当0＜x＜5时，y的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．(2023·全国·九年级课时练习）已知，如图，二次函数的图像与轴交于A，两点，与轴交于点，且经过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求的面积，写出时的取值范围．
答案:（1）；（2）顶点坐标是，对称轴是；（3）的面积为21，时，的取值范围是．
分析：（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图像经过点、，
∴，
解这个方程组，得，
∴该二次函数的解析式是；
（2），
∴顶点坐标是；
对称轴是；
（3）∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解这个方程得：，，
即二次函数与轴的两个交点的坐标为，．
∴的面积．
由图像可得，当时，，
故时，的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知抛物线与轴交于点，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，且与轴交于、两点，其中，点的坐标为．若线段，那么的值为（ ）
A．B．或C．D．或
答案:D
分析：利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，令y＝0，求出该抛物线与x轴的交点，并利用点的坐标表示出线段OA，BC的长，根据已知条件列出关于t的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：令，则，
，
，
设平移后的抛物线解析式为，
平移后的抛物线经过点，且与轴交于，
，
解得：，
平移后的抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
，
．
，
．
当时，解得：，
当时，解得：，
的值为：或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2．(2023·河南·开封市东信学校九年级阶段练习）定义一种新函数，形如（a≠0且）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出函数的图象如图．并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3函数有最小值是0；
⑤当x＝1时函数的最大值是4．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案:C
分析：将分别代入求得于坐标轴的交点可得①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴是直线x=1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=-1或x=3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜-1或x＞3，函数值要大于当x=1时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【详解】解：①∵令，得，
令，则
解得
∴与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3），
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴为直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=-1或x=3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜-1或x＞3，存在函数值要大于当x=1时的，因此⑤是不正确的；
故正确的为：①②③④．
故选C．
【点睛】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
3．(2023·湖北·黄石市有色中学九年级开学考试）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
答案:D
分析：根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x4；故A、B、C不符合题意；
方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
4．(2023·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（ ）
A．过点(3，0)B．顶点是(-2，2)
C．在轴上截得的线段的长是2D．与轴的交点是(0，3)
答案:B
分析：由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能为3，故可判断D正确．
【详解】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)，
∴在x轴上截得的线段长是3-1=2，
∴A、C正确，不符合题意；
∵该二次函数图象对称轴为x=2，
∴顶点横坐标应为2，
∴B一定不正确，符合题意；
把x=0代入可求得y=c，
∴当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)，
∴D有可能正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键．
二、填空题
5．(2023·福建省长汀县第二中学九年级阶段练习）定义：min{a，b}＝若函数y＝min{x＋1， }，则该函数的最大值为___________.
答案:3
分析：根据定义画出函数图象，设直线y=x+1，抛物线，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．
【详解】解：依题意，设直线y=x+1，抛物线，
联立直线与抛物线方程得
，
解得或，
∴直线与抛物线交点坐标为（-1，0），（2，3），
如图，
∴x≤-1时，y=，函数最大值为y=0，
-1＜x≤2时，y=x+1，函数最大值为y=3，
当x＞2时，y=，y＜3，
∴x=2时，函数取最大值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．通过数形结合求解．
6．(2023·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）若一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，则下列结论中：①；②方程，一定有两个不相等的实数根；③设t＝，当a＜0时，一定有；④若m、n（m＜n）是关于x的方程的两根，且p＜q．则q＞n＞m＞p一定正确的结论序号为 _____．
答案:②④##④②
分析：根据方程的根的判别式即可判断①②；根据二次函数的最值即可判断③；根据二次函数与二次方程之间的关系，由关于x的方程画出函数y=图像草图即可判断④．
【详解】①∵一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴，结论①错误；
