人教版九年级数学上册精品专题23.2.1中心对称(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题23.2.1中心对称(原卷版+解析)，共40页。
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，数轴上点A与点B关于原点对称，则m＝（ ）.
A．2B．－2C．D．
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点O是▱ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．无法确定
二、填空题
3．(2023·全国·九年级单元测试）如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称，若OB=4，则OE的长为______．
4．(2023·云南昭通·九年级期末）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校3公里，那么他们两家相距_____公里．
5．(2023·全国·九年级专题练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
三、解答题
6．(2023·全国·九年级专题练习）如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．
7．(2023·安徽淮南·九年级阶段练习）画出下列图形关于点O的中心对称图形．
8．(2023·广西桂林·一模）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
(1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；
(2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
9．(2023·北京市广渠门中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为，，．
(1)将△OAB绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
(2)△OAB关于点O中心对称得到，点B的对称点为．画出中心对称后的图形，并写出点的坐标．
10．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）．
(1)直接写出点B关于点C对称的点的坐标：___________；
(2)平移△ABC，使平移后点A的对应点的坐标为（2，1），请画出平移后的△；
(3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△．
11．(2023·吉林吉林·九年级期末）已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5，4)、B(0，3)、(2，1)
(1)画出△ABC 关于原点成中心对称的△；
(2)画出将△ 绕点 按顺时针旋转90°所得的，并写出点的坐标
12．(2023·全国·九年级单元测试）如图，点A、B、C都在网格格点上，三个顶点的坐标分别为．
(1)经过平移得到，点A、B、C的对应点分别为、、，中任意一点平移后的对应点为．请在图中作出；
(2)请在图中作出关于原点O对称的，点A、B、C的对应点分别为、、．
13．(2023·全国·九年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
(1)填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 三角形．
(2)四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
14．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的顶点A、B、C在边长为1的方格格点上，画关于点O中心对称的．
15．(2023·全国·九年级专题练习）已知：如图，△ABC绕着某点顺时针旋转一定角度后得到；点A，B，C分别对应点，，．
(1)根据点和的位置画出旋转中心O；
(2)请在图中画出；
(3)请在图中画出△ABC关于（1）问中点O对称的．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·广西河池·二模）如图，把放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，经正方形的对称中心点，且点是的中点，下面说法：①若，则；②若，则；③若，，，则，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
4．(2023·全国·九年级课时练习）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
二、解答题
5．(2023·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC的位置如图．
(1)将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
(2)以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2，并标明对应字母；
(3)△ABC和△A2B2C2关于点P中心对称，请直接写出点P的坐标________．
6．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△；
(2)画出与△ABC关于原点对称的△，并写出的坐标．
7．(2023·宁夏·中考真题）如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
(1)画出该平面直角坐标系；
(2)画出线段关于原点成中心对称的线段；
(3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
8．(2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，已知，，．
(1)画出旋转后的△A1B1C1；直接写出点B1的坐标（ ， ）；绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
9．(2023·全国·九年级专题练习）如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
(1)请画出ABC关于原点对称的A1B1C1；
(2)请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A2B2C2，并写出A2的坐标．
10．(2023·广东广州·九年级期末）如图，已知△ABC中，BD是中线．
(1)尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD．
(2)猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由．
11．(2023·湖北荆州·九年级期末）如图，在边长为1的6×6的小正方形网格图中，点A，B均在格点上．
(1)求出线段AB的长度；
(2)用无刻度直尺作出以AB为斜边，直角顶点在格点上的所有格点直角三角形，用字母标出直角顶点，并计算出面积最大的格点直角三角形的面积；
(3)用无刻度直尺作出（2）中其中一个面积最大的直角三角形以A为对称中心的中心对称图形．
12．(2023·全国·九年级课时练习）在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分．
（1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）．
（2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有 条？
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是 ；
（4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长．
23.2.1 中心对称（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级课时练习）如图，数轴上点A与点B关于原点对称，则m＝（ ）.
