人教版九年级数学上册精品专题23.1旋转的概念与性质(第1课时)(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题23.1旋转的概念与性质(第1课时)(原卷版+解析)，共65页。
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）在以下生活现象中，属于旋转变换的是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客
D．地下水位线逐年下降
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
3．(2023·广东广州·模拟预测）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
4．(2023·全国·九年级专题练习）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河北保定·九年级期末）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
6．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．(2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A．B．C．D．
9．(2023·江苏南京·二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
10．(2023·全国·九年级单元测试）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．
11．(2023·全国·九年级专题练习）如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．
12．(2023·全国·九年级专题练习）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
13．(2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABF和△ADE经旋转后得到的，则可知旋转中心为___，旋转了___度，如果连接EF，那么△AEF是___三角形．
14．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的边长为3，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________．
15．(2023·黑龙江·虎林市东方红镇中学九年级阶段练习）如图，在平面内将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转90°到Rt△EFC，若AB=，BC=1，则BE的长为______．
16．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，），将线段AB绕点B逆时针旋转90°，点A落在点C处，那么点C的坐标为__．
三、解答题
17．(2023·江西吉安·九年级期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，边AB与相交于点E．求证：．
18．(2023·全国·九年级单元测试）如图，E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝4，DE＝4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
(1)旋转中心是 ，旋转角为 °．
(2)请你判断△DEF的形状，并说明理由；
(3)四边形DEBF的周长是 ，面积是 ．
19．(2023·全国·九年级单元测试）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．
(1)求证：平分；
(2)连接，求证：．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）
A．第一张、第二张
B．第二张、第三张
C．第三张、第四张
D．第四张、第一张
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG；②将△ABG沿某一直线对称可以得到△ADE；③将△ADE绕某一点旋转可以得到△DCF．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
3．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
4．(2023·江西上饶·九年级期末）如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，爱观察与思考的小明发现以下结论不正确的是（ ）
A．△ABC各边的中点都可通过网格确定；
B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13；
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形；
D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上．
二、填空题
5．(2023·河南·模拟预测）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个．
6．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为______．
7．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）已知平面直角坐标系内有一点P（，），连接，将线段绕着点逆时针旋转90度，点落在点的位置，则的坐标为________．
8．(2023·广西·都安瑶族自治县民族实验初级中学九年级阶段练习）如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE．则∠DAE＝___度．
9．(2023·浙江杭州·一模）两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝______．
三、解答题
10．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，请你尺规作图在图中标记旋转中心P的位置，并说出P的坐标．
11．(2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
12．(2023·全国·九年级专题练习）如图，和都是等边三角形.
（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；
（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
13．(2023·北京市广渠门中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
14．(2023·全国·九年级单元测试）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
(1)求证：△BDE≌△BCE；
(2)试判断四边形ABED的形状．并说明理由．
15．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点．
(1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点；
(2)旋转角的度数是______；
(3)求的面积．
16．(2023·甘肃·张掖育才中学九年级期末）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ．
拓展延伸：
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
17．(2023·全国·九年级课时练习）定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．
18．(2023·北京四中九年级开学考试）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．
(1)在图1中补全图形；
(2)①求证：EF＝CF．
②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；
(3)若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为______．
19．(2023·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．
(1)如图1，当点D在边BC上时，BD＝，且AD＝2，则AB＝______；
(2)如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADB＝45°，请你证明线段CD与AD的数量关系；
(3)）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出△PAB面积的最大值______．
