人教版九年级数学上册精品专题23.2.2中心对称图形(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册精品专题23.2.2中心对称图形(原卷版+解析)，共43页。
一、单选题
1．(2023·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·广东·平洲一中九年级阶段练习）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·广东·测试·编辑教研五九年级开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．正五边形C．圆D．等边三角形
4．(2023·广东·广州市第二中学九年级开学考试）下列立体图形的表面展开图中，可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形的是（ ）
A．正方体B．圆锥C．圆柱D．圆台
5．(2023·全国·九年级专题练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．的绝对值是B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形D．如果直线，那么直线
6．(2023·河北保定·模拟预测）在平面内，由图1经过两次图形变换得到图3，下列说法正确的是（ ）
A．只经过平移B．只经过中心对称C．只经过旋转D．只经过轴对称
7．(2023·广东深圳·二模）下列说法正确的是（）
A．相等的角是对顶角
B．平行四边形是中心对称图形
C．绝对值相等的两个数相等
D．抛物线y＝x22x与坐标轴有3个不同的交点
8．(2023·北京·九年级专题练习）2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ）
A．它是轴对称图形B．它是中心对称图形
C．它的外角和是360°D．它的每个内角都是140°
9．(2023·北京海淀·一模）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌，观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（ ）
A．图2中的图案是轴对称图形
B．图2中的图案是中心对称图形
C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
10．(2023·北京四中九年级阶段练习）有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是轴对称图形，不是中心对称图形
C．是中心对称图形，不是轴对称图形D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
11．(2023·山东泰安·一模）三个等圆按如图所示的方式摆放，若再添加一个等圆，使所得图形是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·山西朔州·一模）数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如图是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
13．(2023·四川·广安二中九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．在代数式，，，，，中，，，是分式
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
二、填空题
14．(2023·上海嘉定·九年级阶段练习）既是轴对称图形又是中心对称图形的平行四边形是 _____．（填一种情况即可）
三、解答题
15．(2023·吉林四平·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）；
(2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB．
16．(2023·湖南·长沙市一中双语实验中学九年级期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点）以及格点P．
（1）①将△ABC向右平移五个单位长度，再向上平移一个单位长度，画出平移后的三角形．
②画出△DEF关于点P的中心对称三角形．
（2）求∠A＋∠F的度数．
17．(2023·全国·九年级专题练习）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的．
18．(2023·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级开学考试）图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出点在小正方形的顶点上，使为轴对称图形；
(2)在图中画出四边形点、都在小正方形的顶点上使四边形为中心对称图形且面积为．
19．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在6×6的正方格中，中心点为点O，图中有4个小正方格被涂黑成“L形”．
(1)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称，
(2)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形、又是中心对称图形（要求画出三种）．
20．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形.
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）如图，数学课上，老师在黑板上画出两个正多边形Ⅰ、Ⅱ，甲、乙、丙、丁四名同学分别给出如下结论：
甲同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的内角和相等；
乙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的外角和相等；
丙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是轴对称图形；
丁同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是中心对称图形，结论正确的是（ ）
A．乙、丙正确B．甲、丙正确C．乙、丁正确D．甲、乙正确
2．(2023·内蒙古鄂尔多斯·二模）下列说法正确的个数是（ ）
①对角线相等的四边形是矩形
②在函数中，自变量x的取值范围是
③菱形既是中心对称图形又是轴对称图形
④若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
⑤的算术平方根是4
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．(2023·全国·九年级单元测试）如图，已知等边和等边，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且，连接AE、CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（ ）
A．可看作是沿AB方向平移所得
B．和关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C．可看作是由绕点B顺时针方向旋转60°所得
D．和关于点B成中心对称
二、解答题
4．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．求，两点的坐标．
5．(2023·安徽·宣城市宣州区卫东学校一模）（1）如图（a），在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是______．
（2）如图（b），在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点．将向左平移6个单位，作出它的像；
（3）如图（b），求作一个，并画出，使它与关于点成中心对称．
6．(2023·吉林吉林·一模）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色．
(1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
7．(2023·安徽淮北·九年级阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索：
(1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ；