A．2B．－2C．D．
答案:B
分析：根据数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，即可求出m的值．
【详解】解：已知A表示的数是2，
∵数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，
∴点B表示的数是-2．
∴m=-2，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上两点关于原点对称的点互为相反数，比较简单．
2．(2023·全国·九年级课时练习）如图，点O是▱ABCD的对称中心，EF是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成两部分，四边形ABFE和四边形EFCD的面积分别记为S1，S2，那么S1，S2之间的关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．无法确定
答案:C
分析：根据已知可得S△BOF=S△DOE，再由对角线的性质可得，即可得出，由此可知．
【详解】点O是▱ABCD的对称中心
OB=OD，AD∥BC
∠ADB=∠CBD
在△BOF和△DOE中

△BOF△DOE
S△BOF=S△DOE
BD是▱ABCD的对角线


故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的突破口是由对角线的性质得出．
二、填空题
3．(2023·全国·九年级单元测试）如图，△ABC和△DEF关于点O中心对称，若OB=4，则OE的长为______．
答案:4
分析：利用中心对称图形的性质解决问题即可．
【详解】解：∵△ABC和△DEF关于点O中心对称，
∴点B与点E关于点O中心对称，
∴OB=OE，
∵OB=4，
∴OE=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查中心对称等知识，解题的关键熟练掌握中心对称的性质．用到的知识点：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
4．(2023·云南昭通·九年级期末）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校3公里，那么他们两家相距_____公里．
答案:6
分析：根据中心对称图形的性质，得出小明、小辉两家到学校距离相等，即可得出答案．
【详解】解：∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，
∴小明、小辉两家到学校距离相等，
∵小明家距学校3公里，
∴他们两家相距：6公里．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据已知得出小明、小辉两家到学校距离相等是解决问题的关键．
5．(2023·全国·九年级专题练习）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
答案:12
分析：如图，根据题意和中心对称的性质可知图形①与图形②面积相等，即阴影部分的面积之和与矩形ABOE的面积相等，求出矩形ABOE的面积即可．
【详解】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝矩形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查中心对称的性质，矩形的判定和性质．根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积之和与矩形ABOE的面积相等是解题关键．
三、解答题
6．(2023·全国·九年级专题练习）如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．
答案:见解析.
分析：根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.
【详解】连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，
则点O即为对称中点．
【点睛】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.
7．(2023·安徽淮南·九年级阶段练习）画出下列图形关于点O的中心对称图形．
答案:见解析
分析：分别作出三个顶点关于点O的对称点，再首尾顺次连接即可．
【详解】解：如图所示，△A′B′C′即为所求．
【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
8．(2023·广西桂林·一模）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
(1)△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；
(2)画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）分别作出A、B、的对应点A1、B1即可；
（2）分别作出A1、B1、C的对应点A2、B2、C2即可；
(1)
解：△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C如图所示；
(2)
解：△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2如图所示；
【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换、中心对称的性质，属于中考常考题型．
9．(2023·北京市广渠门中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为，，．
(1)将△OAB绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
(2)△OAB关于点O中心对称得到，点B的对称点为．画出中心对称后的图形，并写出点的坐标．
答案:(1)，图见解析
(2)，图见解析
分析：（1）将点A，点B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可，根据点在坐标系中的位置写出坐标；
（2）分别作出点A，点B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可，根据点在坐标系中的位置写出坐标．
（1）
解：旋转后的图形如下图所示，；
（2）
解：中心对称后的图形如下图所示，．
【点睛】本题考查作旋转图形以及中心对称图形，解题的关键是掌握旋转变换的特点．