20．(2023·湖北·武汉市武珞路中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长．
21．(2023·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
(1)如图，求证：≌；
(2)直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
22．(2023·湖南·长沙市华益中学九年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于A、B两点，点P为线段AB的中点．
(1)直接写出点P的坐标：
(2)如图1，点C是x轴正半轴上的一动点，过点P作交y轴正半轴于点D，连接CD，点M、N分别是CD、OB的中点，连接MN．求的度数；
(3)如图2．点Q是x轴上的一个动点．连接PQ．把线段PQ绕点Q逆时针旋转90°至线段QT，连接PT、OT．当的值最小时，求此时点T的坐标．
23．(2023·山西吕梁·九年级期末）阅读下面材料：
张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你计算图1中的度数；
(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数．
24．(2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E
(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0°＜≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG(如图3)；
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜＜180°时(如图4)，等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
23.1旋转的概念与性质（第1课时）（作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）在以下生活现象中，属于旋转变换的是（ ）
A．钟表的指针和钟摆的运动
B．站在电梯上的人的运动
C．坐在火车上睡觉的旅客
D．地下水位线逐年下降
答案:A
分析：根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动都是旋转变换，故本选项正确；
B、站在电梯上的人的运动属于平移现象，故本选项错误；
C、坐在火车上睡觉，属于平移现象，故本选项错误；
D、地下水位线逐年下降属于平移现象，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题是考查图形的平移、旋转的意义．图形平移与旋转的区别在于图形是否改变方向，平移图形不改变方向，旋转图形改变方向；旋转不一定作圆周运动，象钟摆等也属于旋转现象．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
答案:C
分析：直接利用已知得出∠AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．
【详解】∵∠AOB= 30°，∠BOC = 10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴最小旋转角为∠AOC = 40°．
故选： C．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
3．(2023·广东广州·模拟预测）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A．30°B．45°C．90°D．135°
答案:D
分析：利用旋转的性质得到∠AOC为旋转角，然后利用∠AOB＝45°得到∠AOC的度数即可．
【详解】解：∵△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，
∴∠AOC为旋转角，
∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝45°+90°=135°，即旋转角为135°．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
4．(2023·全国·九年级专题练习）依次观察三个图形：，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据图形规律可知，从左到右是依次顺时针旋转图形，据此即可求解．
【详解】解：由图形规律可得从左到右是依次顺时针旋转图形，
∴第四个图形是D．
故答案为：D
【点睛】本题考查了旋转的性质，根据三个图形找出旋转的规律是解题关键．
5．(2023·河北保定·九年级期末）如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
答案:B
分析：连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．
【详解】如图，
∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，以及旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
6．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案:D
【详解】试题分析：根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD． ∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC， ∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE， ∴∠ACD=120°﹣60°=60°， ∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，AC=AD=DE=CE， ∴四边形ACED是菱形，
∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD， ∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，∴①②③都正确
考点：(1)、旋转的性质；(2)、等边三角形的性质；(3)、菱形的判定．
7．(2023·全国·九年级课时练习）如图，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在平面内，可作为旋转中心的点个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:C
【详解】可以绕点D,点C,线段CD的中点旋转，
故选C.
8．(2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向．
【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置．
9．(2023·江苏南京·二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
答案:A
分析：利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可．
【详解】解：将菱形ABCD向右平移至点B与点G重合，然后以点G为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；故①符合题意；
将菱形ABCD向右平移至点C与点F重合，然后以过点F的垂线为对称轴翻折即可得到菱形AEFG；故②符合题意；
将菱形ABCD以点A为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；
设直线BD、GE相交于点O，将菱形ABCD以点O为旋转中心旋转即可得到菱形AEFG；
但旋转中心只有点A和点O两个个，故③不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
10．(2023·全国·九年级单元测试）一个正五角星绕着它的中心至少旋转_________度能与自身重合．
答案:72
分析：该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．
故答案为：72
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
11．(2023·全国·九年级专题练习）如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P1AC，则∠PAP1等于________度．
答案:60
分析：利用旋转的性质即可得出答案．
【详解】解：∵ △ABC是正三角形，
∴，
由旋转的性质可知，∠PAP1．
故答案为：60．
【点睛】本题考查正三角形的性质和旋转的性质，由旋转的性质得出∠PAP1是解题的关键．