(2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示）
(3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由．
8．(2023·四川广安·九年级专题练习）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
9．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，4）．已知与关于点成中心对称（点D，E，F分别为A，B，C的对应点，且）．连接AF，CD．
(1)若，画出此时的位置；
(2)线段AF与CD的位置和大小关系是______；
(3)若四边形AFDC是一个轴对称图形，则a的值为______．
10．(2023·全国·九年级专题练习）物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
11．(2023·江苏无锡·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D为第一象限的抛物线上一点，
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
12．(2023·江苏南通·一模）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如：函数与关于原点O互为“伴随函数”．
(1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ．
函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
(2)已知函数与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”，若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
23.2.2中心对称图形（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．(2023·福建·上杭县第三中学九年级阶段练习）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．(2023·广东·平洲一中九年级阶段练习）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：根据中心对称图形的定义，依次判断每项即可．
【详解】A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．(2023·广东·测试·编辑教研五九年级开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．正五边形C．圆D．等边三角形
答案:C
分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
B，是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
C，是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确．
D，是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4．(2023·广东·广州市第二中学九年级开学考试）下列立体图形的表面展开图中，可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形的是（ ）
A．正方体B．圆锥C．圆柱D．圆台
答案:C
分析：根据中心对称图形的特点对各选项的表面展开图进行判断即可得到答案；
【详解】解：A．正方体的表面展开图可以是轴对称图形，不可以是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．圆锥的表面展开图可以是轴对称图形，不可以是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．圆柱的表面展开图可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．圆台的表面展开图可以是轴对称图形，不可以是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，涉及了几何体的表面展开图，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．
5．(2023·全国·九年级专题练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．的绝对值是B．对顶角相等
C．平行四边形是中心对称图形D．如果直线，那么直线
答案:A
分析：根据绝对值的意义，对顶角的性质，平行四边形的性质，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：A． 的绝对值是2，故原命题是假命题，符合题意；
B．对顶角相等，故原命题是真命题，不符合题意；
C．平行四边形是中心对称图形，故原命题是真命题，不符合题意；
D． 如果直线，那么直线，故原命题是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
6．(2023·河北保定·模拟预测）在平面内，由图1经过两次图形变换得到图3，下列说法正确的是（ ）
A．只经过平移B．只经过中心对称C．只经过旋转D．只经过轴对称
答案:D
分析：根据旋转、平移、轴对称、中心对称的性质即可进行逐一判断．
【详解】解：由图1变换到图2，可以是平移，也可以是轴消费提取；由图2变换到图3，可以经过中心对称，旋转和轴消费提取；但是，由图1经过两次图形变换得到图3只经过轴对称，
故选D
【点睛】本题考查了利用旋转、平移、轴对称、中心对称设计图案，解决本题的关键是掌握旋转、平移、轴对称、中心对称的性质．
7．(2023·广东深圳·二模）下列说法正确的是（）
A．相等的角是对顶角
B．平行四边形是中心对称图形
C．绝对值相等的两个数相等
D．抛物线y＝x22x与坐标轴有3个不同的交点
答案:B
分析：根据对顶角，平行四边形，绝对值以及抛物线的性质对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，选项错误，不符合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，选项正确，符合题意；
C、绝对值相等的两个数可能相等也可能是互为相反数，选项错误，不符合题意；
D、抛物线y＝x22x与坐标轴有2个不同的交点，选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了对顶角，平行四边形，绝对值以及抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
8．(2023·北京·九年级专题练习）2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误的是（ ）
A．它是轴对称图形B．它是中心对称图形
C．它的外角和是360°D．它的每个内角都是140°
答案:B
分析：根据轴对称与中心对称的定义可判断A、B的正误；根据正多边形的外角和为360°可判断C的正误；根据正n边形的内角为可判断D的正误．
【详解】解：由题意知正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形
∴A正确，B错误；
由正多边形的外角和为360°可知正九边形的外角和为360°
∴C正确；
由正n边形的内角为，可得
∴D正确；
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角、外角和，轴对称，中心对称．解题的关键在于熟练掌握正多边形的内角、外角与对称性．
9．(2023·北京海淀·一模）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌，观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到．下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（ ）
A．图2中的图案是轴对称图形
B．图2中的图案是中心对称图形
C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
答案:D
分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断A、B选项，作出对称轴，根据旋转的性质，即可判断C、D选项．
【详解】
如图，图2中的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故A、B正确；
