人教版九年级数学上册精品专题22.3实际问题与二次函数—最大利润问题(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题22.3实际问题与二次函数—最大利润问题(原卷版+解析)，共42页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润（元）与降价金额（元）之间的关系是，则获利最多为（）
A．元B．元C．元D．元
2．(2023·全国·九年级专题练习）某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·浙江·九年级单元测试）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
4．(2023·浙江·九年级专题练习）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．(2023·全国·九年级阶段练习）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是____________．
6．(2023·全国·九年级阶段练习）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为 ___．
7．(2023·广东珠海·九年级期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是________________．
8．(2023·辽宁·沈阳市浑南区第一初级中学九年级阶段练习）已知某商品每箱盈利元，现每天可售出箱，如果每箱商品每涨价元，日销售量就减少箱则每箱涨价______ 元时，每天的总利润达到最大．
9．(2023·全国·九年级课时练习）某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为______．
10．(2023·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．
三、解答题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
12．(2023·全国·九年级专题练习）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
13．(2023·江苏·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价元，那么平均每天就可多售出件．若商场想平均每天盈利达元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？
14．(2023·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）某种日记本的专卖柜台，每天柜台的租金，人员工资等固定费用为160元，该日记本每本进价是4元，规定销售单价不得高于8元/本，也不得低于4元/本，调查发现日均销售量y（本）与销售单价x（元）的函数图象如图线段AB．
(1)求日均销售量y（本）与销售单价x（元）的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，日均获利最多，获得最多是多少元？
15．(2023·山东·临沂第六中学九年级阶段练习）某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
16．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）2022年中秋节，某超市销售一种月饼，成本每千克40元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)物价局规定这种月饼售价每千克不高于65元．设这种月饼每天的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
17．(2023·全国·九年级单元测试）春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．
(1)求每个水果礼盒的成本（成本水果成本盒子成本）；
(2)若每个礼盒的售价是元是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
(3)若每个礼盒的售价不超过元是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
2．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：
(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
(2)设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润=日销售量×（销售单价−成本单价）
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．
3．(2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系．
(1)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(2)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
4．(2023·福建·莆田二中九年级阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件，经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
(1)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件村杉应降价多少元？
(2)这次降价活动中，1920元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值．
5．(2023·广东·佛山市华英学校三模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元千克）的变化而变化，具体关系式为：设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
(1)求与的关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，应将销售单价定为多少元？
6．(2023·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）某商场以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售100套服装，已知“线上”销售的每套利润为100元，“线下”销售的每套利润y（元）与销售量x（套）（20≤x≤60）之间的函数关系如图中的线段AB．
(1)求y与x之间的函数关系．
(2)当“线下”的销售利润为4350元时，求x的值．
(3)实际“线下”销售时，每套还要支出其它费用a元（0＜a＜20），若“线上”与“线下”售完这100套服装所获得的最大总利润为11200元，求a的值．
7．(2023·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）果农周大爷家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，他记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价（元/千克）与时间第天（为整数）的数量关系如图所示，日销量（千克）与时间第天（为整数）的部分对应值如表所示：
(1)请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在这10天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元？
8．(2023·内蒙古通辽·九年级期末）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：