②∵一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根．结论②正确；
③∵a＜0，
∴抛物线开口向下，当x＝时，函数有最大值，
设t＝，当a＜0时，一定有，即，故结论③错误；
④依题意，画出函数y=的图像，如图所示：
函数图像为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为p，q（p＜q），
方程，
转化为＝﹣1，
方程的两根是抛物线y＝与直线y＝﹣1的两个交点，
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧交点的横坐标为n，
抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜p；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有q＜n．
综上所述，可知q＞n＞m＞p，结论④正确．
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了根的判别式、二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想，掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
7．(2023·湖北·武汉市江夏区第一初级中学一模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m=－3时，函数图象的顶点坐标是；②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象必经过两定点．其中正确的结论有_________（填写序号）．
答案:①②④
分析：①把m=－3代入[2m，1－m，－1－m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
【详解】解：函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1－m，－1－m]，
①把m=－3代入[2m，1－m，－1－m]，
得：，
∴，
∴顶点坐标是，此结论正确；
②当，令，
则，
解得：，
∴，
∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，
∴此结论正确；
③当时，是一个开口向下的拋物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．
∵当时，，
∴对称轴在右边，
∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，
∴此结论错误；
④，
∵当m≠0时，函数图象必经过定点，
∴，
解得：，
∵当时，；当，，
∴当m≠0时，函数图象必经过两定点：，，
∴此结论正确；
综上所述，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图像与性质以及运用数形结合思想是解题的关键．
三、解答题
8．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）已知函数．
(1)当k=1时，求函数的顶点坐标，与x轴的交点坐标；
(2)若当x≥0时，函数y随x的增大而减小，求k的取值范围．
答案:(1)顶点坐标为（，-），与x轴交点坐标为（1，0）和（4，0）
(2)
分析：（1）把函数解析式配成顶点式，即可得顶点坐标，令y=0解出x的值，可得与x轴的交点坐标；
（2）分k=0和k≠0两种情况讨论，可得答案．
（1）
解：当k=1时，，
∴抛物线顶点坐标为（，-），
在中，令y=0得：，
解得=1，=4，
∴抛物线与x轴交点为（1，0），（4，0）；
（2）
解：①当k=0时，y=-3x+1，
∵-3＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x≥0时，函数y随x的增大而减小成立；
②当k≠0时，
∵当x≥0时，函数随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴或在y轴左侧，
∴，
解得-≤k＜0，
综上所述，当x≥0时，函数随x的增大而减小，k的范围是-≤k≤0．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标及抛物线与x轴的交点及函数的增减性，熟记二次函数的性质是解题的关键．
9．(2023·浙江·九年级单元测试）如图，已知二次函数（a＜0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．过点A的直线y＝kx＋2k（k≠0）与这个二次函数的图象的另一个交点为F，与该图象的对称轴交于点E，与y轴交于点D，且DE＝EF．
(1)求点A，点B的坐标，并把c用a表示；
(2)若△BDF的面积为12，求这个二次函数的关系式．
答案:(1)A（﹣2，0），B点坐标为（4，0），c＝﹣8a
(2)
分析：（1）令y＝0，可解得点A的横坐标，再利用二次函数的对称性，可得点B的坐标；把A坐标代入，化简可得答案；
（2）先由DE＝EF及对称轴为x＝1，可得点F的横坐标，从而可得点F的坐标，再判定△FCD≌△AOD（ASA），由可得关于a的方程，求解即可．
（1）
解：当y＝0时，kx+2k＝0，
解得：x＝﹣2，则A（﹣2，0）．
∵二次函数（a＜0）的图象的对称轴为直线x＝1，
∴B点坐标为（4，0）．
把A（﹣2，0）代入得：4a+4a+c＝0，
∴c＝﹣8a．
（2）
∵DE＝EF，对称轴为x＝1，
∴点F的横坐标为2，
∵点F在的图象上，且c＝﹣8a，
∴F（2，﹣8a）．
∴CF＝AO＝2．
∵CFAO，
∴∠CFD＝∠DAO，∠FCD＝∠AOD，
∴△FCD≌△AOD（ASA），
∴OD＝CD＝﹣4a，DF＝AD，
∵S△BDF＝S△ABD，
∴×（4+2）（﹣4a）＝12，
解得a＝﹣1．
∴二次函数的关系式为．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
10．(2023·吉林吉林·九年级期末）某书店销售一批教辅书籍，每天可售出20套，每套可盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一套书每降价1元，每天可多售出2套．请解答下列问题：
(1)设每套降价x元，每天盈利y元（不计其他书籍），求y与x之间的函数关系式
(2)若书店每天想要在此教辅书上盈利1200元，每套应降价多少元？
(3)每套降价多少元时，书店每天销售这套教辅书的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
答案:(1)
(2)20元
(3)当每套降价15元时，盈利最大为1250元
分析：（1）降价x元，则多卖出2x本资料，此时单本资料的利润减少为(40-x)，销售的总数量为(20+2x)本，据此即可作答；
（2）令y=1200，解一元二次方程即可求解；
（3）将函数关系式化成顶点式，即可求解．
（1）
根据题意有：，
即y与x之间的函数关系为：；
（2）
令y=1200，则有方程：，
整理，得：，
解得，，
∵要减少库存，扩大销售，
∴x=20，
答：每套要降价20元；
（3）
将函数关系式变形为：，
∵，
∴当x=15时，y值最大，且最大值为y=1250，