这3条对称轴将图2平均分成了六份，其中每份所占的圆心角的度数为
图2中的图案绕对称轴的交点旋转60°，可以与自身重合，故C正确；
将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，不能设计出图2中的图案，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义、旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．(2023·北京四中九年级阶段练习）有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是轴对称图形，不是中心对称图形
C．是中心对称图形，不是轴对称图形D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
答案:C
【详解】由图可知，该图形不是轴对称图形，是中心对称图形
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念，即把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
11．(2023·山东泰安·一模）三个等圆按如图所示的方式摆放，若再添加一个等圆，使所得图形是中心对称图形，则这个等圆的位置可以是（ ）
A．B．C．D．
答案:C
分析：根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、旋转180度后两部分重合，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、旋转180度后两部分不重合，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
12．(2023·山西朔州·一模）数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，如图是张老师用几何画板画出的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．①勾股树B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形D．④雪花
答案:D
分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、①既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、②是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、③是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、④既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
13．(2023·四川·广安二中九年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．在代数式，，，，，中，，，是分式
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
答案:A
分析：根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．
【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；
B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C.在代数式，，，，，中，，是分式，故选项错误；
D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；
故选：A．
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题
14．(2023·上海嘉定·九年级阶段练习）既是轴对称图形又是中心对称图形的平行四边形是 _____．（填一种情况即可）
答案:矩形（答案不唯一）
分析：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的平行四边形是矩形（答案不唯一）．
故答案为：矩形（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
三、解答题
15．(2023·吉林四平·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）；
(2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB．
答案:(1)详见解析
(2)详见解析
分析：（1）根据中心对称定义作图即可；
（2）作AB的垂直平分线即可；
（1）
解：如图，△A'B'C 为所作；
（2）
解：如图，点 O 或 O′为所作．
【点睛】本题考查了复杂-作图，掌握中心对称和垂直平分线的定义和画法是解题关键
16．(2023·湖南·长沙市一中双语实验中学九年级期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点）以及格点P．
（1）①将△ABC向右平移五个单位长度，再向上平移一个单位长度，画出平移后的三角形．
②画出△DEF关于点P的中心对称三角形．
（2）求∠A＋∠F的度数．
答案:（1）①画图见解析；②画图见解析；（2）45°
分析：（1）①按照题意进行平移即可，
②根据中心对称图形的画法画出答案即可；
（2）观察图形可知求∠A+∠F的度数转化为求的度数．
【详解】（1）如图所示：①△A1B1C1就是所求作的三角形；
②△D1E1F1就是所求作的三角形；
（2）∠A+∠F==45°．
【点睛】本题主要考查了平移、旋转的作图，熟练掌握相关方法是解题关键．
17．(2023·全国·九年级专题练习）已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标；
（2）画出将绕点按顺时针旋转所得的．
答案:（1）如图所示，即为所求，见解析，点的坐标为；（2）如图所示，即为所求．见解析.
分析：分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求，其中点的坐标为．
（2）如图所示，即为所求．
【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
18．(2023·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级开学考试）图、图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出点在小正方形的顶点上，使为轴对称图形；
(2)在图中画出四边形点、都在小正方形的顶点上使四边形为中心对称图形且面积为．
答案:(1)见解析（答案不唯一）
(2)见解析
分析：(1)根据等腰三角形的性质画出等腰三角形即可；
(2)根据正方形的性质，画一个边长为，的正方形即符合要求．
（1）
解：如图1所示(答案不唯一）：
（2）
如图2所示：
使得AB=BC=CD=AD=，正好组成一个正方形，此时面积为，且是中心对称图形．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形以及中心对称图形的性质，得出正方形的边长为是解题关键．
19．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在6×6的正方格中，中心点为点O，图中有4个小正方格被涂黑成“L形”．
(1)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称，
(2)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形、又是中心对称图形（要求画出三种）．
答案:(1)见解析
(2)见解析
分析：（1）根据中心对称图形的定义画出图形；
（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．
（1）
解：图形如图所示：
（2）
图形如图所示：

【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，利用轴对称，中心对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．
20．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在方格中，正方形被分成4个全等的直角三角形，请你用这4个全等的直角三角形在下面三个方格中分别重新拼接成一个新的四边形，要求新的四边形是中心对称图形.