12．(2023·全国·九年级专题练习）如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转______°后能与原来的图形重合．
答案:60
分析：根据旋转的性质可进行求解．
【详解】解：由题意可知该六边形是正六边形，则可知正六边形每条边所对的圆心角为60°，所以该六边形绕点O至少旋转60°后能与原来的图形重合；
故答案为60．
【点睛】本题主要考查旋转的性质及正多边形，熟练掌握旋转的性质及正多边形是解题的关键．
13．(2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABF和△ADE经旋转后得到的，则可知旋转中心为___，旋转了___度，如果连接EF，那么△AEF是___三角形．
答案: 点A 90 等腰直角
分析：由旋转的性质可得旋转中心点，旋转角度，然后问题可求解．
【详解】解：如图，
∵△ABF是△ADE的旋转图形，
∴旋转中心是点A；
∵∠DAB＝90°，且AD与AB是对应边，
∴旋转了90°，
∵AE＝AF，∠FAE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
故答案为：点A，90，等腰直角．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的边长为3，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________．
答案:2.5
分析：由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=4-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为FM的长．
【详解】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，
∵EB=AB-AE=3-1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
即，
解得：x=2.5，
∴FM=2.5．
故答案为：2.5．
【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
15．(2023·黑龙江·虎林市东方红镇中学九年级阶段练习）如图，在平面内将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转90°到Rt△EFC，若AB=，BC=1，则BE的长为______．
答案:3
分析：由勾股定理可得AC=2，由旋转的性质可得CE=AC=2，即可求解．
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=，BC=1，
∴AC==2，
∵Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，
∴CE=AC=2，
∴BE=BC+CE=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是明确旋转前后对应边相等．
16．(2023·全国·九年级课时练习）如图，在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，），将线段AB绕点B逆时针旋转90°，点A落在点C处，那么点C的坐标为__．
答案:（，﹣2）##
分析：如图，过点C作CH⊥OB于H．利用全等三角形的性质求出OH，CH，可得结论．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥OB于H．
∵A（﹣2，0），B（0， ），
∴OA＝2，OB＝，
∵∠AOB＝∠CHB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴OA＝BH＝2，OB＝CH＝，
∴OH＝OB﹣BH＝﹣2，
∴C（ ，﹣2）．
故答案为：（，﹣2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题
17．(2023·江西吉安·九年级期末）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，点C的对应点恰好落在CB的延长线上，边AB与相交于点E．求证：．
答案:见解析
分析：如图，连接AC，，根据矩形的性质可得，根据旋转的性质可得，由三线合一定理即可得到．
【详解】证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，即．
由旋转，得，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，三线合一定理，熟练掌握三线合一定理是解题的关键
18．(2023·全国·九年级单元测试）如图，E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝4，DE＝4.3，△DAE逆时针旋转后能够与△DCF重合．
(1)旋转中心是 ，旋转角为 °．
(2)请你判断△DEF的形状，并说明理由；
(3)四边形DEBF的周长是 ，面积是 ．
答案:(1)D，90
(2)等腰直角三角形，见解析
(3)16.6，16
分析：（1）由旋转变换的性质判断即可；
（2）结合（1）中所得可知DE=DF，∠EDF=90°，据此即可对△DFE的形状进行判断；
（3）结合图形，利用全等三角形的性质和图中线段之间的关系不难得到四边形DEBF的周长为AB+BC+DF+DE，面积等于正方形ABCD的面积，再联系已知条件即可使问题得到解答．
（1）
解：观察图形，根据题意易得旋转中心是点D，且△ADE≌CDF．
∴∠ADE=∠CDF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴旋转中心是点D，旋转角为90°．
故答案为：D，90；
（2）
结论：△DFE是等腰直角三角形．
理由：∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴△DFE是直角三角形．
∵DE=DF，△DFE是直角三角形，
∴△DFE是等腰直角三角形；
（3）
解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=BC=4．
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，CF=AE．
∵BE=AB-AE，BF=BC+CF，AE=CF，
∴BE+BF=AB+BC．
∵DE=DF，DE=4.3，BE+BF=AB+BC，AB=BC=4，
∴DE+DF+BF+BE=16.6．
则四边形DEBF的周长为16.6，
∵△ADE≌△CDF，
∴，
∴，
∵AB=4，
∴=16．
=16．
故答案为：16.6，16．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
19．(2023·全国·九年级单元测试）如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．
(1)求证：平分；
(2)连接，求证：．
答案:(1)证明见解析
(2)证明见解析
分析：（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论．
（2）根据旋转性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．
（1）
证明：由旋转性质可知：
平分
（2）
证明：如图所示：
由旋转性质可知：
即
在中，
即
【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（ ）
A．第一张、第二张
B．第二张、第三张
C．第三张、第四张
D．第四张、第一张
答案:A
【详解】试题解析：观察两个图中可以发现，所有图形都没有变化，所以旋转的扑克是成中心对称的第一张和第二张．
故选A．
考点：中心对称图形．
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边CD，BC上，点G在CB的延长线上，DE＝CF＝BG．下列说法：①将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG；②将△ABG沿某一直线对称可以得到△ADE；③将△ADE绕某一点旋转可以得到△DCF．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
答案:C
分析：由正方形的性质和已知条件可以得到△ADE≌△DCF、△ADE≌△ABG、△ABG≌△DCF，然后根据图形变换的知识可以对各选项的正误作出判断．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADE＝∠DCB＝90°，
又∵DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
同理可得：△ADE≌△ABG，△ABG≌△DCF，
∴将△DCF沿某一直线平移可以得到△ABG，故①正确；
将△ABG绕点A旋转可以得到△ADE，故②错误；
将△ADE绕线段AD，CD的垂直平分线的交点旋转可以得到△DCF，故③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查正方形性质和图形变换的综合应用，根据全等三角形的性质和图形变换的知识解题是关键所在．