(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；
(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？
(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．
9．(2023·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
10．(2023·全国·九年级专题练习）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
11．(2023·湖北武汉·九年级期中）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．
12．(2023·河北承德·九年级期末）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的总成本（万元）与产品数量（件）之间具有函数关系．当时，；当时，．城生产产品的每件成本为70万元．
(1)求，的值．
(2)当，两城生产这批产品的总成本的和最少时，求，两城各生产多少件？
(3)从城把该产品运往，两地的费用分别为万元/件和3万元/件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．地需要90件，地需要10件，在（2）的条件下，从城运往城15件产品，直接写出，两城总运费的和（用含有的式子表示）．
13．(2023·河南周口·九年级期末）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60＋x（元/件）（即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？
(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？
14．(2023·四川广元·九年级期末）朝天城区某水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过讨价还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？
15．(2023·江苏·九年级专题练习）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
售价x（元/千克）
50
55
60
销售量y（千克）
100
90
80
销售单价x（元/千克）
12
16
20
日销售量y（千克）
220
180
140
时间第天
1
3
5
7
10
日销售量（千克）
220
260
300
340
400
销售价格x(元/千克)
30
35
40
45
50
日销售量p(千克)
600
450
300
150
0
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
22.3实际问题与二次函数—最大利润问题（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获得利润（元）与降价金额（元）之间的关系是，则获利最多为（）
A．元B．元C．元D．元
答案:D
分析：利用配方法即可解决问题．
【详解】解：对于抛物线，
，
时，有最大值，最大值为，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用、配方法等知识，解题的关键是熟练掌握配方法，学会利用二次函数的性质解决最值问题．
2．(2023·全国·九年级专题练习）某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据增长率的问题可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
3．(2023·浙江·九年级单元测试）据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝2.4（1+2x）B．y＝2.4（1-x）2
C．y＝2.4（1+x）2D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2
答案:C
分析：根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，
则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键．
4．(2023·浙江·九年级专题练习）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：根据增长率的问题可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，故A正确．
故选：Ａ．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
二、填空题
5．(2023·全国·九年级阶段练习）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是____________．
答案:
分析：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，依据每件利润，销售数量，总利润之间的关系可得函数关系式，根据每件售价不能高于72元，可得自变量的取值范围．
【详解】解：根据题意可得：涨价后的售价为元，销售量为件，
∴，
∵每件售价不能高于72元，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出相应函数解析式是解题关键．
6．(2023·全国·九年级阶段练习）随着新冠疫情逐渐好转，某口罩厂将减少口罩的出厂量，6月份的出厂量为20000只，若口罩出厂量每月下降百分率为x，8月份的出厂量为y只，则y关于x的函数解析式为 ___．
答案:y=20000（1-x）2
分析：根据降低率的特点即可得到8月份的出厂量与6月份的出厂量的关系，故可求解．
【详解】若口罩出厂量每月下降百分率为x，则8月份的出厂量y关于x的函数解析式为y=20000（1-x）2，
故答案为：y=20000（1-x）2．
【点睛】此题主要考查列二次函数，解题的关键是根据题意找到数量关系列函数．
7．(2023·广东珠海·九年级期末）某种产品今年的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年的产量都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量y与x之间的函数表达式是________________．
答案:
分析：根据每年的产量都比上一年增加x倍，列出函数解析式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
8．(2023·辽宁·沈阳市浑南区第一初级中学九年级阶段练习）已知某商品每箱盈利元，现每天可售出箱，如果每箱商品每涨价元，日销售量就减少箱则每箱涨价______ 元时，每天的总利润达到最大．
答案:6
分析：直接利用每箱利润销量总利润，进而得出关系式求出答案．
【详解】解：设每箱涨价元，总利润为，根据题意可得：


，
答：每箱涨价元时，每天的总利润达到最大．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
9．(2023·全国·九年级课时练习）某厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为______．
答案:
分析：由一月份新产品的研发资金为1000元，根据题意可以得到2月份研发资金为1000（1+x）万元，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
【详解】解：∵一月份新产品的研发资金为1000元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
∴2月份研发资金为1000（1+x），