10．(2023·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）．
(1)直接写出点B关于点C对称的点的坐标：___________；
(2)平移△ABC，使平移后点A的对应点的坐标为（2，1），请画出平移后的△；
(3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△．
答案:(1)（0，3）
(2)图见解析
(3)图见解析
分析：（1）根据轴对称的性质即可写出点B关于点C对称的点的坐标；
（2）根据平移的性质即可平移△ABC，使平移后点A的对应点的坐标为（2，1），进而画出平移后的△；
（3）根据旋转的性质即可画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△．
（1）
解：点B关于点C对称的点的坐标为（0，3）；
故答案为：（0，3）；
（2）
解：如图所示，△即为所求；
；
（3）
解：如图所示，△即为所求．
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
11．(2023·吉林吉林·九年级期末）已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(5，4)、B(0，3)、(2，1)
(1)画出△ABC 关于原点成中心对称的△；
(2)画出将△ 绕点 按顺时针旋转90°所得的，并写出点的坐标
答案:(1)见解析
(2)图见解析， (-5，2)
分析：（1）分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）分别作出点、绕点按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
（1）
如图所示，为所求．
（2）
如图所示，即为所求，
点的坐标为(﹣5，2)．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换和画中心对称图形，正确得出对应点位置是解题关键．
12．(2023·全国·九年级单元测试）如图，点A、B、C都在网格格点上，三个顶点的坐标分别为．
(1)经过平移得到，点A、B、C的对应点分别为、、，中任意一点平移后的对应点为．请在图中作出；
(2)请在图中作出关于原点O对称的，点A、B、C的对应点分别为、、．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）由点P（x1，y1）平移后的对应点为P1（x1+4，y1+3）得出平移的方式为向右平移4个单位、向上平移3个单位，据此作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出三个顶点关于原点的对应点，再首尾顺次连接即可．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）如图所示．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
13．(2023·全国·九年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，ADBC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
(1)填空：E是线段CD的 ，点A与点F关于点 成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 三角形．
(2)四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．
答案:(1)中点，E，等腰
(2)12
分析：（1）先证明△ADE≌△FCE（ASA），得到AE＝FE，AD＝CF，利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB＝BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
（2）由△ADE≌△FCE得到△ADE的面积等于△FCE的面积，从而得到答案．
（1）
解：∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵ADBC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，BF＝CF＋BC＝AD＋BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；
（2）
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
14．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的顶点A、B、C在边长为1的方格格点上，画关于点O中心对称的．
答案:见解析
分析：根据由中心对称得到点A、B、C的对应点，再顺次链接即可．
【详解】如图所示即为所求
【点睛】本题考查对称图形的画法中的中心对称图形画法，熟练掌握中心对称的画法是关键．
15．(2023·全国·九年级专题练习）已知：如图，△ABC绕着某点顺时针旋转一定角度后得到；点A，B，C分别对应点，，．
(1)根据点和的位置画出旋转中心O；
(2)请在图中画出；
(3)请在图中画出△ABC关于（1）问中点O对称的．
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
分析：（1）对应点的垂直平分线的交点即为点O；
（2）利用旋转变换的性质画出点，再顺次连接即可；
（3）利用中心对称的旋转变换找到 ，再连接即可．
（1）
解：如图，点O为所求；
（2）
解：如图，为所求；
（3）
解：如图， 为所求．
【点睛】本题考查旋转变换、中心对称，掌握旋转变换的性质，是解题关键，属于常考题．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·全国·九年级专题练习）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵与关于点D成中心对称，
∴，，
∴
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
2．(2023·广西河池·二模）如图，把放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，经正方形的对称中心点，且点是的中点，下面说法：①若，则；②若，则；③若，，，则，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案:C