3．(2023·北京·人大附中九年级阶段练习）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
答案:D
分析：连接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，则有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等边三角形，当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，此时＝•（+1）＝1+，α＝150°．
【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、．
∵O是等边三角形△ABC是中心，
∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，
∵∠BA ＝∠AC＝α，
∴∠OA＝∠OC，
在△OA和△OC中，
，
∴△OA≌△OC（SAS），
∴∠AO＝∠CO，O＝O，
∴∠O＝∠AOC＝120°，
同理可证∠O＝∠O＝120°，O＝O，
则有△O≌△O≌△O，
∴＝＝，
∴△是等边三角形，
在△O中，
∵∠O＝120°，O＝O，
∴当O最长时，最长，
∵O≤OC+C，
∴当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，
此时＝•（+1）＝1+，α＝150°，
∴△的周长的最大值为3+3．
故选：D
【点睛】本题考查旋转变换、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、最大值问题等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定，学会利用三角形的三边关系解决最大值问题．
4．(2023·江西上饶·九年级期末）如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，爱观察与思考的小明发现以下结论不正确的是（ ）
A．△ABC各边的中点都可通过网格确定；
B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13；
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形；
D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上．
答案:B
分析：将△ABC绕着边的中点旋转180°后根据选项依次作答．
【详解】解：将△ABC绕着边的中点旋转180°后如图，
A．△ABC各边的中点都可通过网格确定，正确；
B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为⊙O的面积
S= ，故B错误；
C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形，正确；
D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上，正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
5．(2023·河南·模拟预测）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个．
答案:2．
分析：根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
6．(2023·全国·九年级专题练习）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为______．
答案:
分析：根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可．
【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是
依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020，
的坐标是，
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．
7．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级阶段练习）已知平面直角坐标系内有一点P（，），连接，将线段绕着点逆时针旋转90度，点落在点的位置，则的坐标为________．
答案:
分析：先画出符合题意的图形，过分别作轴，轴，垂足分别为 再证明利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：
过分别作轴，轴，垂足分别为
则
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，利用数形结合的方法解题是关键．
8．(2023·广西·都安瑶族自治县民族实验初级中学九年级阶段练习）如图所示，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE．则∠DAE＝___度．
答案:60
分析：根据△ABC是等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB=6，根据D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转得到△ACE，得到△ACE≌△ABD，推出∠CAE=∠BAD，推出∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．
【详解】∵等边△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB=6，且D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠CAE=∠BAD，
∴∠DAE=∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了等边三角形，旋转，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的边角性质，旋转图形全等性．
9．(2023·浙江杭州·一模）两块全等的等腰直角三角板如图放置，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，当点D落在直线AB上时，若BC＝2，则AD＝______．
答案:或
分析：作直线AE，则AE⊥BC；设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0），则直线AB为：y=x+1，设D点（a，a+1），利用D、E两点的距离公式求得D点坐标，再求A、D两点距离即可解答；
【详解】解：如图，作直线AE，
△ABC是等腰直角三角形，E是BC中点，∴AE⊥BC，
∵BC=2，∴BE=1，AE=1，AB==，
∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=，
设E点为坐标原点，则A（0，1），B（-1，0），
设AB所在的直线为：y=kx+b，代入A，B坐标可得直线为：y=x+1，
D点在直线AB上，设D点（a，a+1），由两点距离公式可得：
DE==，
，解得：a=
∴D点坐标为（，）（在BA延长线上），
或（，）（在AB延长线上），
A点坐标（0，1），
∴AD==，
或AD==，
故答案为：或；
【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，勾股定理，通过建立坐标系构造一次函数求得D点坐标是解题关键．
三、解答题
10．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，请你尺规作图在图中标记旋转中心P的位置，并说出P的坐标．
答案:图见解析，点
分析：对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】作线段AB，线段CD，作线段AB的垂直平分线MN，线段CD的垂直平分线EF，直线MN交直线EF于点P，点P即为旋转中心，
如图所示，可知旋转中心，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
11．(2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
答案:(1)点A
(2)90°
(3)等腰直角三角形
分析：（1）可以根据图形判断点为旋转中心；
（2）根据对应边、的夹角等于旋转角可以求解；
（3）根据旋转的性质可得：，，根据等腰直角三角形的定义判定即可判断．
（1）
解：由题意可判断旋转中心为点；
（2）
解：四边形是正方形，
，
旋转角为；
（3）
解：由旋转的性质得：，，
故是等腰直角三角形 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，解题的关键是熟记性质并准确识图．
12．(2023·全国·九年级专题练习）如图，和都是等边三角形.