∴三月份的研发资金为y=1000（1+x）×（1+x）=1000（1+x）2．
故答案是：1000（1+x）2．
【点睛】考查了根据实际问题列二次函数解析式，解题的关键是运用了平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．
10．(2023·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造，产量年均增长率为x，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量y（万件）与x间的关系式为___________．
答案:
分析：因为产量的平均增长率相同，所以2021的产量为，2022年的产量为，由此即可知道2022年的产量y（万件）与x间的关系式．
【详解】解：∵2020年产量为1万件，且产量年均增长率为x．
∴2021年产量为；2022年的产量为．
∴2022年的产量y（万件）与x间的关系式为．
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的实际问题，能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．
三、解答题
11．(2023·江苏·九年级专题练习）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
答案:售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润
分析：设销售单价为x元，月销售利润为y元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．
12．(2023·全国·九年级专题练习）某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
答案:（1）销售单价应定为30元或40元．（2）当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
分析：（1）设销售单价为x元，可列方程为（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，解方程即可解决问题．
（2）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设销售单价为x元，根据题意列方程得，
（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝2000，
解得x1＝30，x2＝40
答：销售单价应定为30元或40元．
（2）设销售单价为x元，每天的销售利润w元，可列函数解析式为：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）] ＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，当x＝35时，w有最大值，最大值为2250元，
答：当单价为35元时，该文具每天的最大利润为2250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
13．(2023·江苏·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价元，那么平均每天就可多售出件．若商场想平均每天盈利达元，那么每件衬衫应降价多少元？你若是商场经理，为获得最大利润，每件衬衫应降价多少元，此时最大利润是多少？
答案:商场每天盈利达1200元，每件衬衫应降价20元；每件衬衫应降价元，此时最大利润是元．
分析：（1）设每件衬衫应降价元，根据每件衬衫的利润、销售量、总利润的关系可得一元二次方程，求解即可得；
（2）设商场获得的总利润为y元，可得y与x的函数关系式，然后化为顶点式，即可得出最大利润．
【详解】解：（1）设每件衬衫应降价元，
由题意得：，
即，
，
，
解得：或，
为了减少库存，
∴，
每件衬衫应降价元；
（2）设商场获得的总利润为元，由题意得：


，
，
当时，有最大值，最大值为，
每件衬衫应降价元，此时最大利润是元．
【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出方程，确定函数解析式是解题关键．
14．(2023·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）某种日记本的专卖柜台，每天柜台的租金，人员工资等固定费用为160元，该日记本每本进价是4元，规定销售单价不得高于8元/本，也不得低于4元/本，调查发现日均销售量y（本）与销售单价x（元）的函数图象如图线段AB．
(1)求日均销售量y（本）与销售单价x（元）的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，日均获利最多，获得最多是多少元？
答案:(1)
(2)当销售单价为7元时，日均获利最多为200元
分析：（1）通过图片可看出y与x的关系为一次函数，可根据A，B两点的值，运用待定系数法来求出y与x的函数关系式．
（2）日均获利=日均销售量×每个日记本的利润-人员的工资
然后根据这个等量关系表示出日均获利和销售单价的函数关系，根据函数的性质进一步来判断出符合条件的值．
（1）
由题意设日均销售量y与销售单价x的函数关系式为
则得：
解得
∴
（2）
设日均获利为w元，则
∴当x=7时，最大值为200．
答：当销售单价为7元时，日均获利最多为200元．
【点睛】本题考查一次函数的性质和应用以及二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
15．(2023·山东·临沂第六中学九年级阶段练习）某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
答案:将这种商品的售价降低0.5元，能使销售利润最大
分析：由题意得，设这种商品降低x元，把利润的表达式用x表示出来，将问题转化为求函数最值问题来解决，从而求出最大利润．
【详解】解：将这种商品售价降低x元时，所获利润最大，获利最大利润为y元，
则
所以当元时，所获利润最大．
答：将这种商品的售价降低0.5元，能使销售利润最大．
【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，解题的关键是理解题意将实际问题转化为求函数最值问题，构造函数模型，从而来解决实际问题．
16．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）2022年中秋节，某超市销售一种月饼，成本每千克40元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)物价局规定这种月饼售价每千克不高于65元．设这种月饼每天的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
答案:(1)
(2)，售价为65元时获得最大利润，最大利润是1750元
分析：（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）根据利润等于每千克的利润乘以数量，可得到W与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
（1）
解：设y与x之间的函数关系式为，
将代入，得：
，解得：
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）
解：根据题意得：
，
∵-2＜0，
∴当时，W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W取得最大值为1750，
答：售价为65元时获得最大利润，最大利润是1750元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
17．(2023·全国·九年级单元测试）春节即将到来，某水果店进了一些水果，在进货单上可以看到：每次进货价格没有变化，第一次进货苹果400千克和梨500千克，共支付货款6200元；第二次进货苹果600千克和梨200千克，共支付货款6000元；为了促销，该店推出一款水果礼盒，内有3千克苹果和2千克梨，包装盒每个4元．市场调查发现：该礼盒的售价是70元时，每天可以销售80盒；每涨价1元，每天少销售2盒．