即：当每套降价15元时，盈利最大为1250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意列出函数关系式是解答本题的关键．
11．(2023·江苏·九年级专题练习）已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
(1)若抛物线C的顶点坐标为(1，﹣3)，求b、c的值；
(2)当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
(3)当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为_________．
答案:(1)b＝1，c＝﹣2
(2)b的值为﹣6或
(3)4
分析：（1）抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），代入解析式即可求解；
（2）将c＝b+2代入抛物线解析式，可得对称轴为x＝b，分三种情况讨论①当b＜0时，②当0≤b≤2时，③当b＞2时，根据抛物线C的最小值是﹣4，列出方程组即可求解；
（3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，即抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，结合图象列出不等式组，解不等式组即可求解．
（1）
解：∵抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），
∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2；
（2）
∵c＝b+2
∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，对称轴为x＝b，
①当b＜0时，由题意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合题意；
②当0≤b≤2时，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合题意舍去；
③当b＞2时，根据题意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b＝，符合题意；
综上所述，所求b的值为﹣6或．
（3）
当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，
如图所示，抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，
当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，
则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1），
设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由解得x1＝3，x2＝4，
∴m的最大值为4．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与一次函数交点问题，待定系数法求解析式，二次函数最值问题，数形结合是解题的关键．
12．(2023·吉林省实验中学九年级阶段练习）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点，，顶点为，根据图象回答下列问题：
(1)顶点的坐标为______，______．
(2)利用抛物线的对称性在所给平面直角坐标系中补全函数的图象．
(3)若以点为顶点且经过点的抛物线为，则使的自变量的取值范围是______．
答案:(1)（﹣1，4），2
(2)图象见解析
(3)﹣1＜x＜2
分析：（1）由二次函数顶点式直接写出顶点顶点的坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1，再根据抛物线的对称性可求出m的值；
（2）利用抛物线的对称性在所给平面直角坐标系中补全即可；
（3）先画出以点为顶点且经过点的抛物线为，根据图象即可求出答案．
（1）
解：由二次函数可知，顶点的坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1，
∵图象过点，，
∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，
∴﹣1－（﹣4）＝m－（﹣1），
解得m＝2，
故答案为：（﹣1，4），2
（2）
补全图像如图，
（3）
在上图中画出以点为顶点且经过点的抛物线为，由图像可知，当﹣1＜x＜2时，的图象在的图象的上方，
∴的自变量的取值范围是﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2
【点睛】此题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图像和性质、图像法解一元二次不等式等知识，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
13．(2023·福建·福清西山学校九年级阶段练习）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝+bx+c经过（﹣1， +2m+1）、（0， +2m+2）两点，其中m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝+bx+c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设（a，）、（a+2，）是抛物线y＝+bx+c上的两点，请比较﹣与0的大小，并说明理由．
答案:(1)b＝2，c＝
(2)m＝﹣1
(3)a≥﹣2时，，a＜﹣2时，，理由见解析
分析：（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）令y＝0，得+2m+2＝0，根据题意可得，即可求解；
（3）计算＝4（a+2），根据的值分类讨论即可求解．
（1）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，
∴，
∴，
即：b＝2，c＝，
（2）
由（1）得y＝，
令y＝0，得+2m+2＝0，
∵抛物线与x轴有公共点，
∴＝4﹣4（+2m+2）≥0，
∴≤0，
∵≥0，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1；
（3）
由（1）得，y＝，
∵（a，）、（a+2，）是抛物线的图象上的两点，
∴，，
∴
＝4（a+2）
当a+2≥0，即a≥﹣2时，，
当a+2＜0，即a＜﹣2时，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与直线交点问题，比较函数值的大小，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
14．(2023·福建·福清西山学校九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2+ax+a﹣2，求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
答案:见解析