（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；
（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
答案:（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3）
分析：(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【详解】(1)∵和都是等边三角形，
∴和是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.
13．(2023·北京市广渠门中学九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
答案:(1)证明见解析
(2)8
分析：（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论．
（1）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，
∴∠ABF=，
在△ABF与△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
（2）
解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=，
∴∠FAE=，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∴△AEF的面积=．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
14．(2023·全国·九年级单元测试）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
(1)求证：△BDE≌△BCE；
(2)试判断四边形ABED的形状．并说明理由．
答案:(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
分析：（1）根据性质的性质可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，继而求得∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°，根据SAS证明△BDE≌△BCE；
（2）由△BDE≌△BCE，得出DE＝CE，继而得出AB＝EB＝DE＝AD，即可得出结论．
（1）
解：证明：∵由旋转可知，AB＝EB，AD＝EC，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠DBE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠EBC＝∠DBE＝30°，
在△BDE和△BCE中，
，
∴△BDE≌△BCE．（SAS）．
（2）
结论：四边形ABDE是菱形．
理由：∵△BDE≌△BCE，
∴DE＝CE，
∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC，
∴AB＝EB＝DE＝AD，
∴四边形ABED是菱形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，掌握性质的性质是解题的关键．
15．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点．
(1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点；
(2)旋转角的度数是______；
(3)求的面积．
答案:(1)见解析
(2)90°
(3)
分析：（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
（2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°；
（3）利用割补法即可求面积．
（1）
如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求；
（2）
如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°，
故答案为；
（3）
．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质．
16．(2023·甘肃·张掖育才中学九年级期末）如图1，在正方形ABCD中，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是将△ABE绕A点旋转90°使得B与D重合，连接AG，由此得到 ，再证明 ，可得出结论，他的结论应是 ．
拓展延伸：
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点G，H在边AC上，且∠GBH＝45°，写出图中线段AG，GH，CH之间的数量关系并证明．
答案:（1）BE=DG，EF=FG，EF=BE+DF；（2）GH2=AG2+CH2，证明见解析．
分析：（1）结论：EF=BE+DF．证明△AFE≌△AFG（SAS）即可解决问题．
（2）结论：GH2=AG2+CH2．将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．证明∠MAG=90°，△BGH≌△BGM（SAS）即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF．
由旋转的性质可知：DG=BE，∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠FAG=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DF+DG=DF+BE，
∴EF=BE+DF．
（2）结论：GH2=AG2+CH2．
如图：将△BCH绕点B逆时针旋转90°得到△BAM．
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°，
由旋转的性质可知：BH=BM，∠C=∠BAM=45°，∠ABM=∠CBH，
∴∠MAG=∠BAM+∠BAC=90°，
∵∠HBG=45°，
∴∠GBM=∠ABG+∠ABM=∠ABG+∠CBH=90°-∠HBG=45°，
∴∠HBG=∠MBG，
∵BG=BG，
∴△BGH≌△BGM（SAS），
∴GH=GM，
∵∠MAG=90°，
∴AM2+AG2=GM2，