(1)求每个水果礼盒的成本（成本水果成本盒子成本）；
(2)若每个礼盒的售价是元是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
(3)若每个礼盒的售价不超过元是大于70的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
答案:(1)40元
(2)
(3)当时，每天的最大利润为2450元；当时，每天的最大利润为
分析：（1）设苹果进货价格为元千克，梨进货价格为元千克，根据题意列出方程组可求出和的值，进而得出结论；
（2）根据（售价成本）数量可得结论；
（3）根据二次函数的性质可直接得出结论．
（1）
解：设苹果进货价格为元千克，梨进货价格为元千克，
依题意可列方程组：，
解得，，
苹果进货价格为8元千克，梨进货价格为6元千克
每个礼盒的成本为：（元）．
（2）
解：．
（3）
解：由（2）知，，
当时，每个礼盒取75元时，每天能够获得最大利润，且最大利润为2450元；
∵当时，w随m的增大而增大，
∴当时，每个礼盒的售价取 m 元时，每天的最大利润为．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及二元一次方程组的应用，二次函数的性质等知识，关键是根据题意得出相关函数式．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据增长率方程解答．
【详解】设每年投资的增长率为，由题意得，
故选：C．
【点睛】此题考查增长率二次函数关系式，掌握增长率问题的计算公式：，a是前量，b是后量，x在增长率．
二、解答题
2．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）“全民防控新冠病毒”期间某公司推出一款消毒产品，成本价8元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：
(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
(2)设日销售利润为W，求出W与x的函数关系式；（注：日销售利润=日销售量×（销售单价−成本单价）
(3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于1500元，试确定该产品销售单价的范围．
答案:(1)
(2)
(3)该产品销售单价的范围为
分析：（1）设y关于x的函数解析式为，由待定系数法求解即可；
（2）根据日销售利润日销售量（销售单价-成本单价）写出函数关系式即可；
（3）根据题意，变形得出关于x的二次不等式，然后解一元二次方程，再根据二次函数的性质可得答案．
（1）
解：设y关于x的函数解析式为，将（12，220），（16，180）代入得：
，
解得：，
∴；
（2）
解：由题意得：W=-10x+340x-8

∴W与x的函数关系式是：；
（3）
解：由题意得：
，
∴，
当时，
解得：，，
∵函数的二次项系数为正，图像开口向上，
∴当时，
，
即，
∴该产品销售单价的范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并掌握二次函数的性质．
3．(2023·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系．
(1)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(2)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
答案:(1)70元
(2)售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元
分析：（1）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（2）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
（1）
解：，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为70元；
（2）
由题意可得，，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程与函数关系式是解题的关键．
4．(2023·福建·莆田二中九年级阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件，经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
(1)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件村杉应降价多少元？
(2)这次降价活动中，1920元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值．
答案:(1)40元
(2)不是最高日盈利，最高盈利值为2400元
分析：（1）设每件衬衫应降价x元，由题意得出关于x的一元二次方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设盈利为y元，由题意得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据x的取值范围并根据二次函数的性质可得出最大盈利，从而问题得解．
（1）
解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，可售出数量为件，由题意得：
，
解得：-120（舍去），40，
∴每件衬衫应降价40元．
（2）
这次降价活动中，1920元不是最高日盈利，理由如下：
设盈利为y元，由题意得：
，
∵，
∴当时，y取最大值，此时，
即最高日盈利为2400元．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
5．(2023·广东·佛山市华英学校三模）某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元千克）的变化而变化，具体关系式为：设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
(1)求与的关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，应将销售单价定为多少元？
答案:(1)；
(2)当销售单价定为85元时，可获得最大利润；
(3)将销售单价定为元时，可获得元的销售利润．
分析：（1）根据利润＝（售价－成本）×销售量列关系式即可；
（2）用配方法将函数解析式化成顶点式即可得出答案；
（3）令，求出的值即可．
（1）
解：由题意得：，
与的关系式为：；
（2）
解：∵，
当时，的值最大，
即当销售单价定为85元时，可获得最大利润；
（3）
解：当时，可得方程，
解得：，（不合题意，舍去），
将销售单价定为元时，可获得元的销售利润．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
6．(2023·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）某商场以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售100套服装，已知“线上”销售的每套利润为100元，“线下”销售的每套利润y（元）与销售量x（套）（20≤x≤60）之间的函数关系如图中的线段AB．
(1)求y与x之间的函数关系．
(2)当“线下”的销售利润为4350元时，求x的值．
(3)实际“线下”销售时，每套还要支出其它费用a元（0＜a＜20），若“线上”与“线下”售完这100套服装所获得的最大总利润为11200元，求a的值．
答案:(1)y=-0.5x+160（20≤x≤60）
(2)x的值为30
(3)=10