答案:见解析
分析：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此解答即可．
【详解】如图所示：
【点睛】本题考查了中心对称图形，正确把握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．(2023·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试）如图，数学课上，老师在黑板上画出两个正多边形Ⅰ、Ⅱ，甲、乙、丙、丁四名同学分别给出如下结论：
甲同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的内角和相等；
乙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的外角和相等；
丙同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是轴对称图形；
丁同学：Ⅰ、Ⅱ两个正多边形都是中心对称图形，结论正确的是（ ）
A．乙、丙正确B．甲、丙正确C．乙、丁正确D．甲、乙正确
答案:A
分析：根据正五边形和正六边形的性质对每个同学的结论逐句进行判断即可得到结论．
【详解】解：∵多边形Ⅰ是正五边形；多边形Ⅱ是正六边形，
∴多边形Ⅰ的内角和为；多边形Ⅱ的内角和为；
故Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的内角和不相等，所以，甲同学得到的结论是错误的；
Ⅰ、Ⅱ两个正多边形的外角和相等，都是360°，故乙同学得到的结论是正确的；
∵正五边形是轴对称，不是中心对称图形；正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴丙同学得出的结论是正确的，丁同学得出一结论是错误的，
综上，四位同学中得出正确结论的是：乙同学和丙同学，
故选：A
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解答本题的关键．
2．(2023·内蒙古鄂尔多斯·二模）下列说法正确的个数是（ ）
①对角线相等的四边形是矩形
②在函数中，自变量x的取值范围是
③菱形既是中心对称图形又是轴对称图形
④若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
⑤的算术平方根是4
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:B
分析：根据矩形的判定，函数自变量的取值范围，菱形的性质，方差，算术平方根解答即可．
【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误；
②在函数中，自变量x的取值范围是且x，原说法错误；
③菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，说法正确；
④若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，说法正确；
⑤，4的算术平方根是2，原说法错误；
综上，正确的有③④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，函数自变量的取值范围，菱形的性质，方差，算术平方根，熟练掌握各知识点是解题的关键．
3．(2023·全国·九年级单元测试）如图，已知等边和等边，其中A、B、D三个点在同一条直线上，且，连接AE、CD．则下列关于图形变换的说法正确的是（ ）
A．可看作是沿AB方向平移所得
B．和关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称
C．可看作是由绕点B顺时针方向旋转60°所得
D．和关于点B成中心对称
答案:C
分析：根据平移的性质、轴对称图形的识别和中心对称图形的识别可判断A、B、D；证明△ABE≌△CBD，根据∠ABC＝60°结合旋转的性质可判断C．
【详解】解：A、∵，
∴不能看作是沿AB方向平移所得，说法错误；
B、∵，
∴和不关于过点B且垂直于AB的直线成轴对称，说法错误；
C、∵和是等边三角形，
∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
又∵∠ABC＝60°，
∴可看作是由绕点B顺时针方向旋转60°所得，说法正确；
D、由中心对称的性质可知：和不关于点B成中心对称，说法错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质、旋转的性质、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别以及全等三角形的判定，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
二、解答题
4．(2023·全国·九年级课时练习）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点．求，两点的坐标．
答案:C，D
分析：根据菱形的对角线关于原点对称进行求解即可；
【详解】解： 菱形的对角线交于坐标原点．点的坐标为，点的坐标为，
点C和点A关于原点O对称，点D和点B关于原点O对称，
∴ C (2，－2)； D(1，)．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的特征和菱形的性质，准确分析计算是解题的关键．
5．(2023·安徽·宣城市宣州区卫东学校一模）（1）如图（a），在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是______．
（2）如图（b），在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、都是格点．将向左平移6个单位，作出它的像；
（3）如图（b），求作一个，并画出，使它与关于点成中心对称．
答案:（1）②；（2）见解析；（3）见解析．
分析：（1）根据中心对称的定义解答即可；
（2）先将点、、向左平移6个单位得到，然后再顺次连接即可；
（3）先作出、、关于点成中心对称，然后再顺次连接即可．
【详解】解：（1）应该将②涂黑
故答案为②；
（2）所作图形如图所示，即为所求；
（3）所作图形如图所示，即为所求．
【点睛】本题主要考查了中心对称的定义和中心对称作图，中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
6．(2023·吉林吉林·一模）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色．