∴GH2=AG2+CH2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考常考题型．
17．(2023·全国·九年级课时练习）定义：若二次函数的图象记为，其顶点为，二次函数的图象记为，其顶点为，我们称这样的两个二次函数互为“反顶二次函数”．
分类一：若二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，我们就称它们互为“反顶伴侣二次函数”．
(1)所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
(2)试求出的“反顶伴侣二次函数”．
(3)若二次函数与互为“反顶伴侣二次函数”，试探究与的关系，并说明理由．
(4)分类二：若二次函数可以绕点M旋转180°得到二次函数；，我们就称它们互为“反顶旋转二次函数”．
①任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”是______命题．（填“真”或“假”）
②互为“反顶旋转二次函数”的对称中心点M有什么特点？
③如图，，互为“反顶旋转二次函数”，点E，F的对称点分别是点Q，G，且轴，当四边形EFQG为矩形时，试探究二次函数，的顶点有什么关系．并说明理由．
答案:(1)假
(2)
(3)见解析
(4)①真；②见解析；③见解析
分析：（1）根据题意举反例验证求解即可；
（2），则“反顶伴侣二次函数”为，再将（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；
（3）根据题意，分别表示出过顶点坐标的函数解析式，进行相加化简即可得出结果；
（4）①由旋转的性质，找到对称中心M，可知对于任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”；
②利用A，B坐标求出中点M的坐标，进而得出结论；
③根据矩形的性质和平行的性质，得出AB∥y轴，进而得出A，B点的坐标均为（h，h），最后得出结论．
(1)
解：令的顶点坐标A为（1，4），开口向上，则的顶点坐标B为（4，1），
此时C1不经过B（4，1），
∴所有二次函数都有“反顶伴侣二次函数”是假命题．
故答案为：假．
(2)
解：，则“反顶伴侣二次函数”为，
由题意，得将（2，1）代入，得
，
解得a=-1，
∴的“反顶伴侣二次函数”为．
(3)
解：∵二次函数经过的顶点B，且经过的顶点A，
∴①，
②，
①+②，得，
当h=k时，与任意非零实数；
当h≠k时，=0．
(4)
解：①如图
∵A，B的中点为M，
∴对称中心为M，
∴任意二次函数都有“反顶旋转二次函数”．
故答案为：真；
②∵M为A，B的中点，
∴M的坐标为，
即M在直线y=x上．
③解：∵轴，四边形EFQG为矩形，
∴AB∥y轴，
∴h=k，
即A，B的坐标均为（h，h），
∴A，B两点重合在直线y=x上．
【点睛】本题考查二次函数的性质，以及矩形的性质，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键．
18．(2023·北京四中九年级开学考试）在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F．
(1)在图1中补全图形；
(2)①求证：EF＝CF．
②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明；
(3)若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为______．
答案:(1)补全图形见解析
(2)①见解析；②CP﹣CD＝CE，证明见解析
(3)CE＝（CD−CP）或CE＝（CD+CP）
分析：（1）根据题意补全图形即可；
（2）①根据正方形和垂直性质，证明，进而推出PB=EF，AB=PF，即可得出结论；
②利用全等三角形性质和等腰三角形性质，即可得出结论；
（3）①当点P在线段BC上时，在BA上截取BM=BP，得到是等腰直角三角形，再根据正方形和旋转性质，证明，得出CE=PM，即可得出结论；
②当点P在线段BC的延长线上时，在BA上截取BM=BP，则是等腰直角三角形，PM=BP，再根据正方形和旋转性质，证明，得出CE=PM，即可得出结论．
（1）
解：补全图形如图1所示：
（2）
①证明：如图1所示
∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，
∴PA＝PE，∠APE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，
∵EFBC于F，
∴∠PFE＝90º＝∠ABP，
∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，
∴∠APB＝∠PEF，
在△APB和△PEF中，
，
∴△APB≌△PEF（AAS），
∴PB＝EF，AB＝PF，
∵AB＝BC，
∴BC＝PF，
∴PB＝CF，
∴EF＝CF；
②解：结论：CP﹣CD＝CE．
理由：∵CD＝CB，
∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，
∵EF＝CF，∠CFE＝90°，
∴CF＝CE，
∴CP﹣CD＝CE；
（3）
（3）解：分两种情况：
①当点P在线段BC上时：CE＝（CD﹣CP），理由如下：
在BA上截取BM＝BP，连接PM．
则△PBM是等腰直角三角形，
∴PM＝PB，∠BMP＝∠BPM＝45°，
∵AB＝BC，
∴AM＝PC，
由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，
∴∠APM+∠CPE＝180﹣90°﹣45°＝45°，
又∵∠MAP+∠APM＝∠BMP＝45°，
∴∠MAP＝∠CPE，
在△PCE和△AMP中，
，
∴△PCE≌△AMP（SAS），
∴CE＝PM，
∵CD﹣PC＝BC﹣PC＝BP，
∴CE＝PM＝BP＝（CD﹣CP）；
②当点P在线段BC的延长线上时，CE＝（CD+CP），理由如下：
在BA上截取BM＝BP，连接PM，如图4所示：
则△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠DAM＝∠BAD＝90°，ADBC，
∴AM＝PC，∠DAP＝∠APB，
由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，
∴∠PAM＝∠EPC，
在△PCE和△AMP中，
，
∴△PCE≌△AMP（SAS），
∴CE＝PM，
∵CD+CP＝BC+CP＝BP，
∴CE＝PM＝BP＝（CD+CP）；