分析：（1）根据函数图象中的数据，可以计算出y与x之间的函数关系；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到x（-0.5x+160）=4350，然后求解即可；
（3）根据题意，可以得到利润w与m的函数关系式，再根据二次函数的性质，可以求得a的值．
（1）
解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，
∵点（20，150），（60，130）在该函数图象上，
∴
解得
即y与x的函数关系式为y=-0.5x+160（20≤x≤60）．
（2）
解：由题意可得，
xy=4350，
又∵y=-0.5x+160，
∴x（-0.5x+160）=4350，
解得=30，=290（舍去），
即x的值30．
（3）
解：设“线下”销售榴莲m箱，则“线上”销售榴莲（100-m）箱，总利润为w元，
由题意可得，w=m（-0.5m+160-）+100（100-m）=
该函数的对称轴为直线m=
∵0＜＜20，
∴40＜60-＜60，
∵“线上”与“线下”售完这100箱榴莲所获得的最大总利润为11250元，
∴当m=60-时，
解得=10，=110（舍去），
∴=10．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数关系式，利用数形结合的思想解答．
7．(2023·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）果农周大爷家的红心猕猴桃深受广大顾客的喜爱，猕猴桃成熟上市后，他记录了10天的销售数量和销售单价，其中销售单价（元/千克）与时间第天（为整数）的数量关系如图所示，日销量（千克）与时间第天（为整数）的部分对应值如表所示：
(1)请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)在这10天中，哪一天销售额达到最大，最大销售额是多少元？
答案:(1)p=20x+200（0＜x≤10且x为整数）
(2)y=
(3)在这10天中，第10天销售额达到最大，最大销售额是4000元
分析：（1）从表格中的数据上看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得p与x的函数关系式；
（2）是分段函数，利用待定系数法可得y与x的函数关系式；
（3）根据销售额=销量×销售单价，列函数关系式，并配方可得结论；
（1）
解：由表格规律可知：p与x的函数关系是一次函数，
∴设解析式为：p=kx+b,
把(1,220)和(3,260)代入得：
，
∴，
∴p=20x+200，
综上，p与x的函数关系式为：p=20x+200(0＜x≤10且x为整数)；
（2）
解：当0＜x≤8时，设AB的解析式为：，
把A(2,13)和B(8,10)代入得：
，
解得：，
∴AB的解析式为：y=-x+14(8＜x≤10的整数)；
综上，y与x（x为整数）的函数关系式为：y=；
（3）
解：设销售额为w元，
当0＜x≤8时，w=py=(-x+14)(20x+200)=-10+180x+2800=+3610，
∵x是整数且0＜x≤8，
∴当x=8时，w有最大值为： +3610=3600，
当8＜x≤10时，w=py=10（20x+200）=200x+2000，
∵x是整数，200＞0，
∴当8＜x≤10时，w随x的增大而增大，
∴当x=10时，w有最大值为：200×10+2000=4000，
∵3600＜4000,
∴在这10天中，第10天销售额达到最大，最大销售额是4000元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
8．(2023·内蒙古通辽·九年级期末）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，设这种水果每千克降价x元，解决下面所给问题：
(1)设该水果超市一天销量y千克，写出y与x之间的关系式；
(2)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果每千克降价多少元？
(3)设该水果超市一天可获利润w元．求当该商品每千克降价多少元时，该超市一天所获利润最大？并求最大利润值．
答案:(1)y=40x+160；
(2)这种水果每千克降价9元；
(3)当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．
分析：（1）根据“当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．”找出等量关即可．
（2）设这种水果每千克降价x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
（3）设该商品每千克降价x元，根据题意列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质和最值，即可得到答案．
（1）
解：根据题意，得y=160+120×，
即y=40x+160；
（2）
解：设这种水果每千克降价x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
，
整理，得，
解这个方程，得＝3，＝9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9．
答：这种水果每千克降价9元．
（3）
解：设该商品每千克降价x元，根据题意，得
=
=．
当x=6时，=4000．
答：当该商品每千克降价6元时，该超市一天所获利润最大，最大利润值为4000元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程和函数关系式．
9．(2023·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
答案:（1）20%；（2）6125000（元）
分析：（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
10．(2023·全国·九年级专题练习）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
答案:（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
分析：(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案.
【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得:，（舍去）.
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.
根据题意，得:，
解得:，
，
∵，
∴随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当时，最小，最小值为（万元）.
此时，.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.
11．(2023·湖北武汉·九年级期中）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
(1)请直接写出p与x之间的函数关系式：
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a＞0)的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．
答案:(1)
(2)这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大
(3)a的值为2．
分析：（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
（1）
解：由表格的数据可知：p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则，
解得：k=-30，b=1500，
∴p=-30x+1500，
∴所求的函数关系为p=-30x+1500；
（2）
解：设日销售利润w=p（x-30）=（-30x+1500）（x-30），
即，
∵-30