分析：令x2+ax+a﹣2＝0，求出△的值，再判断出其符号即可．
【详解】证明：令x2+ax+a﹣2＝0，
∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a为何实数，一元二次方程有两个不相等的实数根，
即：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象与x轴交点问题与一元二次方程根的关系是解题关键．
15．(2023·全国·九年级专题练习）二次函数y＝（a≠0，a，b，c为常数）的的图像如图所示．
（1）方程＝0的解是____________；
（2）当函数值y＜0时，x的取值范围是_______．
答案: 1＜x＜3
分析：（1）利用数形结合思想，根据抛物线与一元二次方程的关系判断即可．
（2）利用数形结合思想，结合抛物线与x轴的交点横坐标，判断即可．
【详解】解：（1）由图像得：抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为1和3，
所以方程＝0的解是，
故答案为：．
（2）由图像得：当函数值y＜0时，x的取值范围是1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，抛物线与一元二次方程以及不等式的关系，掌握二者的关系，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
16．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）定义若抛物线（）与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”．
(1)已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是________；（填序号）
①； ②； ③；
(2)如图，已知直线l：，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为、，在直线l上方抛物线部分是否存在点使△面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知x轴的“双幸运曲线”（）经过点（1，3），（0，），在x轴的“幸运点”分别为、，试求的取值范围．
答案:(1)②
(2)存在，最大面积为 此时
(3)
分析：（1）分别联立一次函数与抛物线的解析式，再判断方程组的解的个数得到函数图象的交点个数，结合新定义可得答案；
（2）如图，过作轴交于点 先求解A，B的坐标，再设 则 可得 再利用面积公式列二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求解 则抛物线为：再结合抛物线与x轴有两个交点，可得 再利用，结合二次函数的性质可得答案．
（1）
解：联立
∴ 即
∴ 方程无解，
∴两个函数图象没有交点，
∴根据定义：抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
同理：由可得： 方程有两个不相等的实根，
∴两个函数有两个交点，
∴抛物线为该直线的“双幸运曲线”；
由可得：
解得： 方程有两个相等的实根，
∴两个函数有1个交点，
∴抛物线不为该直线的“双幸运曲线”；
故选②
（2）
存在，理由如下：
如图，过作轴交于点
联立
∴
解得：
∴
∴
设 则
∴
∴

当时，面积最大，最大面积为
此时
∴
（3）
∵（）经过点（1，3），（0，），
∴
解得：
∴抛物线为：
令 则结合题意可得方程有两个不相等的实根
∴
∴

∵
∴当时，即时，MN最小，最小值为：
∴
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数的交点问题，新定义的理解，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，熟练构建函数，再利用函数的性质解决问题是关键．
17．(2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系xy中，抛物线y=a（x-m）（x-n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y=h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）．
(1)若a=-1，m=1，n=3，
①求线段AB的长；
②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
(2)若点A在直线BC的上方，
①求m 的取值范围；
②令h=m²，一定存在一个a的值，对于任何符合（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2-x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围．
答案:(1)①2；②见解析
(2)①m＞0；②a=-1；t≥3
分析：（1）①令，求出A，B点坐标即可求解，
②先证直线y=h与抛物线肯定有两个交点P（x1，y1）与Q（x2，y2），再由两点关于抛物线对称轴对称即可证明；
（2）先求出，，，再求出直线BC的解析式，由点A在直线BC的上方得当时，，即可求出m＞0；
②先求出与，由为定值求出，再由直线与抛物线相交于不重合的两点得出，将 代入，对不等式进行变形即可求出t的取值范围．
（1）
解：①∵a=-1，m=1，n=3，
∴抛物线的解析式为，
令得，
解得或，
∵点A在点B的左边，
∴，，
∴线段AB的长为：．
②证明：∵抛物线的解析式为，
∴时，取最大值，最大值为1，
∴当h＜1时，直线y=h与抛物线肯定有两个交点P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
∵直线y=h与抛物线的两个交点关于对称轴对称，
∴P（x1，y1）与Q（x2，y2）关于对称轴对称，
∴
∴，
∴x1+x2的值不会随着h的变化而变化；
（2）
解：①抛物线的解析式为，
令得，
解得或，
∵点A在点B的左边，m＜n，
∴，，
令得，
∴．
设直线BC的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
∵点在直线BC的上方，
∴当时，，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为，最大值为．
∵直线与抛物线相交于不重合的P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，
∴，
方程两边同时除以得，
整理得，
∵，
∴．
∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点关于对称，
∴，
∴，
∵直线与直线BC交于点N（x3，y3），
∴．
由①得直线BC的解析式为，
将代入得，
解得，
∴，
∴，
令得，
此时为定值，
将代入，
得，
∴当时，，满足，
∴，．
【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，求一次函数解析式，解不等式等，第2问难度较大，根据直线与抛物线有两个交点列出不等式，再由为定值求出a的值是解题的关键．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09