故答案为：CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP）．
【点睛】本题考查的是四边形的综合题目，熟练掌握旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形，灵活运用所学知识是解题关键．
19．(2023·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为平面内的一点．
(1)如图1，当点D在边BC上时，BD＝，且AD＝2，则AB＝______；
(2)如图2，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC﹣∠ADB＝45°，请你证明线段CD与AD的数量关系；
(3)）如图3，若AB＝4，当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），直线BD与CE的交点为P，连接PA，直接写出△PAB面积的最大值______．
答案:(1)；
(2)CD＝AD，证明见解析；
(3)．
分析：（1）将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE交AB于F，由折叠的性质可知△ABD≌△ABE，AB垂直平分DE，进一步可证明△BDE是等腰直角三角形，求出BF＝DE＝1，证明△ADE是等边三角形，进一步求出AF＝，即可求出AB＝AF+BF＝+1；
（2）过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE、CE，CE交BD于O，AC与BD交于点H，证明△BAD≌△CAE（SAS），得到∠ABD＝∠ACE，再证明△ADE是等腰直角三角形，得到ED＝AD，证明△DOC≌△DOE（ASA），得到CD＝DE，即可证明CD＝AD；
（3）过点P作PG⊥AB于点G，当直线CE与该圆相切于点E时，△PAB的面积最大，求出PG的最大值即可求出答案．
（1）
解：如图1，将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，连接DE交AB于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵将△ABD沿AB折叠，得到△ABE，
∴△ABD≌△ABE，AB垂直平分DE，
∴AE＝AD＝2，BE＝BD，∠ABE＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE，
∴∠DBE＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BD＝2，BF＝DE＝1，
∴AE＝DE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，DF＝EF＝DE＝1，
∴AF＝＝＝，
∴AB＝AF+BF＝+1，
故答案为：+1；
（2）
解：CD＝AD，理由如下：
如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE、CE，CE交BD于O，AC与BD交于点H，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在和中
，
∴，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠AHB＝90°，∠CHO＝∠AHB，
∴∠ACE+∠CHO＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵AE＝AD，∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，ED＝AD，
∵∠BDC﹣∠ADB＝45°，
∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDB，
在和中
，
∴，
∴CD＝DE，
∴CD＝AD；
（3）
解：过点P作PG⊥AB于点G，如图3，
∵△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴D、E两点在以点A为圆心，AD为半径的圆上，
当直线CE与该圆相切于点E时，△PAB的面积最大，
∵CP是圆A的切线，
∴AE⊥CP，
∵∠AED＝45°，
∴∠DEP＝45°，
∴∠DEP＝∠ADE＝45°，
∴，
∴DP⊥CP，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴四边形AEPD为正方形，
∴∠ADB＝90°，PD＝AD＝AB＝2，
∵BD＝＝＝2，
∴BP＝BD﹣PD＝2﹣2，
∵AD⊥BD，AD＝AB，
∴∠ABD＝30°，
∵PG⊥AB，
∴，
∴△PAB面积的最大值，
故答案为：．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，旋转的性质，折叠的性质，作出辅助线是解本题的关键．
20．(2023·湖北·武汉市武珞路中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长．
答案:DE＝3﹣3．
分析：将绕点A逆时针旋转120°得到，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB＝AC、，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，通过解直角三角形求出的长度以及证明全等找出，设，则， ，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出以及的值；
【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示：
过点作于点，如图，
∵，，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
设，则，
在中，，
＝x，
∴，
∴，
∴，
答：的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程以及旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．
21．(2023·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
(1)如图，求证：≌；
(2)直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
答案:(1)见解析
(2)①见解析②