(1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
分析：（1）结合题意，根据等边三角形、轴对称图形和中心对称图形的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据等边三角形、轴对称图形和中心对称图形的性质分析，即可得到答案；
（3）结合题意，根据等边三角形、轴对称图形和中心对称图形的性质分析，即可得到答案．
(1)
如图①所示，
阴影部分图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
(2)
如图②所示，
阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
(3)
如图③所示，
阴影部分图形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
【点睛】本题考查了等边三角形、中心对称图形、轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的性质，从而完成求解．
7．(2023·安徽淮北·九年级阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索：
(1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ；
(2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示）
(3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由．
答案:(1)15
(2)
(3)24不是，28是，理由见解析
分析：( 1 )根据规律求出即可；
( 2 )利用规律，解决问题即可；
( 3)利用(2)中结论求解即可．
(1)
解：，
故答案为：15
(2)
由题意得：
，
，
，
，
，
……
∴．
故答案为：
(3)
24不是三角形数，28是三角形数，
理由：∵
6和8相差2，
不符合等式中因数与相差1的规律，
∴24不是三角形数；
又∵，
∴，
∴，
∴28是三角形数．
【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律．
8．(2023·四川广安·九年级专题练习）在的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
答案:(1)①③⑤；轴对称；
(2)见解析
分析：（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义进行判断选择即可；
（2）根据轴对称图形的定义将1个小方格涂上阴影即可．
（1）
解：①③⑤三个图案是轴对称图形，
故答案为：①③⑤；轴对称；
（2）
解：如图所示（答案不唯一），
【点睛】本题考查了中心对称图形轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
9．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，为格点三角形（顶点为网格线的交点），∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，4）．已知与关于点成中心对称（点D，E，F分别为A，B，C的对应点，且）．连接AF，CD．
(1)若，画出此时的位置；
(2)线段AF与CD的位置和大小关系是______；
(3)若四边形AFDC是一个轴对称图形，则a的值为______．
答案:(1)见解析
(2)，且
(3)1
分析：（1）当时，点（a，0）即为原点，作出关于原点成中心对称的图形即可；
（2）设对称中心为点P（a，0），根据中心对称的性质，即可得出结论；
（3）当四边形AFDC是菱形或矩形时，可得出a的值．
（1）
如图，即为所画；
（2）
如图所示，，且
故答案为：，且
（3）
∵是直角三角形，且B（1，0），
∴与关于点成中心对称时，四边形AFDC是菱形，如图，
∴
故答案为：1
【点睛】本题考查作图-中心对称、轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．(2023·全国·九年级专题练习）物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
答案:见解析
【详解】（1）根据平行四边形的性质可知：重心是两条对角线的交点．
（2）把模块分成两个矩形（用两种不同方法），得到连接各自中心的两条线段，交点就是重心．
解：（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是▱ABCD的重心．
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
11．(2023·江苏无锡·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点D为第一象限的抛物线上一点，
①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；
②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．
答案:(1)；
(2)①0＜DE≤；②
分析：（1）直接用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入即可；
（2）①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，可知直线LM与抛物线有唯一交点，此时△=0，可求出M点的坐标，进而根据，列式求出AN的长，即可求解；②分当AFGD是矩形和菱形时满足要求，从而求解．
（1）
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．
∴
解得
∴抛物线的解析式为：．
（2）
解：①作直线LM∥AB，与抛物线相切于D，交y轴于M，此时D到AB的距离最大，过A作AN⊥LM于N，
设直线AB的解析式为y=kx+4，则直线LM的解析式为y=kx+n，
∵直线AB过A、B点，
∴0=2k+4，解得k=-2
∴直线LM的解析式为y=-2x+n，
∵直线LM与抛物线相切，只有一个交点，
∴，
即
∴△=
∴n=6，
∴M（0，6），
则AM=6-4=2
∵LM∥AB
∴，
∴
∴，即
∴AN=
∴DE=AN=
∵D在第一象限，
∴0