分析：①正确，证明△EDO≌△FBO( ASA)，可得结论；②正确，求出∠GFB，∠EFG，可得结论；③错误，求出OG，EF，再利用勾股定理求出EG，即可判断．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB=BC=6，
∴，
在和中，
∴，
∴DE=BF，OE=OF，
∴CF+DE=CF+BF=BC=6，
故①正确；
∵，
若，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
故③错误；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若，．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
答案:C
分析：根据三角形三边关系定理，可知即可求解．
【详解】解：∵点与点关于点对称，点与点也关于点对称，
∴，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
4．(2023·全国·九年级课时练习）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
答案:A
分析：先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，
∴
∵a＞0
解得
∴点A（-3，0），点B（1，0），
∵点B为中心对称，
∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，
∴点C（5，0），
∴抛物线，
∴D（－1，－4a），
点D与点D′关于点B对称，
点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，
∴D′（3，4a），
DD′=，CD=，
CD′=，
∵△CDD′是直角三角形，
当∠CD′D=90°，
根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即
，
解得，
∵a＞0，
∴；
当∠DCD′=90°，
根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即
，
解得，
∴，
∴综合得a的值为或．
故答案选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．
二、解答题
5．(2023·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC的位置如图．
(1)将△ABC向x轴正方向平移5个单位得△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
(2)以O为旋转中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2，并标明对应字母；
(3)△ABC和△A2B2C2关于点P中心对称，请直接写出点P的坐标________．
答案:(1)见解析
(2)画图见解析
(3)（，0）
分析：（1）找出平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出旋转后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对应点，相交于点P，根据中心对称的性质可得点P坐标．
（1）
解：如图，即为所求；
（2）
如图，即为所求；
（3）
如图，点P即为所求，
由网格特点可知：P（，0）．
故答案为：（ ，0）．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图和旋转变换作图，以及中心对称的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
6．(2023·湖南师大附中博才实验中学九年级阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△；
(2)画出与△ABC关于原点对称的△，并写出的坐标．
答案:(1)图见解析；
(2)图见解析，．
分析：（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）根据中心对称的性质画图，再由图得到坐标即可．
（1）
解：如图所示，△即为所求作三角形．（图见小问2详解）
（2）
如图所示，△即为所求作三角形．
∵点B的坐标为（1，0），每个小方格都是边长为1个单位的正方形，
∴根据图形可知：．
【点睛】本题考查了利用中心对称变换与轴对称变换作图以及根据直角坐标系确定点的坐标，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
7．(2023·宁夏·中考真题）如图，是边长为的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和．
(1)画出该平面直角坐标系；
(2)画出线段关于原点成中心对称的线段；
(3)画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
分析：（1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置；
（2）根据中心对称的性质，即可画出线段A1B1；
（3）根据平行四边形的判定即可画出图形．
（1）
解：如图，即为所求；
（2）
解：如图，线段即为所求；
（3）
解：如图，平行四边形即为所求答案不唯一．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，中心对称的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
8．(2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，已知，，．
(1)画出旋转后的△A1B1C1；直接写出点B1的坐标（ ， ）；绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
(2)作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
答案:(1)见解析，
(2)见解析
分析：（1）根据旋转变换及其性质即可得出．
（2）根据中心对称及其性质，关于原点对称的点的坐标即可得出．
（1）
解：如图所示：
，横坐标为，纵坐标为1，
逆时针旋转后，横坐标变为，纵坐标变为．
．
（2）
解：如图所示：
，，，△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2，