分析：根据证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
（1）
证明：四边形是正方形，
，．
，．
，
，
在和中，

≌；
（2）
证明：如图中，设与相交于点．

，
．
≌，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，．
．
又，
≌．
．
矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，

∵
∴≌．
．
，，
最大时，最小，．
．
由可知，是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．(2023·湖南·长沙市华益中学九年级阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于A、B两点，点P为线段AB的中点．
(1)直接写出点P的坐标：
(2)如图1，点C是x轴正半轴上的一动点，过点P作交y轴正半轴于点D，连接CD，点M、N分别是CD、OB的中点，连接MN．求的度数；
(3)如图2．点Q是x轴上的一个动点．连接PQ．把线段PQ绕点Q逆时针旋转90°至线段QT，连接PT、OT．当的值最小时，求此时点T的坐标．
答案:(1)
(2)135°
(3)
分析：（1）根据中点坐标公式，即可求解；
（2）连接PO、PN、PM，过M作于Q，先证明≌，可得．可得，再由，P是AB的中点，可得，可证得，从而得到，进而得到，即可求解；
（3）作轴于点Q，于点G，于点H，可证得≌，可得到PQ=QT，PG=HQ，再证得点T在直线上，设直线与y轴交于点K，则，然后过点K作轴，过点A作轴交于点，连接，可证得四边形为正方形，从而得到，可得到当点P、T、三点共线时，最小，即最小，最小值为，再求出直线的解析式，然后与直线的解析式联立，即可求解．
（1）
解：当x=0时，y=4，
当y=0时，x=-4，
∴点A（-4，0），B（0，4），
∵点P为线段AB的中点．
∴点P的坐标为，即（-2，2）；
（2）
解：连接PO、PN、PM，过M作于Q，
∵，
∴，
∴，
∵，P是AB的中点，
∴，，
∴，
∴≌，
∴．
∵M是CD的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵P、N分别是AB、BO的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）
解：作轴于点Q，于点G，于点H，
根据题意得：PQ=TQ，∠PQT=90°，
∴∠TQH+∠PQG=90°，
∵，，
∴∠PGQ=∠THQ=90°，
∴∠TQH+∠QTH=90°，
∴∠PQG=∠QTH，
∴≌，
∴PQ=QT，PG=HQ，
设，
∵P（-2，2），
∴点G（a，2），
∴QG=2，
当时，，，
∴，即；
当时，，，
∴，即；
∴点T在直线上，
当y=0时，x=-4，
∴直线与x轴交于点A，
设直线与y轴交于点K，则，
∴OK=OA=4，
∵∠AOK=90°，
∴，
过点K作轴，过点A作轴交于点，连接，
∴四边形为矩形，
∵OA=OK，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
根据正方形的轴对称性得：，
∴，
当点P、T、三点共线时，最小，即最小，最小值为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，解得：，
∴点T的坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，正方形的判定和性质是解题的关键．
23．(2023·山西吕梁·九年级期末）阅读下面材料：
张明同学遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且，，，求的度数．
张明同学是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
(1)请你计算图1中的度数；
(2)参考张明同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，，求的度数．
答案:(1)
(2)
分析：（1）将△APB逆时针旋转60°得到△AP′C，根据旋转的性质可知△ABP≌△ACP′，求证△APP′为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理得出∠PP′C=90°，即可求出∠AP′C=∠APB=150°；
（2）将△APB绕点A顺时针旋转90°，根据旋转的性质可知是等腰直角三角形，求证∠APP′=45°，用勾股定理逆定理求出∠P′PB=90°，最后求出∠APB=∠P'PB+∠APP'=135°即可．
（1）
（1）如图2，把绕点A逆时针旋转60°得到，
由旋转的性质，，，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，∴，
∴；
∴；
（2）
如图3，把绕点逆时针旋转90°得到，
由旋转的性质，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理的运用，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造直角三角形是解答的关键.
24．(2023·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E
(1)小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
(2)当0°＜≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF(如图2)；
小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG(如图3)；
请你从中任选一种方法进行证明；
(3)小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜＜180°时(如图4)，等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)仍然成立，证明见解析
分析：(1)根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
(2)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明；
(3)成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．当135°