，，．
，，．
作出对称后点的坐标，依次连接边长即可．
【点睛】本题考查作图—旋转变换的理解与实际应用能力．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形．点关于原点的对称点为．点逆时针旋转后的点为．通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段，找到对应点后依次连接是解本题的关键．
9．(2023·全国·九年级专题练习）如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
(1)请画出ABC关于原点对称的A1B1C1；
(2)请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A2B2C2，并写出A2的坐标．
答案:(1)见解析
(2)见解析，A2(﹣2，2)
分析：（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，再连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
（1）
解：如图，△；即为所求；
（2）
解：如上图，△即为所求，的坐标．
【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
10．(2023·广东广州·九年级期末）如图，已知△ABC中，BD是中线．
(1)尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD．
(2)猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由．
答案:(1)见详解；
(2)AB+BC＞2BD．证明见详解．
分析：（1）延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE，则△ADE与△CDB关于点D成中心对称，根据点D为AC中点，得出AD=CD，再证△ADE≌△CDB（SAS），根据∠CDB+∠ADB=180°，得出△BCD绕点D旋转180°得到△EAD，
（2）根据△ADE≌△CDB（SAS），得出AE=BC，BD=ED，得出BE=2BD，在△ABE中，AB+AE＞BE即可．
(1)
解：延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE，
则△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∵点D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∵∠CDB+∠ADB=180°，
∴△BCD绕点D旋转180°得到△EAD，
(2)
AB+BC＞2BD．
证明：∵△ADE≌△CDB（SAS），
∴AE=BC，BD=ED，
∴BE=2BD，
在△ABE中，AB+AE＞BE，
即AB+BC＞2BD．
【点睛】本题考查尺规作图，三角形全等判定与性质，中心对称的定义，三角形三边关系，掌握尺规作图，三角形全等判定与性质，中心对称的定义，三角形三边关系是解题关键．
11．(2023·湖北荆州·九年级期末）如图，在边长为1的6×6的小正方形网格图中，点A，B均在格点上．
(1)求出线段AB的长度；
(2)用无刻度直尺作出以AB为斜边，直角顶点在格点上的所有格点直角三角形，用字母标出直角顶点，并计算出面积最大的格点直角三角形的面积；
(3)用无刻度直尺作出（2）中其中一个面积最大的直角三角形以A为对称中心的中心对称图形．
答案:(1)；
(2)图见解析，；
(3)见解析
分析：（1）根据勾股定理计算AB的长度；
（2）根据直角三角形定义作图，利用面积公式求出最大面积即可；
（3）根据中心对称的定义作图即可．
（1）
解：
（2）
解：以AB为斜边，直角顶点在格点上的所有格点直角三角形为：△ABC，△ABM，△ABF，△ABQ，
∵，
∴，
∵，
∴以AB为斜边，面积最大的格点直角三角形的面积为；
．
（3）
解：△ADE与△ABC关于点A成中心对称，△ADE即为所求．
．
【点睛】此题考查了直角三角形的定义，中心对称的定义，勾股定理，作直角三角形，作中心对称图形，熟记直角三角形的定义及中心对称的性质是解题的关键．
12．(2023·全国·九年级课时练习）在一次数学探究活动中，小强只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分．
（1）在如图所示的三个矩形中，请你大胆尝试，画出符合上述要求的直线（注：①所画直线经过的特殊点必须标注清楚，②一个矩形只画一种）．
（2）根据你的分割法：只用一条直线就把矩形分割成面积相等的两部分，你认为这样的直线有 条？
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的这条直线的特征是 ；
（4）经验迁移：如图④，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，并将该正方形的面积平分，与正方形的BC边交于点F，求线段EF的长．
答案:（1）见解析；（2）无数；（3）经过对角线的交点（矩形的对称中心）；（4）2
分析：（1）分割线可以分别是，经过对角线所在直线，经过一组对边所在直线，任意经过对角线交点的直线．
（2）只要经过矩形的对称中心均满足题意，所有有无数条．
（3）所画直线都经过了对称中心．
（4）由上面的研究可得，连接E和对称中心O的直线与BC边的交点便是F，求解即可．
【详解】解：（1）①直线经过矩形对角线，如图，
，
②直线经过一组对边中点，如图，
，
③直线经过矩形对称中心，如图，
，
此处可借助△OAE≌△OCF，证面积被平分．
（2）只要经过矩形的对称中心，便可以平分矩形面积，所以有无数条，
故答案为无数，
（3）分析图形得到平分矩形面积的直线都经过了矩形的对称中心（对角线的交点），
故答案为经过对角线的交点（矩形的对称中心）．
（4）根据题意，连接AC，BD交于点O，过E，O的直线交BC于点F，过点E作EG⊥BC于点G．如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝6．OA＝OC，∠FCO＝∠OAE＝45°，
∵∠FOC＝∠AOE，
∴△FOC≌△AOE（ASA），
∴AE＝CF＝2，
∴GF＝6﹣2﹣2＝2，
在Rt△EFG中，EG＝AB＝6，GF＝2，
∴＝2．
【点睛】本题主要探究将矩形面积平分线的特点，经过三次探究发现都经过了对称中心，体现了数学思维的由特殊到一般，接着借助将矩形的特性推至正方形，依照发现的规律解决正方形平分面积线相关的长度，本题解题的关键是是数学规律的探究和归纳总结，并加以推广应用．